1、第四章 曲线运动 万有引力与航天(1)从近三年高考试题考点分布可以看出，高考对本章内容的考查重点有：平抛运动、圆周运动与牛顿运动定律的综合，万有引力定律与实际航空、航天问题的综合(如天体质量、密度的估算，卫星的发射、运行、变轨问题等)。(2)本部分内容的考查题型较全，既有选择题，又有计算题，对抛体运动、圆周运动、万有引力定律的应用的直接考查，一般为选择题；平抛运动、圆周运动规律与其他知识的综合应用，一般以计算题的形式考查。2015 高考考向前瞻Error!(1)运动的合成与分解、平抛运动规律、圆周运动规律、万有引力定律在航天科技方面的应用仍将是本章命题的热点。(2)平抛运动、圆周运动规律与牛顿
2、运动定律、万有引力定律、功能关系、电磁学知识相结合，与生产、生活、科技背景相联系，将是 2015 年高考命题的趋势。第 1 节 曲线运动_运动的合成与分解曲线运动想一想如图 411 是一位跳水运动员从高台做“反身翻腾二周半”动作时头部的运动轨迹，最后运动员沿竖直方向以速度 v 入水。整个运动过程中在哪几个位置头部的速度方向与入水时 v 的方向相同？在哪几个位置与 v 的方向相反？把这些位置在图中标出来。图 411提示：头部的速度方向为头部运动轨迹在各点的切线方向，如图所示，A、C 两位置头部速度方向与 v 方向相同，B 、D 两位置头部速度方向与 v 方向相反。记一记1速度方向质点在某一点的瞬
3、时速度的方向，沿曲线上该点的切线方向。2. 运动性质做曲线运动的物体，速度的方向时刻改变，故曲线运动一定是变速运动，即必然具有加速度。3曲线运动的条件(1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上。(2)动力学角度：物体所受合外力的方向跟速度方向不在同一条直线上。试一试1.(2014苏锡常镇徐连调研)在 xOy 平面内，一质点仅在恒力 F 作用下由原点 O 运动到A 点，其轨迹及在 O 点、A 点的速度方向如图 412 所示，则 F 的方向可能沿( )图 412A. y 轴正方向 By 轴负方向C. x 轴正方向 D. x 轴负方向解析：选 C 质点做曲线运动时，物体受到的合力方
4、向指向曲线的凹侧，并且与速度不在同一直线上，所以 C 正确。运动的合成与分解想一想 如图 413 所示，红蜡块可以在竖直玻璃管内的水中匀速上升，速度为 v。若在红蜡块从 A 点开始匀速上升的同时，玻璃管从 AB 位置由静止开始水平向右做匀加速直线运动，加速度大小为 a。图 413请思考：红蜡块实际参与了哪两个方向的运动？这两个运动的合运动轨迹是直线还是曲线？与图中哪个轨迹相对应？提示：红蜡块沿竖直方向做匀速直线运动，沿水平方向做匀加速直线运动，此两运 动的合运动为曲线运动，运动轨迹 为图中的曲线 AQC。记一记1基本概念分运动 合运动 运 动 的 合 成 运 动 的 分 解2分解原则根据运动的
5、实际效果分解，也可采用正交分解。3遵循的规律位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。(1)如果各分运动在同一直线上，需选取正方向，与正方向同向的量取“”号，与正方向反向的量取“”号，从而将矢量运算简化为代数运算。(2)两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图 414 所示。图 414(3)两个分运动垂直时的合成满足：a 合 ax2 ay2s 合 x2 y2v 合 vx2 vy2试一试2某质点的运动速度在 x、y 方向的分量 vx、v y 与时间的关系如图 415 所示，已知 x、y 方向相互垂直，则 4 s 末该质点的速度和位移大小各是多少？图 4
