1、必修 1.1.2.2 函数的表示知识梳理1常用的函数表示法(1)解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系例如：毛笔每支 2 元，可用于购买的钱有 8 元，设购买的支数为 x(支)，对应的购买费用为 y(元 )，用三种方式表示 y 关于 x 的函数关系式解析法：y2x (x=0,1,2,3,4)列表法：x 0 1 2 3 4y 0 2 4 6 8图象法：说明：不是所有函数都能有明确的规律，此时常常用表格或图象表示例如：2011 年 7 月 1
2、9 日 9：3015：00 春兰股份的价格走势图如下，能用解析式表示吗？（不能）2分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应法则的函数(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象3映射1）映射的概念设 A、B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则 f，对 A 中的任意一个元素 x，在 B中有一个且仅有一个元素 y 与 x 对应，则称 f 是集合 A 到集合 B 的映射这时，称 y 是 x在映射 f 作用下的象，记作 f(x)，x 称作 y 的原象2）
3、一一映射如果映射 f 是集合 A 到集合 B 的映射，并且对于集合 B 中的任意一个元素，在集合 A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合 A 到集合 B 的一一映射3）映射与函数由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合 A，B 必须是非空数集例题讲解题型一 函数的三种表示法例 1 已知完成某项任务的时间 t 与参加完成此项任务的人数 x 之间适合关系式 tax ，bx当 x2 时，t 100；当 x14 时，t28，且参加此项任务的人数不能超过 20 人(1)写出函数 t 的解析式；(2)
4、用列表法表示此函数；(3)画出函数 t 的图象；(4)根据(2)(3)分析：随着工作人数的增加，工作效率的变化情况解析：(1)由题设条件知：当 x2 时，t 100，当 x14 时，t28 得方程组Error!解此方程组得Error!所以 tx ，196x又因为 x20， x 为正整数，所以函数的定义域是x|0a，则实数 a 的取值范围是 _解析：当 a0 时，f(a) a 1，解 a1a，12 12得 aa，1a 1a得 a1.a1.题型四 分段函数的图象及应用例 5 已知函数 f(x)1 (2x2)|x| x2(1)用分段函数的形式表示该函数；(2)画出该函数的图象；(3)写出该函数的值域
5、解析： (1)当 0x2 时，f(x)1 1，x x2当2x0 时，f(x)1 1x. x x2f(x)Error!.(2)函数 f(x)的图象如图所示，(3)由(2)知，f(x)在(2,2上的值域为1,3) 点评：对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分巩 固 已知函数 f(x)Error!，在平面直角坐标系中作出 yf (x)的图象，并写出值域解析： 如图所示，函数 yf( x)的图象是由 f1(x)2(x )21，x0， )
6、的图象(抛物线的一段)及12 12f2(x)2x2，x ，1的图象 (一条线段)组成的，其值域为0,112题型五 映射例 6 在下列对应关系中，哪些对应法则是集合 A 到集合 B 的映射？哪些不是；若是映射，是否是一一映射？(1)A0,1,2,3，B1,2,3,4，对应法则 f：“加 1”；(2)A(0，)，BR，对应法则 f：“求平方根” ；(3)AN ，B N，对应法则 f：“3 倍” ；(4)AR ，B R，对应法则 f：“求绝对值” ；(5)AR ，B R，对应法则 f：“求倒数” 解析：(1)中集合 A 中的每一个元素通过法则 f 作用后，在集合 B 中都有唯一的一个元素与之对应，显
7、然，对应法则 f 是 A 到 B 的映射，又 B 中的每一个元素在 A 中都有唯一的原象与之对应，故 f：AB 也是一一映射(2)中集合 A 中的每一个元素通过法则 f 作用后，在集合 B 中都有两个元素与之对应，显然对应法则 f 不是 A 到 B 的映射，故不是一一映射(3)中集合 A 中的每一个元素通过法则 f 作用后，在集合 B 中都有唯一的元素与之对应，故对应法则 f 是从 A 到 B 的映射，又 B 中某些元素 1、2、4、5在 A 中没有原象与之对应，故 f：AB 不是一一映射(4)中集合 A 中的每一个元素通过法则 f 作用后，在集合 B 中都有唯一的元素与之对应，故法则 f 是
8、从 A 到 B 的映射，但对于 B 中某些元素在 A 中可能有两个元素与之对应甚至没有原象，故 f：AB 不是一一映射(5)当 x0A， 无意义，故法则 f 不是从 A 到 B 的映射1x点评：判断对应 f：AB 是否是 A 到 B 的映射，须注意两点：(1)明确集合 A、B 中的元素；(2)判断 A 的每个元素是否在集合 B 中都有唯一确定的元素与之对应，若进一步判断是否为一一映射，还需注意 B 中的每个元素在 A 中是否有原象，集合 A 中的不同元素对应的象是否相同巩 固 下列对应是否是从 A 到 B 的映射，能否构成函数？(1)AR ，B R，f：x y ；1x 1(2)A0,1,2,9
9、，B0,1,4,9, 64，f ：ab( a1) 2；(3)A0，)，BR，f：xy 2x；(4)Ax|x 是平面 M 内的矩形 ，Bx| x 是平面 M 内的圆，f：作矩形的外接圆解析：(1)当 x1 时，y 的值不存在，不是映射，更不是函数(2)在 f 的作用下，A 中的 0,1,2,9 分别对应到 B 中的 1,0,1,64，是映射，也是函数(3)当 A 中的元素不为零时，B 中有两个元素与之对应， 不是映射，更不是函数(4)是映射，但不是函数，因为 A，B 不是数集例 7 已知映射 f：AB 中，AB(x，y)|xR，yR ，f ：( x，y)(3x 2y1,4x 3y 1)(1)求
10、A 中元素(1,2) 的象；(2)求 B 中元素(1,2) 的原象解析：(1)当 x1，y2 时，3x2y 10,4x3y19.故 A 中元素(1,2)的象为(0,9) (2)令Error!， 得Error!，故 B 中元素(1,2)的原象是 .(617，917)点评：解答此类问题，关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则巩 固 已知集合 AR ，B( x，y)|x，yR ，f ：AB 是从 A 到 B 的映射，f：x(x1，x 21)，求 A 中元素 在 B 中的象和 B 中元素 在 A 中的原象2 (32，54)解析：将 x 代入对应关系，可求出其在 B 中的对应元素( 1,3)2 2由Error! 得 x .12所以 在 B 中的象为( 1,3)， 在 A 中对应的原象为 .2 2 (32，54) 12例 8 已知 Aa，b，c，B 2,0,2 ，映射 f：AB 满足 f(a)f (b)f(c)求满足条件的映射的个数
