1、1习题课 动能定理的应用应用动能定理求变力的功要点归纳1.应用动能定理求变力的功是常用的方法，当物体受到一个变力和几个恒力作用时，可以用动能定理间接求变力做的功，即 W 变 W 其他 Ek。2.当机车以恒定功率启动时，牵引力为变力，牵引力做的功可表示为 W Pt。试题案例例 1 如图 1 所示， AB 为 圆弧轨道， BC 为水平直轨道，圆弧的半径为 R， BC 的长度也是14R。一质量为 m 的物体，与两个轨道的动摩擦因数都为 ，当它由轨道顶端 A 从静止下滑时，恰好运动到 C 处停止，那么物体在 AB 段克服摩擦力做功为( )图 1A. mgR B. mgR12 12C.mgR D.(1
2、)mgR解析 设物体在 AB 段克服摩擦力所做的功为 WAB，物体从 A 到 C 的全过程，根据动能定理有 mgR WAB mgR 0，所以有 WAB mgR mgR (1 )mgR。选项 D 正确。答案 D例 2 (多选)质量为 m 的汽车在平直的公路上行驶，某时刻速度为 v0，从该时刻起汽车开始加速，经过时间 t 前进的距离为 s，此时速度达到最大值 vmax，设在加速过程中发动机的功率恒为 P，汽车所受阻力恒为 f，则这段时间内牵引力所做的功为( )A.Pt B.fvmaxtC.fs D. mv fs mv12 2max 12 20解析 牵引力的功率为 P，则 W Pt，A 正确；当牵引
3、力等于阻力时，速度达到最大值，则有 P fvmax，B 正确；加速阶段牵引力大于阻力，C 错误；对加速阶段，由动能定理得W fs mv mv ，D 正确。12 2max 12 20答案 ABD应用动能定理分析问题时要确定研究过程的初、末状态，对研究对象进行受力分析，明确2力做功的情况，这是求解问题的关键。如例 2 中对于汽车以恒定功率加速的过程，要明确阻力做功为恒力做功 Wf fs 而牵引力做功为变力做功，由于功率不变，则 W Pt。动能定理的表现形式应为 Pt fs mv mv 。12 2max 12 20针对训练 1 质量为 m 的物体以初速度 v0沿水平面向左开始运动，起始点 A 与一轻
4、弹簧 O端相距 s，如图 2 所示，已知物体与水平面间的动摩擦因数为 ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为 x，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为( )图 2A. mv mg (s x)12 20B. mv mgx12 20C.mgsD.mg (s x)解析 由动能定理得： W mg (s x)0 mv ，故物体克服弹簧弹力做功12 20W mv mg (s x)，A 正确。12 20答案 A3动能定理与图像相结合的问题要点归纳动能定理经常和图像问题相结合应用，分析时一定要弄清图像的物理意义，要特别注意图像的形状、交点、截距、斜率、面积等信息，并结合运动图像建立相应的
5、物理情境，选择合理的规律求解有关问题。试题案例例 3 (多选)在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速运动，当速度达到 vm后立即关闭发动机直到停止， v t 图像如图 3 所示。设汽车的牵引力为 F，摩擦力为 f，全过程中牵引力做功 W1，克服摩擦力做功 W2，则( )图 3A.F f13 B.F f41C.W1 W211 D.W1 W213解析 全过程初、末状态的动能都为零，对全过程应用动能定理得W1 W20即 W1 W2，选项 C 正确；设物体在 01 s 内和 14 s 内运动的位移大小分别为 x1、 x2，则W1 Fx1W2 f(x1 x2)在 v t 图像中，图像与时间轴包围的面积表示
