1、专题 2 集合中的新定义问题一、选择题1 【荆州中学 2017 月考】设集合 ， 都是 的含有两个元素的子集，且满足：对任意的 、 （ ）都有， （ 表示两个数 中的较小者） ，则的最大值是 （ ）A. 10 B. 11 C. 12 D. 13【答案】 B【解析】试题分析：根据题意，对于 ，含个元素的子集有 个，但 、 、只能取一个； 、 只能取一个； 、 只能取一个，故满足条件的两个元素的集合有 个；故选 考点：集合的包含关系判断及应用.2 【河北正定中学 2016-2017 学年月考】定义集合运算： ， ，.设集合 ， ，则集合 的所有元素的平均数为（ ）A. 14 B. 15 C. 16
2、 D. 17【答案】 A3 【四川南充高级中学 2016-2017 学年期末】定义集合运算： ，设集合 ， ，则集合|,ABzxyAyB0,1A2,3B的所有元素之和为( )A. 0 B. 6 C. 12 D. 18【答案】 D【解析】 ，选 D.12340+612=8z或 或4 【2016-2017 学年湖北襄阳市四校联考】非空集合 中的元素个数用 表示，定义A)(A若 ， ，且 ，)(),()( BABA01，axB|32| 1）（ B则的所有可能值为（ ）A. B. 4|a4|a或C. D.0|0|或【答案】 D【解析】试题分析：集合 中有 2 个元素，即 ，当 时，由 ，则A2AB1A
3、，所以 ，又 ，所以 或 ，结合函数1B1B12的图象（如下图） ，23fx所以 或 ，0a4当 时，由 ，则 ，即 ，又 ，所以AB1A1BA3BAB，只能 ，结合上图可知， ，2334a所以综上所述： 或 ，故选 D.0a4考点：集合的应用.5 【2016-2017 学年福建南安一中月考】定义集合 A、 B 的一种运算：，若 ， ，则 中的所1212,ABxxA其 中 1,2351,2AB有元素之和为 （ ） A30 B31 C32 D34【答案】 B【解析】试题分析：根据题中定义的运算，有 ，因此 中的所有元素之*1,2345,60AB*AB和为 31.考点：集合的运算。6 【江西金溪县
4、一中 2016-2017 学年月考】在平面直角坐标系中，定义为两点 之间的“折线距离” ，则下列命题2121,dPQxy12,PxyQ中： 若 ，则有 ；,3,0AB,5dAB到原点的“折线距离”等于的所有点的集合是一个圆；若 点在线段 上，则有 ；C,CdAB到 两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线 .1,0,MN 0x真命题的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】 C7 【黑龙江省双鸭山一中 2017 模拟】设 是两个非空集合，定义集合AB，若 ， ，则|ABxB且 =|05xN2|710Bx（ ）A. B. C. D. 01， 2， 012， ， 0125， ， ，【答案】 D【
5、解析】由题意可得： ，,34,5|ABx结合题中新定义的集合运算可得： .012， ， ，本题选择 D 选项.8 【2017 汕头澄海凤翔中学第三次段考】设整数 ，集合 令集合4n1,23,n若,Sxyzxyzxzy且 三 条 件 恰 有 一 个 成 立和 都在 中，则下列选项正确的是（ ）wSA ， ,yz,xyB ，C ， ,yzwS,xySD ，【答案】 B【解析】试题分析：（ x， y， z） S， （ z， w， x） S， x y z ， y z x ， z x y 三个式子中恰有一个成立； z w x ， w x z ， x z w 三个式子中恰有一个成立配对后只有四种情况：第一
6、种：成立，此时 w x y z，于是（ y， z， w） S， （ x， y， w） S；第二种：成立，此时 x y z w，于是（ y， z， w） S， （ x， y， w） S；第三种：成立，此时 y z w x，于是（ y， z， w） S， （ x， y， w） S；第四种：成立，此时 z w x y，于是（ y， z， w） S， （ x， y， w） S；综合上述四种情况，可得（ y， z， w） S， （ x， y， w） S，故选B考点：考查了新定义的集合问题二、填空题9 【陕西省宝鸡中学 2016-2017 学年期末】若任意 ，则 ，就称 是“和谐”集xA1A合，则在集合
