1、学号：学 年 论 文行列式的解法总结The summary of determinant method学院 理学院 专业 数学与应用数学（师范） 班级 数学学生指导教师（职称） 完成时间2012年3月19日至2012年3月25日指导教师评语：评分： 签名： 摘要1摘 要行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文先阐述行列式的基本性质，然后介绍各种具体的方法，最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法。通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。关键词:行列式 矩阵 范德蒙行列式 递推法 拆行
2、（列）法 数学归纳法 因式分解法 加边法 降阶法本科学年论文：行列式的解法总结2AbstractThe determinant is higher algebra course in one of the important and basic content, in mathematics in a wide range of applications, know how to calculate the determinant is particularly important. The paper first expounds the basic nature of the determ
3、inant, then describes the various specific method, and finally by the determinant and other knowledge introduced several other contact method. Through this a series of methods to further improve our understanding of the determinant, for our future learning bring very useful help.Keywords: Determinan
4、t Matrix Vandermonde determinant recursive method and row (column) method mathematical induction factoring decomposition method and edge method the reduced order method引言3引言行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识，本文对行列式的解题技巧进行总结归纳。作为行列式本身而言，我们可以发现它的两个基本特征：当行列式是一个三角形行列式时，计算将变得十分简单，于是将一个行列式化为三角形行
5、列式便是行列式计算的一个基本思想；行列式的另一特征便是它的递归性，即一个行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示，于是对行列式降阶从而揭示其内部规律也是我们的一个基本想法，即递推法。这两种方法也经常一起使用，而其它方法如：加边法、降阶法、数学归纳法、拆行（列）法、因式分解法等可以看成是它们衍生出的具体方法。行列式的计算是一个很重要的问题，也是一个复杂的问题，阶数不超过3的行列式可直接按行列式的定义求值，零元素很多的行列式（三角形行列式）也可按行列式的定义求值。对于一般 阶行列式，特别是当 较大时，直接用定义计算行列式几乎是不可能的事。因此，研究一般 阶行列式的计算方法是十分必要的。1.行列式的定
6、义和性质1.1 行列式定义定义：行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数为偶数符号为正，逆序数为奇数，符号为负。1.2 行列式的性质 观察三阶行列式， 我们把 叫做行列式的元aij素，并且约定，在一个行列式里，把横排叫做行，纵排叫做列。行列式有如下基本性质：1、行列式的行列互换，行列式不变；2、互换行列式中112132231323a本科学年论文：行列式的解法总结4的两行或者两列，行列式反号；3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数；4、行列式中某行或者某列乘以一个不为零的数，加到另外一行或者列上，行列式不变；5、行
7、列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零； 6、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆另两个行列式的和。例2 一个 阶行列式 的元素满足 则称反对称行列式，证明：nnijaD,1,2.ijjina奇阶数行列式为零。证明： 由 知 ，即 .故行列式可表示为ijjiii0,i1213123 3123.0nnnnnaa由行列式的性质 ，A1231121312 23 33 3123 1230.0.0. 0. .n nn nnn nn DaaaD, .为 奇 数 时 ， 得当 nD因 而 得 0nD2 .行列式的解法总结52 .行列式的解法总结2.1行列式的常用技巧常用的行列式解法
8、技巧包括化三角形法，降阶法，递（逆）推公式法，利用范德蒙行列式解行列式法，数学归纳法，加边法等等。2.1.1化三角形法若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积，因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其
9、作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。例3.计算n阶行列式 .=.abDba解： 这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3， 列都加到第1列上，行列式不变，得 . 1.=. . .1. 1.an bbabaDanan b 1.00. nbaanabb 本科学年论文：行列式的解法总结6例4: 计 算 行 列 式 12313795045612D解:这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算 -31002=24-1530-2D1-23104-=-0221530-24-1=-0-0212-31034-=-0210-62 .行列式的解法总结71
10、-31024=-0-210-612()1()2 2.1.2降阶法（按行（列）展开法）降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。例5:计算行列式0.10.0.10naDa解： 按第1行展开： 10.0.0.0.0.nnaaDa1222nnnnaa2.1.3递（逆）推公式法所谓利用递推关系法，就是先建立同类型n阶与n-1阶（或更低阶）行列式之间的关系递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值。本科学年论文：行列式的解法总结8递推法是根据行