6、位移，由图像可知，x23 x1由式解得： F f41，选项 B 正确。答案 BC“三步法”分析动能定理与图像的结合问题4针对训练 2 (2018张家口高一检测)物体在恒定阻力作用下，以某初速度在水平面上沿直线滑行直到停止。以 a、 Ek、 x 和 t 分别表示物体运动的加速度大小、动能、位移的大小和运动的时间。则以下各图像中，能正确反映这一过程的是( )解析 物体在恒定阻力作用下运动，其加速度不随时间和位移变化，选项 A、B 错误；由动能定理得： fx Ek Ek0，解得 Ek Ek0 fx，可知选项 C 正确，D 错误。答案 C动能定理在多过程问题中的应用要点归纳 对于包含多个运动阶段的多过
7、程问题，应用动能定理时可以选择分段法或全程法。1.分段法：将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，然后联立求解。2.全程法：分析整个过程中的各个力的做功情况，确定整个过程中各个力做功的代数和，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解。当题目不涉及中间量时，选择全程法更简洁。注意：当物体运动过程中涉及多个力做功时，各力对应的位移可能不相同，计算各力做功时，应注意各力对应的位移。计算总功时，应计算整个过程中出现过的各力做功的代数和。试题案例例 4 右端连有光滑弧形槽的水平面 AB 长为 L1.5 m，如图
8、 4 所示。一个质量为 m0.5 kg 的木块在 F1.5 N 的水平拉力作用下，从水平面上 A 端由静止开始向右运动，木块到达 B 端时撤去拉力 F。木块与水平面间的动摩擦因数 0.2，取 g10 m/s 2。求：图 4(1)木块沿弧形槽上升的最大高度；(2)木块沿弧形槽滑回 B 端后，在水平面上滑动的距离。解析 (1)设木块沿弧形槽上升的最大高度为 h，对木块由 A 端运动到最大高度的过程，由动能定理得FL mgL mgh0解得 h 0.15 m。（ F mg） Lmg5(2)设木块沿弧形槽滑回 B 端后在水平面上滑行的距离为 s，由动能定理得mgh mgs 0解得 s 0.75 m。h答
9、案 (1)0.15 m (2)0.75 m物体在运动过程中若包含几个不同的过程，应优先考虑对全过程运用动能定理，这样往往比分过程运用动能定理求解简单。但对全过程列式时，要弄清整个过程中有哪些力做功，每个力做的功与哪段位移相对应，否则容易出错。针对训练 3 如图 5 所示，光滑水平面 AB 与一半圆形轨道在 B 点相连，半圆形轨道位于竖直面内，其半径为 R，一个质量为 m 的物块静止在水平面上，现向左推物块使其压紧弹簧，然后放手，物块在弹力作用下由静止获得一速度，当它经 B 点进入半圆形轨道瞬间，对轨道的压力为其重力的 7 倍，之后向上运动恰能完成半圆周运动到达 C 点，重力加速度为 g。求：图
10、 5(1)弹簧弹力对物块做的功；(2)物块从 B 到 C 克服阻力所做的功；(3)物块离开 C 点后，再落回到水平面上时的动能。解析 (1)由动能定理得 W mv12 2B在 B 点由牛顿第二定律得 7mg mg m解得 W3 mgR(2)物块从 B 到 C 由动能定理得2 mgR W mv mv12 2C 12 2B物块在 C 点时 mg m解得 W mgR，12即物块从 B 到 C 克服阻力做功为 mgR。12(3)物块从 C 点平抛到水平面的过程中，由动能定理得62mgR Ek mv ，解得 Ek mgR。12 2C 52答案 (1)3 mgR (2) mgR (3) mgR12 521
11、.(动能定理的应用)(2018东营高一检测)人在距地面 h 高处抛出一个质量为 m 的小球，落地时小球的速度为 v，不计空气阻力，人对小球做功是( )A. mv2 B.mgh mv212 12C.mgh mv2 D. mv2 mgh12 12解析 运用动能定理得： mgh W mv20，解得： W mv2 mgh，故 D 正确，A、B、C 错12 12误。答案 D2.(应用动能定理求变力的功)如图 6 所示，木板长为 l，木板的 A 端放一质量为 m 的小物体，物体与板间的动摩擦因数为 。开始时木板水平，在绕 O 点缓慢转过一个小角度 的过程中，若物体始终保持与板相对静止。对于这个过程中各力做
