1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(五)三角形中的几何计算(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1.已知ABC 的面积为 ，且 b=2，c= ，则( )A.A=30 B.A=60C.A=30或 150 D.A=60或 120【解析】选 D.SABC = bcsinA= 2 sinA= .所以 sinA= ，所以 A=60或 120.【补偿训练】在ABC 中，若 A=60，b=16，此三角形的面积S=220 ，则 a 的值为( )A.20 B.25 C.55
2、D.49【解析】选 D.因为 bcsinA=220 ，所以 c=55.又因为 a2=b2+c2-2bccosA=2401.所以 a=49.2.在ABC 中，A=60，b=1，ABC 的面积为 ，则 为( )A. B. C. D.2【解析】选 B.由 bcsinA= 得 c=4.由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA=13，故 a= .所以 = = .3.(2015上饶高二检测)在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且 2b=a+c，B=30，ABC 的面积为 ，那么 b 等于( )A. B.1+C. D.2+【解析】选 B.因为 2b=a+c，又由于 B=30，所以
3、SABC = acsinB= acsin30= ，解得 ac=6.由余弦定理，得 b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accos30=4b2-12-6 ，即 b2=4+2 ，由 b0，解得 b=1+ .4.在ABC 中，sinAsinBsinC=357，且周长为 30，则 SABC=( )A. B. C.13 D.15【解析】选 D.由正弦定理知，sinAsinBsinC=abc=357.设 a=3k，b=5k，c=7k(k0)，又 a+b+c=30，所以 k=2，即三边长为 a=6，b=10，c=14.所以 cosA= = ，sinA= .所以 SABC = bcsin
4、A= 1014 =15 .5.(2015三明高一检测)已知锐角三角形 ABC 中，| |=4，| |=1，ABC 的面积为 ，则 的值为( )A.2 B.-2 C.4 D.-4【解题指南】由 SABC = | | |sinA 可求出 sinA 的值，进而求出 cosA 的值，利用 =| | |cosA 即可求解.【解析】选 A.由题意，得 SABC = | | |sinA= 41sinA= ，所以 sinA= ，又因为 A ，所以 cosA= .所以 =| | |cosA=41 =2.【补偿训练】在ABC 中，若| |=2，| |=5， =-5，则SABC 等于( )A. B. C. D.5【
5、解析】选 A.由向量知识可知： =| | |cosA=10cosA=-5，所以 cosA=- ，所以 sinA= .所以 SABC = | | |sinA= 25 = .二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6.等腰三角形的腰长为 2，底边中点到腰的距离为 ，则此三角形外接圆半径 R 为_.【解析】设 AB=AC，D 为底边中点，DEAC，BFAC，则由 DE= ，知 BF= .又因为 AB=2，所以 AF=1，所以 CF=AC-AF=1，tanC= = ，所以 C=60，2R= = ，所以 R= .答案：7.在ABC 中，已知 AC=4，BC=3，cosA= ，则ABC 的面积为_.【解
6、析】因为 cosA= ，所以 sinA= .由余弦定理得，cosA= ，解得 AB=5 或 AB= .由面积公式 S= ACABsinA 得 S=6 或 S= .答案：6 或8.(2015郑州高二检测)如图，在ABC 中，已知 B=45，D 是 BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则 AB 的长为_.【解析】在ACD 中，由余弦定理，得 cosC= = .因为 C 为三角形的内角，所以 sinC= = = .在ABC 中，由正弦定理，得 = ，所以 AB= = = .答案：三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9.在ABC 中，C-A= ，sinB= .(1)求 sinA 的值
7、.(2)设 AC= ，求ABC 的面积.【解题指南】(1)要求 sinA 的值，只要 C-A= 与 A+B+C= 联立，求出 2A= -B，两边同时取余弦即可.(2)求ABC 的面积，可根据正弦定理求出 BC 的长，并结合 C-A= ，求出 sinC 的值即可.【解析】(1)由 C-A= 和 A+B+C=，得 2A= -B，因为 0A .所以 cos 2A=sinB，即 1-2sin2A= ，所以 sinA= .(2)由(1)得 cosA= .又由正弦定理，得 = ，所以 BC= = =3 .因为 C-A= ，所以 C= +A，所以 sinC=sin =cosA= ，所以 SABC = ACB
8、CsinC= 3 =3 .10.设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsin C.(1)求角 A 的大小.(2)若 b=2，c=1，D 为 BC 的中点，求 AD 的长.【解析】(1)由题设可知，2b =a +c，于是 b2+c2-a2=bc，所以 cosA= = .由于 0A，故 A= .(2)方法一：因为 = ( + +2 )= = ，所以| |= .从而 AD= .方法二：因为 a2=b2+c2-2bccosA=4+1-221 =3，所以 a2+c2=b2，B= .因为 BD= ，AB=1，所以 AD= = .(20
9、 分钟 40 分)一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)1.(2015南阳高二检测)在ABC 中，已知 b2-bc-2c2=0，且a= ，cosA= ，则ABC 的面积为( )A. B. C. D.【解析】选 A.因为 b2-bc-2c2=0.所以 b=2c 或 b=-c(舍去).由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA，即 b2+c2- bc=6.与 b=2c 联立，得 b=4，c=2，因为 cosA= ，所以在ABC 中，sinA= = .所以 SABC = bcsinA= .【补偿训练】(2014江西高考)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 c2=(
10、a-b)2+6，C= ，则ABC 的面积是( )A.3 B. C. D.3【解析】选 C.由 c2=(a-b)2+6 可得 a2+b2-c2=2ab-6 .由余弦定理及 C= 可得 a2+b2-c2=ab .所以由得 2ab-6=ab，即 ab=6.所以 SABC = absin = 6 = .2.(2014新课标全国卷)钝角三角形 ABC 的面积是 ，AB=1，BC=，则 AC=( )A.5 B. C.2 D.1【解析】选 B.由题意可得 ABBCsinB= ，又 AB=1，BC= ，所以 sinB= ，所以 B=45或 B=135.当 B=45时，由余弦定理可得AC= =1，此时 AC=A
11、B=1，BC= ，易得 A=90，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去.所以 B=135.由余弦定理可得AC= = .【误区警示】求出角 B 的两个值后，要利用题中的“钝角三角形”条件进行取舍，否则易出错.二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)3.(2015新余高二检测)在ABC 中，A=60，AB=2，且 SABC =，则边 BC 的长为_.【解析】由 SABC = ，得 ABACsinA= ，即 2AC = ，所以 AC=1.在ABC 中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcosA=22+12-221 =3.所以 BC= .答案：4.(2015黄冈高二检测)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，cosA= ，a= ，则ABC 的面积 S 的最大值为_.【解题指南】先由正弦定理求 b，c，再求 bc 的最大值即可.【解析】因为 cosA= ，所以 sinA= ，由正弦定理得 b= sinB= sinB，c= sinC= sinC，所以 bc= sinBsinC