11、列式的构造特点，建立起 与 的递推关系式，逐步推下去，nD1从而求出 的值,有时也可以找到 与 , 的递推关系，最后利用 得到nDn1 ,1D2n的值. 用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。例6:计算行列式0.010.0.1nababDab解: 将 行 列 式 按 第 展 开 ， 有n12nnnDabDa112nnbb得 2 213. nnnDabaDaD同理，得 ,1nnb所以 1,nab例7:计算naxxyDa解:.0. nayxxyxyaya2 .行列式的解法总结910.0.naxayDyax.11)()(nnxy同理 n
12、Daxa联立解得 ,nnyxy,时当 yx1211n nnn nDaxaxDax 21. ax2.1.4利用范德蒙行列式根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质如：提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去等等) 把所求行列式化成已知的或简单的形式，其中范德蒙行列式就是一种。这种变形法是计算行列式最常用的方法。著名的范德蒙行列式，在线性代数中占有重要地位，研究它的应用引起了一些数学家的兴趣，因此在计算行列式时，可直接用其结果。例8：计算行列式 122 211212.1.nnnnxxxD解：把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此推直到把新的第行的 倍
13、加到第 行，便得范德蒙行列式 n本科学年论文：行列式的解法总结101221112nijnijnnxxDx例9：计算n阶行列式 122 21112.1.nnnnxxxD解 ：将第一行可视为 ，再由行列式的性质，得12,.nxxx121112.nnnnxDxx12111.nnnnxxx把第一个行列式从第一行起依次将 行加到 行；第二个行列式的第 列提取iii得1,23.ixn122121 1112 n nn iinnnnxxxxD11nii ijjinxx2.1.5数学归纳法当 与 是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之。 nD1nD一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出
14、猜想的证明。2 .行列式的解法总结11因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。例10：计算行列式 .232110.0nnxDxaa解：结合行列式的性质与次行列式本身的规律，可以采用数学归纳法对此行列式进行求解。当 时， 2n22 1122xDxaxaa假设 时，有 k121.kk kkx则当 时，把 按第一列展开，得n1k211 11.kkk kkDaxaxax 21.kkx由此，对任意的正整数 ，有n.121.n nDaxax2.1.6加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。在计算行列式时，我们往往先利用行列式的性质变换给定的行列式，再用展
15、开定理使之降阶，从而使问题得到简化。有时与此相反，即在原行列式的基础上添行加列使其升阶构造一个容易计算的新行列式，进而求出原行列式的值。这种计算行列式的方法称为升阶法。凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是：除主对角线上的元素外，其余的元素都相同，或任两行（列）对应元素成比例。升阶时，新行（列）由哪些元素组成？添加在哪个位置？这要根据原行列式的特点作出选择。它要求：1 保持原行列式的值不变； 2 新行列式的值容易计算。根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其第 列（行）的元素分别为 n-1 个元素的倍数的情况。本科学年论文：行列式的解法总
16、结12例11：计算n阶行列式12221.1.nnnnxxDxx解：好象范德蒙行列式，但并不是，为了利用范德蒙行列式的结果，令 1222112.1 .nnnnnxxyDxxy按第 列展开，则得到一个关于 的多项式， 的系数为1ny11nnD另一方面 1nijijiniDxx显然， 中 的系数为1ny12.j njnx所以 1i ijjin例12：计算 阶行列 ，其中)2(1231.1.n naDa12.0na解：先将 添上一行一列，变成下面的 阶行列式：n 112.10.1n naDa显然， 1n将 的第一行乘以 后加到其余各行，得D2 .行列式的解法总结13112.0.n naD因 ，将上面这
17、个行列式第一列加第 列的 倍，得：0ia,1i1ia121210n ni inaa 2.2求解行列式的其它技巧学习中还会有其他类型的行列式，下面对一些不是很常用的行列式的解法，如拆项法，利用乘法定理法，利用拉普拉斯定理法等进行归纳：2.2.1拆项法拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的，使问题简化以利计算。例13 计算行列式1212.nn naaD解： 12121212. n nnn naaa 本科学年论文：行列式的解法总结14121.0nnaD121121.nin aa2.2.2利用乘法
18、定理法在计算行列式时，有时可以用乘法定理，将给定的行列式表为两个容易计算的或已知的行列式的乘积，从而求出给定行列式的值；有时不直接计算给定的行列式，而是选一个适当的与给定行列式同阶的行列式，计算两行列式的乘积，由此求出给定行列式的值，这样也可使问题简单。例14：计算n阶行列式 11212212.nnnnnababD解 ：1122 .0.0.nnnab所以， 当 时， ；20nD当 时， 2121ab当 时， 1n1总结15总结:计算行列式的方法很多,除了以上常见的方法外还有一些特殊的方法,如n阶轮换行列式的初等计算方法、极限法、导数法、积分法等。对于一个给定的行列式可以有多种方法求解，这是则要
19、求我们注意方法的灵活性，要在众多方法中选取一种最简便的方法。充分利用所求行列式的特点，运用行列式性质及上述常用的方法，有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值；有时也可用多种方法求出行列式的值。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。本科学年论文：行列式的解法总结16参考文献1北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第二版）M.北京：高等教育出版社.19942王品超.高等代数新方法M.济南：山东教育出版社.19893北大数学系.高等代数M.北京高等教育出版社.19884陈仲.大学数学复习指导与试题解析M.南京大学出版社.1999本文参考了国内很多有关复变函数论的书籍，采用了其中的某些理论和资料，在此谨向原作者和指导老师表示衷心感谢！