12、功的情况，下列说法中正确的是( )图 6A.摩擦力对物体所做的功为 mglsin (1cos )B.弹力对物体所做的功为 mglsin cos C.木板对物体所做的功为 mglsin D.合力对物体所做的功为 mglcos 解析 重力是恒力，可直接用功的计算公式，则 WG mgh mglsin ；摩擦力虽是变力，但因摩擦力方向上物体没有发生位移，所以 Wf0；因木块缓慢运动，所以合力 F 合0，则 W 合 0；因支持力 N 为变力，不能直接用公式求它做的功，由动能定理 W 合 Ek知， WG WN0，所以 WN WG mgh mglsin 。即木板对物体做功为 mglsin ，选项C 正确。答
13、案 C3.(动能定理与图像相结合问题)静止在粗糙水平面上的物块在水平向右的拉力作用下做直线运动， t4 s 时停下，其 v t 图像如图 7 所示，已知物块与水平面间的动摩擦因数处处相同，则下列判断正确的是 ( )7图 7A.整个过程中拉力做的功等于物块克服摩擦力做的功B.整个过程中拉力做的功等于零C.t2 s 时刻拉力的瞬时功率在整个过程中最大D.t1 s 到 t3 s 这段时间内拉力不做功解析 全过程由动能定理得 WF Wf0，所以选项 A 正确；因物体从静止开始运动，整个过程 WF0，B 错误；拉力的瞬时功率在 13 s 内相等，1 s 末时刻拉力的瞬时功率最大，C错误； t1 s 到
14、t3 s 这段时间内，物体做匀速运动， F f0，拉力做功W Fx130，D 错误。答案 A4.(多过程问题)如图 8 所示， AB 段为粗糙水平面轨道， BC 段是固定于竖直平面内的光滑半圆形导轨，半径为 R。一质量为 m 的滑块静止在 A 点，在水平恒力 F 作用下从 A 点向右运动，当运动至 B 点时，撤去恒力 F，滑块沿半圆形轨道向上运动恰能通过最高点 C。已知滑块与水平轨道间的滑动摩擦力 f ，水平恒力 F 。求：mg4 mg2图 8(1)滑块与水平轨道间的动摩擦因数 ；(2)滑块运动至 C 点的速度大小 vC；(3)水平轨道 AB 的长度 L。解析 (1)滑块在水平轨道上运动时，由
15、 f N mg得 0.25fN(2)滑块在 C 点时仅受重力，据牛顿第二定律，有mg m可得 vC gR(3)滑块从 A 到 C 的过程，运用动能定理得：(F f)L2 mgR mv 012 2C8又 f ， Fmg4 mg2解得 L10 R。答案 (1)0.25 (2) (3)10 RgR合格性检测1.(2018全国卷，14)如图 1，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某一速度。木箱获得的动能一定( )图 1A.小于拉力所做的功B.等于拉力所做的功C.等于克服摩擦力所做的功D.大于克服摩擦力所做的功解析 由动能定理 WF Wf Ek0，可知木箱获得的动能一定小于拉力
16、所做的功，A 正确。答案 A2.(多选)用力 F 拉着一个物体从空中的 a 点运动到 b 点的过程中，重力做功3 J，拉力 F做功 8 J，空气阻力做功0.5 J，则下列判断正确的是( )A.物体的重力势能增加了 3 JB.物体的重力势能减少了 3 JC.物体的动能增加了 4.5 JD.物体的动能增加了 8 J解析 因为重力做功3 J，所以重力势能增加 3 J，A 正确，B 错误；根据动能定理 W 合 Ek，得 Ek W 合 WG WF Wf3 J8 J0.5 J4.5 J，C 正确，D 错误。答案 AC3.如图 2 所示，一个小球质量为 m，静止在光滑的轨道上。现以水平力击打小球，使小球能够