6、15解析：4 s 末该质点在 x 方向上，v x3 m/s ，sxv xt12 m在 y 方向上，v y4 m/s ，a 1 m/s 2，sy at28 mvyt 12所以 v 合 5 m/svx2 vy2s 合 4 m。sx2 sy2 13答案：5 m/s 4 m13考点一Error!物体做曲线运动的条件与轨迹分析例 1 ( 多选)一小球在光滑水平面上以某速度做匀速直线运动，运动途中受到与水平面平行的恒定风力作用，则小球的运动轨迹可能是( )图 416解析 选 ABC 因不知对小球的水平风力的具体方向，故轨迹有多种可能，A、B、 C均有可能，因小球运动轨迹一定于小球速度方向相切，不可能出现如
7、图 D 中折线，故 D 错误。例 2 ( 多选)质量为 m 的物体，在 F1、F 2、F 3 三个共点力的作用下做匀速直线运动，保持 F1、F 2 不变，仅将 F3 的方向改变 90(大小不变)后，物体可能做( )A加速度大小为 的匀变速直线运动F3mB加速度大小为 的匀变速直线运动2F3mC加速度大小为 的匀变速曲线运动2F3mD匀速直线运动解析 选 BC 选物体在 F1、F2、F3 三个共点力作用下做匀速直线运动，必有 F3 与F1、F2 的合力等大反向，当 F3 大小不变，方向改 变 90时，F 1、F2 的合力大小仍为 F3，方向与改变方向后的 F3夹角为 90，故 F 合 F3，加速
8、度 a ，若初速度方向与 F 合 方2F合m 2F3m向共线，则物体做匀变速直线 运动，若初速度方向与 F 合 方向不共线， 则物体做匀变速曲线运动，故 B、C 正确。曲线运动条件 因 为 速 度 时 刻 在 变 ， 所 以 一 定 存 在 加速 度 ； 物 体 受 到 的 合 外 力 与 初 速 度 不 共 线 。 合外力方向与轨迹的关系 物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力的方向与速度方向之间；合外力或加速度方向一定指向轨迹的“凹”侧；曲线轨迹只能平滑变化，不会出现折线。 速率变化情况判断 当 合 外 力 方 向 与 速 度 方 向 的 夹 角 为锐 角 时 ， 物 体 的 速 率 增 大
9、； 当 合 外 力 方 向 与 速 度 方 向 的 夹 角 为钝 角 时 ， 物 体 的 速 度 减 小 ； 当 合 外 力 方 向 与 速 度 方 向 垂 直 时 ， 物体 的 速 率 不 变 。 考点二Error!合运动的轨迹与性质判断例 3 以下说法正确的是_ 。(1)分运动与合运动的运动时间是相同的(2)合运动的速度为各分运动速度大小之和(3)两个直线运动的合运动一定为直线运动(4)两个匀速直线运动的合运动一定为直线运动(5)两个匀变速直线运动的合运动一定为匀变速直线运动(6)两个初速度为零的匀变速直线运动的合运动一定为匀变速直线运动答案 (1)(4)(6)(1)合运动类型Error!
