1、山西省 2013 届高考数学一轮单元复习测试：导数及其应用本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分 150 分考试时间 120 分钟第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中，其含量 M(单位：太贝克)与时间 t(单位：年)满足函数关系： M(t) M02 ，其中 M0为 t0 时铯 137 的含量已知 t30 时，铯t30137 含量的变化率是10ln2
2、(太贝克/年)，则 M(60)( )A5 太贝克 B75ln2 太贝克C150ln2 太贝克 D150 太贝克【答案】D2函数 cosxy2的导数为 ( ）A in2B sinxco2y2C sixcoy2D ix2【答案】C3设 P 为曲线 C：y= 2+2x+3 上的点，且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 0,4，则点 P 横坐标的取值范围为 ( )A 1,B -1,0 C 0,1 D 1,2【答案】A4曲线 3()2fx=+-在 0p处的切线平行于直线 4yx=-,则 0p点的坐标为( )A 1,0B (,8)C (2,8)和 1)D ,和 1,4) 答案：D 5若 0()f
3、x，则 003limhfxfh（ ）A 3B 6C 9D 2【答案】D6曲线 xy4在点 (1,3)处的切线倾斜角为( )A B 2C 4D 6答案：A 7函数 f(x)= 1的最大值为（ ）A 25B 2C 2D1【答案】B8曲线 f(x) x3 x2 在 P0 点处的切线平行于直线 y4 x1，则 P0 点的坐标为( )A(1,0) B(0，2)C(1，4)或(1,0) D(1,4)【答案】C9 函数xey的图像大致为( ).【答案】A10定义在 R 上的偶函数 ()fx满足：对任意的 1212,0,)(xx，有21()0fxf.则 ( )A 3()ffB (1)2(3)ffC 2)1(3
4、D 3 【答案】A11设函数 f(x) ax2 bx c(a， b， cR)，若 x1 为函数 f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为 y f(x)的图像是( )【答案】D12函数 32()93,fxx若函数 ()2,5gxfmx在 上有 3 个零点，则m 的取值范围为 ( ）A （-24,8） B （-24,1 C1,8 D1,8）【答案】D第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13 质量为 5 kg 的物体运动的速度为 v=(18t3 t2) ms,在时间 t=2 s 时所受外力为_N.【答案】3014
5、已知函数 f(x) x24 x3ln x 在 t， t1上不单调，则 t 的取值范围是12_【答案】0 t1 或 2t315 已知函数 1)2(3)(23af 有极大值又有极小值，则 a的取值范围是 【答案】 ),()1,(16设函数 f(x) ax33 x1( xR)，若对于任意 x1,1，都有 f(x)0 成立，则实数a 的值为_【答案】4三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y（单位一：千克）与销售价格x（单位：元千克）满足关系式 2ay10(x6)3其中 3x6，a 为常数，已知销售
6、价格为 5 元千克时，每日可售出该商品 11 千克。(1）求 a 的值(2）若该商品的成本为 3 元千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。【答案】 （1）因为 x=5 时，y=11，所以 a10,22(2）由（1）可知，该商品每日的销售量 2y10(x6)3，所以商场每日销售该商品所获得的利润222f(x)3)10(x6)10(x),从而， 2 34(6)于是，当 x 变化时， f(x),的变化情况如下表：X (3,4) 4 (4,6)f(x)+ 0 -f(x) 单调递增 极大值 42 单调递减由上表可得，x=4 是函数 f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也
7、是最大值点；所以，当 x=4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42。答：当销售价格为 4 元千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。18已知函数 32()fa()若 1a,令函数 ()gxfx,求函数 ()gx在 1,2)上的极大值、极小值；()若函数 f在 ,)上恒为单调递增函数,求实数 a的取值范围.【答案】 () 3232()()，所以2()31gxx由 0得 或 x(,)31(,)3(1,2)()g00xA5927A1A所以函数 ()g在 13x处取得极小值 ；在 x处取得极大值() 因为 2()31fxax的对称轴为 3ax(1）若 1a即 时，要使函数 ()f在 1
8、,)上恒为单调递增函数，则有240，解得： ，所以 ；(2）若 3即 时，要使函数 ()fx在 ,)3上恒为单调递增函数，则有211()()()03fa，解得： 2a，所以 12a；综上，实数 的取值范围为 19已知函数 ()1),xfxaeR(1）当 a=1 时，求函数 f(x)的极值；(2）若函数 f(x)在区间（0，1）上是单调增函数，求实数 a 的取值范围.【答案】 （1）因为 ()1)xfxae，所以当 a=1 时， (),xfe令 (),fx则 x=0，所以 (,f的变化情况如下表：x (-,0) 0 (0,+)f(x) - 0 +f(x) 极小值 所以 x=0 时，f(x)取得极
9、小值 f(0)=-1.(2）因为 ()1),xfxae函数 f(x)在区间（0，1）上是单调增函数，所以 ()0fx对0,1恒成立. 又 ，所以只要 0ax对 (,1)x恒成立，解法一：设 g，则要使 对 恒成立，只要 (),成立， 即 ,210解得 .解法二：要使 10ax对 (,)x恒成立，因为 0x，所以 1ax对 (0,)恒成立，因为函数 ()gx在（0，1）上单调递减，所以只要 ().1g20同学们经过市场调查，得出了某种商品在 2011 年的价格 y (单位：元)与时间 t (单位：月)的函数解析式为：y=2+ 2t0(1t12),试求出 10 月份该商品价格上涨的速度.【答案】y
10、=2+ 2t(1t12) ，y=(2+ 2t0)=2+( 2t0)= 222t0tt40t.由导数的几何意义可知 10 月份该商品的价格的上涨速度应为 2401=3.因此 10 月份该商品价格上涨的速度为 3 元月.21已知函数 14ln)(xxf (）求函数 的单调区间；(）设 2)(bxg，若对任意 )2,0(1， ,1x，不等式21xf恒成立，求实数 的取值范围【答案】 （I） 431ln)(xxf 的定义域是 (,) 2243)(xf由 0及 )(f 得 1x；由 0及 )(xf得 310x或 ，故函数 x的单调递增区间是 )3,(；单调递减区间是 ),3( (II）若对任意 )2,(
11、1， x，不等式 )(21xgf恒成立，问题等价于 main)gxf， 由（I）可知，在 (0,上， 1x是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以 min)()2ff； 2()4,gxbx当 1时， ma()(1)5gb；当 2时， 2x4；当 b时， ma()()8； 问题等价于125b或 214b或 18b解得 或 或 即 142b，所以实数 b的取值范围是 14,2 22 对于三次函数 32()(0)fxacxda，定义：设 ()fx是函数 ()yfx的导函数 y的导数，若 ()f有实数解 ，则称点 0,为函数()fx的“拐点” 。现已知 32xx,请解答下列问题:(1）求函数 的“拐点”A 的坐标;(2）求证 ()fx的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要求证明）.【答案】 （1） 2()36fx， ()6fx.令 ()60fx得 x， .拐点 1,2)A(2）设 0(,)Py是 ()fx图象上任意一点，则 3200yx，因为x关于 12A的对称点为 (,4)P，把 P代入 ()yfx得左边 04y302x,右边 20()()()x3200x右边= 右边 0,4Pxy在 (f图象上 ()yf关于 A 对称