7、的所有非空集合中， “和谐”集合的概率是1,0,234M_【答案】 17【解析】试题分析：根据题意， M 中共 8 个元素，则 M 的非空子集有 28-1=255 个，进而可得：“和谐”集合中的元素两两成对，互为倒数，观察集合 M，互为倒数的数有两对，即 2 与 ，3 与 ；包括两个倒数是自身的数 1 与-1，可将这些数看作是四个元素，由于包1括四个元素的集合的非空子集是 24-1=15，则 M 的子集中， “和谐”集合的个数为 15；故“和谐”集合的概率是 ，故答案为 517710 【赣州厚德外国语学校 201 届第一次阶段测试】设 A， B 是非空集合，定义AB x|x( A B)且 x(
8、A B)已知集合 A x|0x2， B y|y0，则AB_.【答案】02，)【解析】由已知 A x|0x2， B y|y0，又由新定义 AB x|x( A B)且 x(A B)，结合数轴得 AB02，)11 【松原市实验高级中学等三校联合模拟】已知集合 ，集合的所有非空子集依次记为： ，设 分别是上述每一个子集内元素的乘积.(如果的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身)，那么 _【答案】5【解析】 所有子集的“乘积”之和即展开式中所有项的系数之和 T-1，令 ，则 故答案为 5【点睛】本题考查的知识点是元素与集合关系的判定，函数展开式的系数问题，转化困难，属于难题12 【松原市实验高级中
9、学等三校联合模拟】若 是一个集合，是一个以 的某些子集为元XX素的集合，且满足： 属于，空集 属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多X个元素的交集属于.则称是集合 上的一个拓扑.已知集合 ，对于下面给出的四,abc个集合： ； ；,acb,bc ； aabc其中是集合 上的一个拓扑的集合的所有序号是_X【答案】【解析】对于， ， 不属于，故错误；对于， 不属于，故,ac,acX错误，所以是集合 上的一个拓扑的集合的为.方法点睛：解决集合创新型问题的方法有：（1）紧扣定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所
10、在；（2）用好集合的性质.集合的性质（概念、元素的性质、运算性质等）是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质.13 【福建省毕业班过关测试卷】设集合 A1,0,1，集合 B0,1,2,3，定义：A*B( x， y)|x A B， y A B，则 A*B 中元素个数是_.【答案】10 【解析】 ,有 2 个元素， ，有 5 个元素， A*B 有 10011,023个元素.14 【福建省毕业班过关测试卷】设集合 A1,0,1，集合 B0,1,2,3，定义：A*B( x， y)|x A B， y A B，则 A*B 中元
11、素个数是_.【答案】10 【解析】 ,有 2 个元素， ，有 5 个元素， A*B 有 10011,023个元素.15 【福建省龙海市程溪中学 2016-2017 学年期末】对于复数 ，若集合abcd， ， ，具有性质“对任意 ，必有 ”，则当 时， Sabcd， ， ， xyS， xyS21abc，等于_【答案】-116 【原创模拟卷】已知函数 的定义域为实数集 ，满足 （ 是()MfxR1,()0Mxf的非空真子集） ，若在 上有两个非空真子集 ，且 ，则RR,AB的值域为 ()1()ABfxFxU【答案】 【解析】当 时， ，而由于 ，所以 ，此()x()1ABfxUAB()1ABffx