17、通过半径为 R 的竖直光滑半圆轨道的最高点 C，则水平力对小球所做的功至少为( )图 2A.mgR B.2mgRC.2.5mgR D.3mgR9解析 要通过竖直光滑半圆轨道的最高点 C，在 C 点，则有 mg ，对小球，由动能定理mv2RW2 mgR mv2，联立解得 W2.5 mgR，C 项正确。12答案 C4.(2018廊坊高一检测)如图 3 所示，质量为 m 的物块与水平转台间的动摩擦因数为 ，物块与转轴相距 R，物块随转台由静止开始转动。当转速增至某一值时，物块即将在转台上滑动，此时转台已开始匀速转动，在这一过程中，摩擦力对物块做的功是(假设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力)( )
18、图 3A.0 B.2mgR C.2 mgR D. mgR2解析 物块即将在转台上滑动但还未滑动时，转台对物块的最大静摩擦力恰好提供向心力，设此时物块做圆周运动的线速度为 v，则有 mg 。在物块由静止到获得速度 v 的过程mv2R中，物块受到的重力和支持力不做功，只有摩擦力对物块做功，由动能定理得W mv20。联立解得 W mgR 。故 D 正确。12 12答案 D5.(2018江苏单科，4)从地面竖直向上抛出一只小球，小球运动一段时间后落回地面。忽略空气阻力，该过程中小球的动能 Ek与时间 t 的关系图像是( )解析 设小球抛出瞬间的速度大小为 v0，抛出后，某时刻 t 小球的速度 v v0
19、 gt，故小球的动能 Ek mv2 m(v0 gt)2，结合数学知识知，选项 A 正确。12 1210答案 A6.(2018淮安高一检测)(多选)如图 4 甲所示，质量 m2 kg 的物体以 100 J 的初动能在粗糙的水平地面上滑行，其动能 Ek随位移 x 变化的关系图像如图乙所示，则下列判断正确的是( )图 4A.物体运动的总位移大小为 10 mB.物体运动的加速度大小为 10 m/s2C.物体运动的初速度大小为 10 m/sD.物体所受的摩擦力大小为 10 N解析 由图像可知，物体运动的总位移为 10 m，根据动能定理得， f x0 Ek0，解得f N10 N，故 A、D 正确；根据牛顿
20、第二定律得，物体运动的加速度大小Ek0x 10010a m/s25 m/s2，故 B 错误；根据 Ek0 mv 得 v0 m/s10 fm 102 12 20 2Ek0m 21002m/s，故 C 正确。答案 ACD7.如图 5 所示，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为 m 的小球沿轨道做完整的圆周运动，已知小球在最低点时对轨道的压力大小为 N1，在最高点时对轨道的压力大小为 N2。重力加速度大小为 g，则 N1 N2的值为( )图 5A.3mg B.4mgC.5mg D.6mg解析 对最低点有 N1 mg m ，最高点有 N2 mg m 。小球在运动过程中由动能定理： mg2R mv mv
21、，解得 N1 N26 mg。12 2 12 21答案 D8.质量 m1 kg 的物体，在水平拉力 F 的作用下，沿粗糙水平面运动，在位移是 4 m 时，11拉力 F 停止作用，运动到位移是 8 m 时物体停止，运动过程中 Ek x 的图像如图 6 所示，g 取 10 m/s2，求：图 6(1)物体和水平面间的动摩擦因数；(2)拉力 F 的大小。解析 (1)在运动的第二阶段，物体在位移 x24 m 内，动能由 Ek10 J 变为零。由动能定理得： mgx 20 Ek，故动摩擦因数 0.25。Ekmgx2 101104(2)在运动的第一阶段，物体位移 x14 m，初动能 Ek02 J，根据动能定理
22、得：Fx1 mgx 1 Ek Ek0，所以 F4.5 N。答案 (1)0.25 (2)4.5 N等级性检测9.(多选)如图 7，一固定容器的内壁是半径为 R 的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为 m 的质点 P。它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为 W。重力加速度大小为 g。设质点 P 在最低点时，向心加速度的大小为 a，容器对它的支持力大小为 N，则( )图 7A.a B.a2（ mgR W）mR 2mgR WmRC.N D.N3mgR 2WR 2（ mgR W）R解析 由动能定理知，在 P 从最高点下滑到最低点的过程中 mgR W mv2，在最低点的向12心加速