10、(2)两个直线运动的合运动性质的判断根据合加速度方向与合初速度方向判定合运动是直线运动还是曲线运动，具体分以下几种情况：两个互成角度的分运动 合运动的性质两个匀速直线运动 匀速直线运动一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动匀变速曲线运动两个初速度为零的匀加速直线运动匀加速直线运动如果 v 合 与 a 合 共线，为匀变速直线运动两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果 v 合 与 a 合 不共线，为匀变速曲线运动考点三Error!小船过河问题分析1小船过河问题分析思路2三种速度v1(船在静水中的速度)、v 2(水流速度) 、v(船的实际速度)。3三种过河情景分析(1)过河时间最短：船头正对河岸时，渡
11、河时间最短，t min (d 为河宽)。dv1(2)过河路径最短(v 2v1 时) ：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。确定方法如下：如图 417 所示，以 v2 矢量末端为圆心，以 v1 矢量的大小为半径画弧，从 v2 矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短。图 417由图可知 cos ，最短航程 x 短 d。v1v2 dcos v2v1例 4 一小船渡河，河宽 d 180 m，水流速度 v12.5 m/s。(1)若船在静水中的速度为 v25 m/s，求：欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间
12、？位移是多少？(2)若船在静水中的速度 v21.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？思路点拨(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝什么方向？此指向与 v2 和 v1 的大小关系有关吗？提示：船头朝正对岸；无关。(2)欲使渡河的航程最短，船的实际速度一定与河岸垂直吗？此时应如何确定船头指向？提示：不一定；结合例题前要点讲解分析。解析 将船实际的速度(合速度 )分解为垂直河岸方向和平行河岸方向的两个分速度，垂直分速度影响渡河的时间，而平行分速度只影响船在平行河岸方向的位移。(1)若 v25 m/s。欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向，当船头垂直河岸
13、时，如图甲所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度 为 v25 m/s 。甲t s36 s ，dv dv2 1805v 合 m/s，v12 v22525xv 合 t90 m。5欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向。船 头应 朝图乙中的 v2 方向。垂直河岸过河要求 v 水平 0，如 图乙所示，有 v2sin v 1，得 30。所以当船头与上游河岸成 60时航程最短。乙xd180 m。t s24 s。dv dv2cos 30 180523 3(2)若 v21.5 m/s。与(1)中不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为 ，则航程 x 。欲使航程最短，需 最
14、大，如图丙所示，由出发点 A 作出 v1dsin 矢量，以 v1 矢量末端为圆心，v 2 大小为半径作圆，A 点与圆 周上某点的连线即为合速度方向，欲使 v 合 与水平方向夹角最大， 应使 v 合 与圆相切，即 v 合 v2。丙sin ，得 37。v2v1 35所以船头应朝上游与河岸成 53方向。t s150 s。dv2cos 1801.2v 合 v 1cos 372 m/sxv 合 t300 m。答案 (1)船头垂直于河岸 36 s 90 m5船头与上游河岸成 60夹角 24 s 180 m3(2)船头与上游河岸成 53夹角 150 s 300 m解决小船过河问题应注意的两个问题(1)渡河时
15、间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关。(2)船渡河位移最短值与 v 船 和 v 水 大小关系有关，v 船 v 水 时，河宽即为最短位移，v 船vBBv AhA，由 h gt2 得：t BtA，由 v 可以得出 vAvB，A 正确。12 xt斜抛运动记一记1概念以一定的初速度将物体沿与水平方向成一定角度斜向抛出，物体仅在重力作用下所做的曲线运动。2性质斜抛运动是加速度恒为重力加速度 g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。3基本规律以斜向上抛为例说明，如图 423 所示。图 423(1)水平方向：v 0xv 0cos_，F 合 x0。(2)竖直方向：v 0yv 0sin_，F 合 ym
