1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课后提升作业 二十三平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(45 分钟 70 分)一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)1.(2016安阳高一检测)已知 O(0,0),A(2,0),B(3,1),则( -) =( )A.4 B.2 C.-2 D.-4【解析】选 A.由已知得 =(2,0), =(3,1), - =(1,1),则(- ) =(1,1)(3,1)=3+1=4.2.设 xR,向量 a=(x,1),b=(1,-2),ab,则 |a+b|=( )A. B.
2、C.2 D.10【解析】选 B.ab ab=0x=2,|a+b|=|(2,1)+(1,-2)|= .【补偿训练】(2016孝感高一检测)设 x,yR,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4)且 ac,bc,则|a+b|=( )A. B.2 C. D.10【解析】选 C.由 ac 得 ac=0.即 2x-4=0.解得 x=2,由 bc 得 2y=-4.解得 y=-2,则 a+b=(3,-1),所以|a+b|= .3.平行四边形 ABCD 中, =(1,0), =(2,2),则 等于( )A.-4 B.-2 C.2 D.4【解题指南】解答本题一方面要注意 = ,另一方面要利用向量减法
3、的几何意义求 , 的坐标.【解析】选 D.因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 = = - =(2,2)-(1,0)=(1,2),= - =(1,2)-(1,0)=(0,2),所以 =10+22=4.4.(2015全国卷)已知 a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a +b)a=( )A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选 C.由题意可得 a2=2,ab=-3,所以(2a+b) a=2a2+ab=4-3=1.5.(2016全国卷)已知向量 = , = ,则ABC=( )A.30 B.45 C.60 D.120【解析】选 A.因为 = + = , = =1,所以 cosABC= =
4、,即ABC=30.6.(2016郑州高一检测)已知 C 为ABC 的一个内角,向量m=(2cosC-1,-2),n=(cosC,cosC+1).若 mn,则C 等于( )A. B.C. D.【解析】选 C.因为 mn ,所以 2cos2C-3cosC-2=0,所以(2cosC+1)(cosC-2)=0,所以 cosC=- ,又 C 为ABC 的一个内角,所以 C= .7.已知|a|=3,| b|=4,向量 a+ b 与 a- b 的位置关系为( )A.平行 B.垂直C.夹角为 D.不平行也不垂直【解析】选 B.因为 =|a|2- |b|2=9-16=0,所以 a+ b 与 a- b 垂直.8.
5、已知向量 m=(+1,1),n =(+2,2),若(m+n)(m-n),则 等于( )A.-4 B.-3 C.-2 D.-1【解析】选 B.因为 m=(+1,1),n =(+2,2).所以 m+n=(2+3,3), m-n=(-1,-1).因为(m+n)(m-n),所以(m+n)(m-n)=0,所以-(2+3)-3=0,解得 =-3.二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)9.(2016徐州高一检测)设向量 a 与 b 的夹角为 ,a =(2,1),3b+a=(5,4),则 cos= .【解析】设 b=(x,y),则由 a=(2,1),3b+a=(5,4)可得(3x+2,3y+1)=(5,4
6、),即 所以 b=(1,1),故 ab=21+11=3且|a|= = ,|b|= = ,所以 cos= = =.答案:【补偿训练】若 a= ,|b|=2 ,若 a(b-a)=2,则向量 a 与b 的夹角为 .【解析】设 a 与 b 的夹角为 ,因为 a= ,所以|a|=1, 又|b|=2 ,所以 a(b-a)=ab-a2=|a|b|cos-|a| 2=2,所以 12 cos-1=2,所以 cos= ,又 0,所以 = .答案:10.(2016威海高一检测)已知 a=(2,1),b=(m,6),向量 a 与向量 b的夹角 是锐角,则实数 m 的取值范围是 .【解析】因为向量 a 与向量 b 的夹
7、角 是锐角,所以 cos= 0,所以 ab=2m+60,得 m-3,又当 a 与 b 同向时, = ,所以 m=12.所以 m-3 且 m12.答案:m-3 且 m12【误区警示】解答本题容易误认为:向量 a 与向量 b 的夹角为锐角等价于 ab0,导致求实数 m 的取值范围是 m-3,实际上,当 a 与 b 同向时,也有 ab0.三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)11.已知 a+b=(2,-8),a-b=(-8,16),求 a,b,ab.【解题指南】解关于 a 与 b 的方程,求出 a 与 b 的坐标,利用公式求ab.【解析】由 a+b=(2,-8),a-b=(-8,16),两式相
8、加,得 2a=(-6,8),所以 a=(-3,4),两式相减,得 2b=(10,-24),所以 b=(5,-12),于是,ab=(-3)5+4(-12)=-63.12.已知 a=(1,2),b=(-3,2).(1)求 a-b 及 |a-b|.(2)若 ka+b 与 a-b 垂直 ,求实数 k 的值.【解析】(1)a-b=(4,0),| a-b|= =4.(2)ka+b=(k-3,2k+2),a-b=(4,0),因为 ka+b 与 a-b 垂直 ,所以(ka+b)( a-b)=4(k-3)+(2k+2)0=0,解得:k=3.【能力挑战题】已知向量 a=( ,-1),b= .(1)求证:a b.(2)是否存在不等于 0 的实数 k 和 t,使 x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且xy?如果存在,试确定 k 和 t 的关系;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)ab=( ,-1) = - =0,所以 ab.(2)假设存在非零实数 k,t 使 xy,则a+(t 2-3)b(-ka+tb)=0,整理得-ka 2+t-k(t2-3)ab+t(t2-3)b2=0.又 ab=0,a2=4,b2=1.所以-4k+t(t 2-3)=0,即 k= (t3-3t)(t0),故存在非零实数 k,t,使 xy 成立,其关系为 k= (t3-3t)(t0 且 t ).关闭 Word 文档返回原板块