12、时 ；当 时， ， ，此时 ，所以函()1F0()0ffxF数 的值域为 .x17 【2016-2017 学年广州执信中学期中】设有限集合 ，则12,nAa叫做集合 的和，记作 .若集合 ，集合12na AAS*,4PxN的含有个元素的全体子集分别记为 ，则 .P12,k KPPSS21【答案】 48考点：子集与真子集.【方法点晴】通过对新定义的一种运算，计算求和，属于创新题型，本题为基础题，考查计算能力，推理能力.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求， “照章办事” ，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，在该题中首先根据已知则集合 ，则 叫做集合
13、的和，记作 ，分别求出12,nAa 12na AAS所有的元素，然后根据题意找到个元素的子集，最后求和即可.18 【2016-2017 学年福建南安一中月考】若集合 满足 ，则称 为12,1212(,)集合 的一种分拆，并规定：当且仅当 时， 与 是集合 的同一种分A1A()(,)A拆。若集合 有三个元素，则集合 的不同分拆种数是 .【答案】27【解析】试题分析：不妨假设集合 ，则集合 A 的所有可能情况如下：,Aabc当 时， ，此时集合 A 的不同分拆的种数为 2 种；1A2,当 时， 或 ，此时集合 A 的不同分拆的种数为 4 种；ac2,c当 时， 或 ，此时集合 A 的不同拆分的种数
14、为 4 种；1b2,aab当 时， 或 ，此时集合 A 的不同分拆的种数为 4 种；Acb2,Ac当 时， 或 或 ，此时集合 A 的不同分拆种数为1,a2,c2,abc6 种；当 时， 或 ，此时集合 A 的不同分拆种数为 4 种；1,Ac2,b2,Aabc当 时， ，此时集合 A 的不同拆分种数为 2 种；bc当 时， ，此时集合 A 的不同分拆种数为 1 种，1,ac2,因此集合 A 的所有不同的分拆种数为：2+4+4+4+6+4+2+1=27。考点：1.集合的运算；2.新定义问题。19 【河南省林州市一中 2016-2017 学年调研考】若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全
15、食” ；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”.对于集合 ， ，若两个集合构成“全食”或“偏食” ，1,2A2|1,0Bxa则的值为_【答案】0 或 1 或 420 【2017 届浙江省温州中学高考模拟】由 5 个元素构成的集合 ，记的所有非空子集为 每一个 中所有元素的积为 ，则_.【答案】-1【解析】首先考虑取出的元素中含 0，则无论子集中有多少元素，其积都为 0，其积的和也为零；当取出的元素不为 0，即只在集合 中取元素，则所得的子集分别是， ，其所有元素之和为 ，应填答案 。21 【北京市朝阳区 2017 届高三二模数学】已知两个集合 ，满足 若对任意的,AB
16、，存在 ，使得 （ ） ，则称 为 的xA,ijaBij12ijxa12,0BA一个基集若 ，则其基集 元素个数的最小值是_1,2345,6789,0【答案】4【解析】若基集 元素个数不超过三个： 互不相等） ，则最多可表示B,(,ijkai九个元素，因此基集 元素个数, |ijkijkijkijijaaB的最小值是 4 个，如 2,367B22设 U 是全集，非空集合 P、 Q 满足 ，若令 P、 Q 的一个集合运算表达式，使运U算结果为空集，则这个运算表达式可以是_。 （只需写出一个表达式）【答案】 CPU【解析】用韦恩图画出即可三、解答题23 【江苏省苏北三市（连云港、徐州、宿迁）201
17、7 届第三次模拟】已知集合，对于集合 的两个非空子集 ， ，若 ，则*1,2,2UnN UAB称 为集合 的一组“互斥子集” 记集合 的所有“互斥子集”的组数为 (视AB fn与 为同一组“互斥子集”),（1）写出 ， ， 的值；2f3f4f（2）求 n【答案】 （1） ， ， （2） f6f5f132nf【解析】试题分析：分别对 三种情况研究集合 的非空子集，并找出交集为空集2,34nU的子集对数，得出 ，任意一个元素只能在集合 ， ， ,ff AB之一中，则这个元素在集合 ， ， 中，共有 种； 减去 为空集的UCABABC3n种数和 为空集的种数加 1，又 与 为同一组“互斥子集” ，得出 ., f
