1、人教版必修四2. 4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（结）命题方向 1 数量积的坐标运算例 1. 已知向量 ab，b(1,2)，|ab|10.(1)求向量 a 的坐标(2)若 a、b 同向，c(2，1)，求(b c)a，(ab) c.分析 解答本题可根据 a 与 b 共线设出 a 的坐标，再利用已知条件构建方程 (组)求得a 的坐标，进而进行求解解析 (1)设 a(x，y)，a bx 2y.ab，y2x .由Error!解得Error!或Error!a(2,4)或 a(2，4)(2)a、b 同向，a(2,4) (bc)a1 22(1)a0 a0.命题方向 2 求向量的夹角例 2. (1
2、)已知 a(1， )，b( 1， 1) ，求 a 与 b 的夹角；3 3 3(2)已知 A(2,1)，B(3,2) ，C(1,5)，求证ABC 是锐角三角形分析 (1)分别求出 ab，|a|，| b|，代入夹角公式求解；(2)ABC 是锐角三角形，即三个内角都是锐角，分别求出相应向量夹角的余弦值，确定该三角形三个内角的余弦值均大于 0 即可解析 (1)解：由 a(1， )，b( 1， 1)，得 ab 1 ( 1)3 3 3 3 3 34，| a|2，|b| 2 .2设 a 与 b 的夹角为 ，则 cos ，ab|a|b| 22又 0，所以 .4(2)证明：由条件得 (1,1)， (4,3) ，
3、CA(3 ，4) ，AB BC 因为 4310，AB BC 所以 、 的夹角是钝角，从而ABC 为锐角AB BC 同理BCA，BAC 也为锐角，所以ABC 是锐角三角形命题方向 3 利用平行、垂直求参数例 3. 在ABC 中， (2,3) ， (1，k) ，且ABC 的一个内角为直角，求 k 的AB AC 值分析 本题条件中无明确指出哪个角是直角，所以需分情况讨论，讨论要注意分类的全面性，同时要注意坐标运算的准确性解析 当A90 时， 0，AB AC 213k0.k .23当B90 时， 0， (1 2，k 3)(1，k3)，AB BC BC AC AB 2(1) 3( k3)0. k .113当C90时， 0，AC BC 1k(k3)0.k .3 132综上所述：k 或 或 .23 113 3 132命题方向 4 已知夹角求参数例 4 设 a(2，x)，b(4,5)，若 a 与 b 的夹角为钝角，求 x 的取值范围分析 为钝角，则 cos0.解析 由 cos0 得 x ，85因为 ab 时有4x100，即 x ，当 x 时，a (2 ， ) b，52 52 52 12所以 a 与 b 反向，故 x 且 x .85 52
