1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课后提升作业 五三角形中的几何计算(30 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)1.三角形两边长之差为 2,其夹角的余弦值为 ,面积为 14,那么这个三角形的两边长分别是 ( )A.3 和 5 B.4 和 6C.6 和 8 D.5 和 7【解析】选 D.设 a-b=2,因为 cosC= ,所以 sinC= .又 SABC = absinC,即ab=35.由 a-b=2 和 ab=35,解得 a=7,b=5.2.(2016上饶高二检测)已知在AB
2、C 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,且 a=4,b+c=5,A=60,则ABC 的面积为 ( )A. B.3C. D.【解析】选 C.由余弦定理得 16=b2+(5-b)2-2b(5-b)cos60,所以 b= ,c= ,SABC = bcsinA= .3.(2016桂林高二检测)如图所示,在四边形 ABCD 中,已知B=C=120,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于 ( )A. B.5C.6 D.7【解析】选 B.连接 BD,在BCD 中,由余弦定理知:BD2=22+22-222cos120=12,即 BD=2 .因为 BC=CD,所以CBD=30.所以ABD=90
3、,即ABD 为直角三角形.故 S 四边形 ABCD=SBCD +SABD= 22sin120+ 42 =5 .【补偿训练】(2015福建高考改编)若锐角ABC 的面积为 10 ,且 AB=5,AC=8,则 BC 等于 ( )A.7 B.8 C.9 D.10【解题指南】利用三角形面积公式及余弦定理求解.【解析】选 A.S= 58sinA=10 sinA= ,因为 A 为锐角,所以A=60,所以 BC2=AB2+AC2-2ABACcos60=25+64-258 =49,所以 BC=7.4.在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A=2B,a= b,则 cosB等于 ( )A.
4、B. C. D.【解析】选 D.由 a= b 得 sinA= sinB,即 sin2B= sinB,于是2sinBcosB= sinB,所以 cosB= .5.已知锐角三角形 ABC 中,| |=4,| |=1,ABC 的面积为 ,则 的值为 ( )A.2 B.-2 C.4 D.-4【解题指南】由 SABC = | | |sinA 可求出 sinA 的值,进而求出 cosA 的值,利用 =| | |cosA 即可求解.【解析】选 A.由题意,得 SABC = | | |sinA= 41sinA= ,所以 sinA= ,又因为 A ,所以 cosA= .所以 =| | |cosA=41 =2.6
5、.(2016聊城高二检测)在ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为a,b,c,若 c2=(a-b)2+6,且 C= ,则ABC 的面积为 ( )A. B. C.3 D.3【解析】选 A.因为 c2=(a-b)2+6,所以 c2=a2-2ab+b2+6,即 a2+b2-c2=2ab-6,因为 C= ,所以 cos = = = ,解得 ab=6,则三角形的面积 S= absinC= 6 = .7.在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若asinBcosC+csinBcosA= b,且 ab,则B= ( )A. B. C. D.【解题指南】利用正弦定理,将边化为角,借助式
6、子的特点,利用和角公式与相关的诱导公式解决问题.【解析】选 A.据正弦定理,设 = = =k,则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.将它们代入 asinBcosC+csinBcosA= b,整理得sinAcosC+cosAsinC= ,即 sin(A+C)= ,又 sin(A+C)=sin(-B)=sinB,所以 sinB= .因为 ab,所以B 必为锐角,所以B= .8.在ABC 中,已知 b2-bc-2c2=0,且 a= ,cosA= ,则ABC 的面积为 ( )A. B. C. D.【解析】选 A.因为 b2-bc-2c2=0.所以 b=2c 或 b=-c(舍去).由余弦定理
7、得 a2=b2+c2-2bccosA,即 b2+c2- bc=6.与 b=2c 联立,得 b=4,c=2,因为 cosA= ,所以在ABC 中,sinA= = .所以 SABC = bcsinA= .二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)9.(2016锦州高二检测)若ABC 的三边 a,b,c 及面积 S 满足 S=a2-(b-c)2,则 sinA=_.【解析】由余弦定理得S=a2-(b-c)2=2bc-2bccosA= bcsinA,所以 sinA+4cosA=4,由 sin2A+cos2A=1,解得 sin2A+ =1,解得 sinA= (0 舍去).答案:10.(2016海口高二检测
8、)在ABC 中,A=30,AB=2 ,4BC 212,则ABC 面积的取值范围是_.【解析】因为ABC 中,A=30,AB=2 ,由余弦定理可得 BC2=AB2+AC2-2ABACcos30=12+AC2-6AC,又因为 4BC 212,所以 412+AC 2-6AC12,解得 0AC2,或 4AC6,而 SABC = ABACsin30= AC,所以 0SABC 或 2 S ABC 3 .答案:(0, 2 ,3 三、解答题11.(10 分)(2016青岛高二检测)在ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C的对边,D 为边 AC 的中点,a=3 ,cosABC= .(1)若 c=3,求 s
9、inACB 的值.(2)若 BD=3,求ABC 的面积.【解析】(1)a=3 ,cosABC= ,c=3,由余弦定理:b2=c2+a2-2cacosABC=32+(3 )2-23 3 =18,所以 b=3 ,又ABC(0,),所以 sinABC= = .由正弦定理: = ,得 sinACB= = .(2)以 BA,BC 为邻边作如图所示的平行四边形 ABCE,如图,则 cosBCE=-cosABC=- ,BE=2BD=6.在BCE 中,由余弦定理:BE2=CB2+CE2-2CBCEcosBCE,即 36=CE2+18-23 CE ,解得:CE=3,即 AB=3,所以 SABC = acsinABC= .关闭 Word 文档返回原板块
