1、章末综合能力测试时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设 Sn为等差数列a n的前 n 项和，S 84a 3，a 72，则 a9( )A6 B4C2 D2解析：由等差数列性质及前 n 项和公式，得 S8 4( a3a 6)4a 3，所以 a60.8a1 a82又 a72，所以公差 d2，所以 a9a 72d6.答案：A2等比数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 S3a 210a 1，a 59，则 a1( )A. B13 13C. D19 19解析：设公比为 q，S 3a 210a
2、 1，a 59，Error!Error!解得 a1 ，故选 C.19答案：C3若a n是公差为 1 的等差数列，则a 2n1 2a 2n是( )A公差为 3 的等差数列 B公差为 4 的等差数列C公差为 6 的等差数列 D公差为 9 的等差数列解析：设数列a n的公差为 d，则由题意知，d1，设 cna 2n1 2a 2n，则 cn1 a 2n1 2a 2n2 ，cn1 c na 2n1 2a 2n2 a 2n1 2a 2n6d6.答案：C4在等差数列a n中，a 10，a 18a 190，则 an的前 n 项和 Sn中最大的是( )AS 8 BS 18CS 17 DS 9解析：a 10，a
3、18a 190，a 180，a 1934180.故选 C.答案：C8数列 1 ，2 ，3 ，4 ，的前 n 项和为( )12 14 18 116A. (n2n2) 12 12nB. n(n1)112 12n 1C. (n2n2)12 12nD. n(n1) 212 (1 12n)解析：S n (112 214 318 n12n)(123n) (12 14 18 12n) nn 12121 (12)n1 12 1 (n2n 2) ，故选 A.nn 12 12n 12 12n答案：A9设数列a n是公差不为 0 的等差数列，a 11 且 a1，a 3，a 6 成等比数列，则a n的前n 项和 Sn
4、等于( )A. B. n28 7n8 n24 7n4C. Dn 2nn22 3n4解析：由 a1，a 3，a 6 成等比数列可得 a a 1a6，设数列a n的公差为 d(d0)，则(1 2d)2321(1 5d) ，而 d0，故 d ，所以 Snn .14 nn 12 14 n28 7n8答案：A10已知 Sn为等比数列a n的前 n 项和，a 12，若数列1a n也是等比数列，则 Sn等于( )A2n B3nC2 n1 2 D3 n1解析：设a n的公比为 q，数列1a n是等比数列，(1a 2)2(1a 1)(1a 3)，(12q) 23(12q 2)，q1，S n2n.答案：A11设
5、yf(x) 是一次函数，若 f(0)1，且 f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则 f(2)f(4)f(2 n)等于 ( )An(2n3) Bn(n4)C2n(2n3) D2n(n4)解析：设 ykxb( k0，k ，b 为常数)f(0)1，b 1.又f (1)，f (4)，f(13)成等比数列，(4k 1)2(k 1)(13 k1)， k2，y2x1，f(2)f(4)f(2n)22124122n 12(242n)nn(2 n3)答案：A12某容器中盛满 10 kg 的纯酒精，倒出 2 kg 后再补上同质量的水，混合后再倒出 2 kg，再补上同质量的水，倒出 n 次后容器中纯酒精的质量为
6、( )A8 n1 kg B8 n kg(45) (45)C8 n1 kg D8 n1 kg(45) (15)解析：可以求出第一次倒出后容器中的纯酒精质量为 1028(kg)；第二次倒出后容器中的纯酒精质量为 8 (kg)；第三次倒出后容器中的纯酒精质量为 8 2(kg)，可归45 (45)纳出第 n 次倒出后容器中的纯酒精质量为 8 n1 (kg)(45)答案：A二、填空题(本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分)13等差数列a n中，a 3a 72a 1540，则 S19_.解析：由 a3a 72a 1540，得 2a52a 1540，从而得 a1a 1920，所以 S19 190
7、.19a1 a192答案：19014在等比数列a n中，各项都是正数，且 a1， a3,2a2 成等差数列，则12_.a9 a10a7 a8解析：设等比数列a n的公比为 q.数列a n各项都是正数，故 q0.由 a1， a3,2a2 成等12差数列，知 a3a 12a 2，即 a1q2a 12a 1q，q 22q10，解得 q1 ， 2a9 a10a7 a8q 232 .a7q2 a8q2a7 a8 2答案：32 215某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第一天植 2 棵，以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍，则需要的最少天数 n(nN *)等于_解析：每天植树的棵树构成以 2 为首项，