16、g 。因此斜抛运动可以看做是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。试一试2(多选) 物体以速度 v0 抛出做斜抛运动，则( )A在任何相等的时间内速度的变化量是相同的B可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动C射高和射程都取决于 v0 的大小Dv 0 很大，射高和射程可能很小解析：选 AD 斜抛运动整个 过程中加速度恒为 g，为匀变速运动，故相等时间内速度变化量一定相同，A 正确；由斜抛运动的两分运动特点知 B 选项错误 ；射高与射程不仅取决于v0 的大小，还取决于抛出速度 v0 与水平方向的夹角大小，故 C 选项错误，D 选项正确。考点一Error!平抛运动
17、规律的应用1飞行时间t ，飞行时间取决于下落高度 h，与初速度 v0 无关。2hg2水平射程xv 0tv 0 ，即水平射程由初速度 v0 和下落高度 h 共同决定，与其他因素无关。2hg3落地速度v ，以 表示落地时速度与 x 轴正方向间的夹角，有 tan vx2 vy2 v02 2gh ，所以落地速度也只与初速度 v0 和下落高度 h 有关。vyvx 2ghv0图 4244速度改变量因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度 g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔 t 内的速度改变量 vgt 相同，方向恒为竖直向下，如图 424 所示。5两个重要推论(1)做平抛(或类平抛 )运动的物体任一时
18、刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图 425 甲中 A 点和 B 点所示。图 425(2)做平抛(或类平抛 )运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为 ，位移与水平方向的夹角为 ，则 tan 2tan ，如图乙所示。图 426例 1 (2013济南模拟 )如图 426 所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间 t 到达地面时，速度与水平方向的夹角为 ，不计空气阻力，重力加速度为 g。下列说法正确的是( )A小球水平抛出时的初速度大小为 gttan B小球在 t 时间内的位移方向与水平方向的夹角为2C若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长D若小球初速度增大
19、，则 减小思路点拨(1)请分析计算小球落地时竖直方向的速度和位移。竖直方向的速度：_。竖直方向的位移：_。提示： vygt y gt212(2)请画出小球落地时速度和位移的分解示意图。提示：解析 选 D 由 tan 可得小球平抛的初速度大小 v0 ，A 错误；由 tan gtv0 gttan hx tan 可知， ，B 错误；小球平抛的时间 t ，与小球初速度无关，C 错误；12gt2v0t gt2v0 12 2 2hg由 tan 可知，v 0 越大， 越小， D 正确。gtv0(1)解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动沿水平和竖直两个方向分解，这样分解的优点是不用分解初速度，也不用分解
20、加速度。(2)分析平抛运动时，要充分利用平抛运动中的两个矢量三角形找各量的关系。1(2014无锡市第一中学质检) 水平抛出的小球，t 秒末的速度方向与水平方向的夹角为 1，tt 0 秒末速度方向与水平方向的夹角为 2，忽略空气阻力，重力加速度为 g，则小球初速度的大小为( )Agt 0(cos 1cos 2) B.gt0cos 1 cos 2Cgt 0(tan 1tan 2) D.gt0tan 2 tan 1解析：选 D 将 t 秒末和 tt 0 秒末的速度分解如图所示，则 tan 1，tan 2 ，又 vy2v y1gt 0，解得 v0 ，故 D 正确。vy1v0 vy2v0 gt0tan