23、度 a ，联立得 a ，选项 A 正确；在最低点时 N mg ma，所以 Nv2R 2（ mgR W）mR，选项 C 正确。3mgR 2WR答案 AC1210.如图 8，与水平面夹角 37的斜面和半径 R0.4 m 的光滑圆轨道相切于 B 点，且固定于竖直平面内。滑块从斜面上的 A 点由静止释放，经 B 点后沿圆轨道运动，通过最高点 C 时轨道对滑块的弹力为零。已知滑块与斜面间动摩擦因数 0.25。( g 取 10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8)求：图 8(1)滑块在 C 点的速度大小 vC；(2)滑块在 B 点的速度大小 vB；(3)A、 B 两点间的高度差 h。解析 (
24、1)滑块在 C 点竖直方向所受合力提供向心力mg vC 2 m/sgR(2)对 B C 过程，由动能定理有 mgR(1cos 37) mv mv 12 2C 12 2BvB 4.29 m/s(3)滑块在 A B 的过程，利用动能定理得mgh mg cos 37 mv 0hsin 3712 2B代入数据解得 h1.38 m答案 (1)2 m/s (2)4.29 m/s (3)1.38 m11.(2018江阴一中高一检测)我国海军歼15 舰载机已经在“辽宁”号航母上成功着舰和起飞。现将飞机起飞模型简化为飞机先在水平甲板上做匀加速直线运动，再在倾角为 15的斜面甲板上以最大功率做加速运动，最后从甲板
25、飞出的速度为 360 km/h，如图9 所示。若飞机的质量为 18 吨，甲板 AB180 m， BC50 m。(飞机长度忽略当成质点，不计一切摩擦和空气阻力，取 sin 150.3， g10 m/s 2)图 9(1)如果要求到达甲板 B 点的速度至少为离开斜面甲板速度的 60%，则飞机在水平甲板上运动时的牵引力至少为多少才能使飞机起飞？13(2)如果到达 B 点时飞机刚好达到最大功率，则从飞机开始运动到飞离甲板共需多少时间？解析 (1)由题意知 m18 t1.810 4 kg，vC360 km/h100 m/s，则 B 点的速度至少为 v0.6 vC60 m/s，由动能定理得， FxAB mv
26、2，解得 F1.810 5 N。12(2)到达 B 点时的功率 P Fv1.0810 7 W，飞机从 A 运动到 B 的时间 t1 ，2xABv飞机从 B 到 C 的运动过程由动能定理，得Pt2 mgsin xBC mv mv2， t t1 t2，12 2C 12联立解得 t11.58 s。答案 (1)1.810 5 N (2)11.58 s12.如图 10 甲所示，长为 4 m 的水平轨道 AB 与半径为 R0.6 m 的竖直半圆弧轨道 BC 在 B处平滑连接，有一质量为 1 kg 的滑块(大小不计)从 A 处由静止开始受水平力 F 作用而运动，F 随位移变化的关系如图乙所示(水平向右为正)
27、，滑块与 AB 间的动摩擦因数为 0.25，与 BC 间的动摩擦因数未知， g 取 10 m/s2。图 10(1)求滑块到达 B 处时的速度大小；(2)求滑块在水平轨道 AB 上运动前 2 m 过程所用的时间；(3)若到达 B 点时撤去力 F，滑块沿半圆弧轨道内侧上滑，并恰好能到达最高点 C，则滑块在半圆弧轨道上克服摩擦力所做的功是多少？解析 (1)对滑块从 A 到 B 的过程，由动能定理得F1x1 F3x3 mgx mv12 2B得 vB2 m/s。10(2)在前 2 m 内，由牛顿第二定律得F1 mg ma，且 x1 at12 21解得 t1 s。83514(3)当滑块恰好能到达最高点 C 时，有 mg m对滑块从 B 到 C 的过程，由动能定理得W mg2R mv mv12 2C 12 2B代入数值得 W5 J即克服摩擦力做的功为 5 J。答案 (1)2 m/s (2) s (3)5 J10835