8、2 为公比的等比数列，其前 n 项和 Sn 2 n1 2.由 2n1 2100，得 2n1 102.由于 2664,2 7128，则a11 qn1 q 21 2n1 2n17，即 n6.答案：616设 Sn为数列a n的前 n 项和，S n(1) nan ，nN *，则(1) a3_；(2)12nS1S 2S 100_.解析：a nS nS n1 (1) nan (1) n1 an1 ，12n 12n 1a n(1) nan( 1) n1 an1 .12n当 n 为偶数时，a n1 ，12n当 n 为奇数时，2a na n1 ，12n当 n4 时，a 3 .124 116根据以上a n的关系式
9、及递推式可求a1 ，a 3 ，a 5 ，a 7 ，122 124 126 128a2 ，a 4 ，a 6 ，a 8 .122 124 126 128a 2a 1 ，a 4a 3 ，a 6a 5 ，12 123 125S 1S 2S 100(a 2a 1)(a 4a 3)(a 100a 99) (12 122 123 12100) (12 123 1299) (12 122 12100) .13( 12100 1)答案：(1) (2)116 13( 12100 1)三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知a n是一个等
10、差数列且 a2a 84，a 62.(1)求a n的通项公式；(2)求a n的前 n 项和 Sn的最小值解析：(1)设a n的公差为 d.a 2a 82a 5，a 2a 84，a 52，又a 62，da 6a 54.a 118.a na 1(n1)d4n22.(2)Snna 1 d2n 220nnn 122(n5) 250，n5 时，S n取得最小值50.18(本小题满分 12 分)已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 12，S nn 2n.(1)求数列a n的通项公式；(2)设 的前 n 项和为 Tn，求证：T n0，即 Tn0.故当 n12 或 13 时，数列b n的前 n 项和最小，且
11、最小值 T12T 1378.20(本小题满分 12 分)数列a n中，a 12，a n1 a ncn(c 是不为零的常数，n1,2,3，)，且 a1，a 2，a 3 成等比数列(1)求 c 的值；(2)求a n的通项公式；(3)求数列 的前 n 项之和 Tn.an cncn解析：(1)a 12，a 22c，a 323c.a 1，a 2，a 3 成等比数列，(2c) 22(23c)，解得 c0 或 c2.c0，c2.(2)当 n2 时，由于 a2a 1c，a 3a 22c，a na n1 (n1)c，a na 112(n1)c c.nn 12又 a12，c2，故有 an2n(n1)n 2n2(n
12、2,3，) 当 n1 时，上式也成立，a nn 2n2(n1,2,3)(3)令 bn (n1) n，an cncn (12)则 Tnb 1b 2b 3b n0 22 33 4( n1) n，(12) (12) (12) (12)Tn0 32 4(n2) n( n1) n1 .12 (12) (12) (12) (12)由得 Tn1 n1 1 .(12) n 12n n 12n21(本小题满分 12 分)已知某大学有 1 000 名学生，他们每到周末或者自费去学电脑或者从事家教，第一个周六学电脑和从事家教的各有 500 人，经调查显示，凡是在某周六学电脑的学生下周六 20%改成从事家教；而从事家
13、教的下周六有 30%改成学电脑，设 An与 Bn分别表示第 n 周学电脑与从事家教的学生人数(1)试用 An表示 An1 ；(2)从第几周开始，星期六学电脑的人数将超过 590 人？解析：(1)由题意得 An1 80% An30% Bn，又 AnB n1 000，消去 Bn，得 An1 An300.12(2)由(1)，A n1 An300，12A n1 600 (An600)12又A 1500，A n 600是以100 为首项， 为公比的等比数列12A n600100 n1 ，(12)An600100 n1 590.(12) n1 log 210.又nN *，n5.从第 5 周开始，星期六学电
14、脑的人数将超过 590 人22(本小题满分 12 分)正项数列a n的前 n 项和 Sn满足：S (n 2n1)S n( n2n)0.2n(1)求数列a n的通项公式 an；(2)令 bn ，数列b n的前 n 项和为 Tn.证明：对于任意的 nN *，都有 Tn .n 1n 22a2n 564解析：(1)由 S (n 2n1)S n(n 2n) 0，2n得S n( n2n)(S n1)0.由于数列a n是正项数列，所以 Sn0，S nn 2n.于是 a1S 12，当 n2 时，anS nS n1 n 2n(n1) 2(n1) 2n.综上可知，数列a n的通项 an2n.(2)证明：由于 an2n，b n ，n 1n 22a2n则 bn .n 14n2n 22 1161n2 1n 22Tn Error! Error!116 122 142 132 152 1n 12 1n 12 1n2 1161 122 1n 12 1n 22 116(1 122) .564