21、2 tan 1考点二Error!类平抛运动问题分析例 2 在光滑的水平面内，一质量 m1 kg 的质点以速度 v010 m/s 沿 x 轴正方向运动，经过原点后受一沿 y 轴正方向(竖直方向) 的恒力 F15 N 作用，直线 OA 与 x 轴成37 ，如图 42 7 所示曲线为质点的轨迹图(g 取 10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8)，求：图 427(1)如果质点的运动轨迹与直线 OA 相交于 P 点，质点从 O 点到 P 点所经历的时间以及P 点的坐标；(2) 质点经过 P 点时的速度大小。审题指导第一步：抓关键点关键点 获取信息以速度 v010 m/s 沿 x 轴正方向
22、运动 质点经过 O 点后所做运动的初速度沿 y 轴正方向恒力 F15 N 沿 y 轴做初速度为零的匀加速直线运动第二步：找突破口要求质点从 O 点到 P 点的时间可分析沿 x 方向和y 方向的分运动位移，利用 tan 列方程即可。yx解析 质点在水平方向上无外力作用做匀速直线运动，竖 直方向受恒力 F 和重力 mg作用做匀加速直线运动。由牛顿第二定律得：a m/s25 m/s2。F mgm 15 101设质点从 O 点到 P 点经历的 时间为 t，P 点坐标为( xP，yP)，则 xPv 0t，yP at212又 tan yPxP联立解得：t3 s，x P30 m，y P22.5 m。(2)质
23、点经过 P 点时沿 y 轴正方向的速度vyat 15 m/s故 P 点的速度大小vP 5 m/s。v02 vy2 13答案 (1)3 s x P30 m，y P22.5 m (2)5 m/s132如图 428 所示，A、B 两质点从同一点 O 分别以相同的水平速度 v0 沿 x 轴正方向抛出，A 在竖直平面内运动，落地点为 P1；B 沿光滑斜面运动，落地点为 P2，P 1 和 P2在同一水平面上，不计阻力，则下列说法正确的是( )图 428AA、B 的运动时间相同BA、B 沿 x 轴方向的位移相同CA、B 运动过程中的加速度大小相同DA、B 落地时速度大小相同解析：选 D 设 O 点与水平面的
24、高度差 为 h，由 h gt12， gsin t22 可得：12 hsin 12t1 ，t2 ，故 t1t2，A 错误；由 x1v 0t1，x2v 0t2 可知， x1x2，B 错误；由2hg 2hgsin2a1g，a 2gsin 可知，C 错误；A 落地的速度大小为 vA ，B 落地v02 gt12 v02 2gh的速度大小 vB v02 a2t22 ，所以 vAv B，故 D 正确，v02 2gh以 “网球运动”为背景考查平抛运动的临界问题典例 (多选)(2011广东高考) 如图 429 所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面 H 处，将球以速度 v 沿垂直球网的方向击出
25、，球刚好落在底线上。已知底线到网的距离为 L，重力加速度取 g，将球的运动视做平抛运动，下列表述正确的是( )图 429A球的速度 v 等于 L g2HB球从击出至落地所用时间为 2HgC球从击球点至落地点的位移等于 LD球从击球点至落地点的位移与球的质量有关解析 本题考查平抛运动的规律，考 查学生应用运动的合成与分解解决平抛运 动问题的能力。球做平抛运动，从击出至落地所用时间为 t ，B 正确；球的速度 v L 2Hg Lt，A 正确；球从击球点至落地点的位移为 ，这个位移与球的质量无关， C、D 错误。g2H H2 L2答案 AB点悟本题以“网球运动”为背景，联系体育运动实际情景，考查平抛
26、运动的临界问题，以体育运动为背景的抛体运动问题命题角度较多，如排球、篮球、乒乓球等，此类问题，只要不考虑空气阻力影响，均可用平抛运动规律处理。3.(2014镇江模拟)如图 42 10 所示，将一篮球从地面上方 B 点斜向上抛出，刚好垂直击中篮板上 A 点，不计空气阻力，若抛射点 B 向篮板方向水平移动一小段距离，仍使抛出的篮球垂直击中 A 点，则可行的是( )图 4210A增大抛射速度 v0，同时减小抛射角 B减小抛射速度 v0，同时减小抛射角 C增大抛射角 ，同时减小抛出速度 v0D增大抛射角 ，同时增大抛出速度 v0解析：选 C 由于篮球始终垂直击中 A 点，可应用逆向思维，把篮球的运动看
27、做从 A 开始的平抛运动。当 B 点水平向左移动一小段距离时，A 点抛出的篮球仍落在 B 点， 则竖直高度不变，水平位移减小，球到 B 点的时间 t 不变， 竖直分速度 vy 不变，水平方向2hg 2gh由 xv xt 知 x 减小，v x 减小，合速度 v0 变小，与水平方向的夹角 tan 变大，vx2 vy2vyvx综合可知选项 C 正确。平抛运动与斜面相结合的模型，其特点是做平抛运动的物体落在斜面上，包括两种情况：1物体从空中抛出落在斜面上；2从斜面上抛出落在斜面上。在解答该类问题时，除要运用平抛运动的位移和速度规律外，还要充分利用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度的关系，从而使问题得到
28、顺利解决。实 例方法 内容斜面 求小球平抛时间总结分解速度水平 vx v0 竖直vygt 合速度 v vx2 vy2如图，v ygt，tan ，故 tv0vy v0gt v0gtan 分解速度，构建速度三角形分解位移水平 xv 0t 竖直y gt2 合位移 x 合12 x2 y2如图，xv 0t，y gt2，而 tan 12 ，联立得 tyx2v0tan g分解位移，构建位移三角形典例 (多选)(2014南京金陵中学质检) 如图 4211 所示，足够长的斜面上有a、b、c、d、e 五个点，ab bccdde，从 a 点水平抛出一个小球，初速度为 v 时，小球落在斜面上的 b 点，落在斜面上时的
29、速度方向与斜面夹角为 ；不计空气阻力，初速度为2v 时( )图 4211A小球可能落在斜面上的 c 点与 d 点之间B小球一定落在斜面上的 e 点C小球落在斜面时的速度方向与斜面夹角大于 D小球落在斜面时的速度方向与斜面夹角也为 解析 设 abbccd de L0，初速度为 v 时，小球落在斜面上的 b 点， 则有，L 0cos vt 1，L0sin gt12，初速度 为 2v 时， Lcos 2vt 2，Lsin gt22，联立解得 L4 L0，即小12 12球一定落在斜面上的 e 点，选项 B 正确， A 错误；由平抛运 动规律可知，小球落在斜面 时的速度方向与斜面夹角也为 ，选项 C 错
30、误， D 正确。答案 BD题后悟道(1)物体在斜面上平抛并落在斜面上的问题，一般要从位移角度找关系，该类问题可有两种分解方法：一是沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动；二是沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的类竖直上抛运动。(2)物体平抛后垂直落在斜面上的问题，一般要从速度方向角度找关系。(多选)(2013上海高考)如图 4212，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标 A。已知 A 点高度为 h，山坡倾角为 ，由此可算出( )图 4212A轰炸机的飞行高度B轰炸机的飞行速度C炸弹的飞行时间D炸弹投出时的动能解析：选 ABC 根据题述，ta
31、n ，xvt， tan ，Hhy，y gt2，由此可算出轰vgt hx 12炸机的飞行高度 H，轰炸机的飞行速度 v，炸 弹的飞行时间 t，选项 A、B、C 正确。由于题述没有给出炸弹质量，不能得出炸 弹投出时的动能， 选项 D 错误。随堂对点训练1(多选) 有一个物体在 h 高处，以水平初速度 v0 抛出，落地时的速度为 v，竖直分速度为 vy，下列公式能用来计算该物体在空中运动时间的是( )A. B.v2 v02g v v0gC. D.2hg 2hvy解析：选 AD 由 vy gt 可得：t ，故 A 正确，B 错误；由 h gt2v2 v02v2 v02g 12得 t ，故 C 错误，由
32、 h t 得：t ，故 D 正确。2hg vy2 2hvy2.(2013南京二模)如图图 4 213 所示，某同学斜向上抛出一小石块，忽略空气阻力。下列关于小石块在空中运动的过程中，加速度 a 随时间 t 变化的图像中，正确的是( )图 4213图 4214解析：选 B 由题意，忽略空气阻力，石 块抛出后只受重力，由牛顿第二定律得知，其加速度为 g，保持不变，故 B 正确。3(多选)(2014揭阳模拟)如图 4215 所示是乒乓球发射器示意图，发射口距桌面高度为 0.45 m，假定乒乓球水平射出，落在桌面上与发射口水平距离为 2.4 m 的 P 点，飞行过程中未触网，不计空气阻力，取 g10 m/s 2，则( )图 4215A球下落的加速度逐渐变大B球从发射口到桌面的时间为 0.3 sC球从发射口射出后动能不变D球从发射口射出的速率为 8 m/s解析：选 BD 不计空气阻力，球下落的加速度为 g，A 错误 ；由 h gt2 得：t 0.3 12 2hgs，B 正确；由 xv 0t 解得球的初速度 v08 m/s ，D 正确；球的动能 Ek mv2 mv02(gt) 2，12 12随 t 逐渐增大，C 错误。4(2013北京高考)在实验操作前应该对实验进行适当的分析。研究平抛运动的实验装
