1、专题一 数列的通项公式 B一、知识归纳：求数列通项公式的常见题型有1由数列的前几项，考察各项与项数之间的关系，归纳出数列的通项公式。2设数列 的前 项和为 ，即 ，那么 与 有如下关系：nanSna21nSa)2(1nn3 根 据 数 列 的 递 推 公 式 求 数 列 的 通 项 公 式 ， 其 中 常 用 方 法 有（1）构造法：通过构造特殊的数列（如等差、等比数列等） ，从而求出数列的通项公式的方法。(2) 由递推公式求通项公式, ,常利用迭加 an-an-1=f(n)、迭乘 an/an-1=f(n)、迭代等方法. 迭代法：将递推公式适当变形后，用前面的项逐步代替后面的项，重复此步骤，最
2、后 在一般项和初始条件之间建立某种关系从而求出通项的方法。 累加（乘）法：累加的形如：a n-an-1=f(n)、累乘的形如： an/an-1=f(n)、其中累加的公式： 1221)()()(aann 累乖的公式： 1231231ann（3）待定系数法：即先设定数列通项的基本形式，再由已知条件求出待定系数的方法。二、例题分析：（一）由数列 的前 项和为 求 的：nanSa例 1设数列 的前 项和为 ，求该数列分别满足下列条件的一个通项公式：（1） ； （2）Sn231)(log2n（二）由由递推公式求通项公式求通项 的：na1递推式为：a na n-1=f(n)形（累加）或 an/an-1=f
3、(n)、形（累乘）例 2 （1）已知数列 中， ，求通项公式 .（练习 10 题）11,na（2）已知数列 的首项 ，且 ， ，求数列 的通项公式。na1Nn1)(nnana2.（1）递推公式为 型：1(,nnapq为 常 数 ）可转化为 ,其中 ,即数列 为等比数列，求其通项,再求 。1nx 1xnaxna例 3已知数列 中, ,求 的通项公式.（练习 11 题）12na（2）递推公式为 banpn1 )01(、ap型：解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令 )()1(1 yxnapynx ，与已知递推式比较，解出 yx,从而转化为 yxn是公比为 的等比数列。例:设数列 na：
4、 )2(,13411 an，求 na.3. 递推公式为 型：（方法：两边同时除以 ）为 常 数 ）qpann,(1 1nq或解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以 1n，得： aqpnn1引入辅助数列 nb（其中 nqab） ，得： qbpnn1再待定系数法解决。例 4 （09 全国19）在数列 中， ， na112nna（）设 证明：数列 是等差数列； （）求数列 的前 项和 12nabbnanS练：已知数列 na中， 651, 11)2(3nna，求 na。（三）其他类型例 5设数列 是首项为 1 的正项数列,且 ,求数列的通项公式.na2 *11n+0nnaaN三、练习题：一、选择题1
5、数列 3，7，13，21，31，的一个通项公式为（ ）A B C D不存在14na23nan 12nan2在数列a n中 ， ， ，则 （ ）213A. B. C. D. 6543数 列 an中 ， a1=1， 对 于 所 有 的 n 2， n N 都 有 a1a2a3an=n2， 则 a3+a5 等 于 （ ）A. B. C. D. 96514下列各式中，可以作为数列 的通项公式的是：（ ）naA B C D2na)2(log112nan 4tan5在数列a n中， ， ，则 （ ）,21n14A3 B4 C5 D66数列a n中， ， ，则 （ ）31a1nna207A B C D3441
6、2077数列a n的前 n 项和 ，而 ，通过计算 ， ， 猜想 （ ）)2(2Snn 1aa34naA B C D2)1()1(n12n8数列a n中， ，则数列a n的通项公式是：（ ）)2(3,11aannA B C D23233219已知数列 满足 ，则当 时， ( )na )(, 12100 Nnaan nnaA B C D )(1n二、解答题10已知数列 满足na)2(3,11ann（1）求 的值；（2）求证：3, n11已知数列 满足 ，求通项 .na32,511nana12已知数列a n的前 n 项和为 ，且 ，数列 满足 ，nS12nanb21nnba1求 ， b13在数列
7、an中， a1=1， an+1= ，求 an.15已知数列 满足na *1221,3,().nnaaN（I）证明：数列 是等比数列； （II）求数列 的通项公式；nna16 （2010 年高考数列题：17。12 分）设数列 满足 na12113,2nna（1）求数列 的通项公式； （2）令 ，求数列 的前 n 项和 。nbbS专题一 数列的通项公式 B（教师版）一、知识归纳：求数列通项公式的常见题型有1由数列的前几项，考察各项与项数之间的关系，归纳出数列的通项公式。2设数列 的前 项和为 ，即 ，那么 与 有如下关系：nanSna21nSa)2(1nn3 根 据 数 列 的 递 推 公 式 求
8、 数 列 的 通 项 公 式 ， 其 中 常 用 方 法 有 ：（1）构造法：通过构造特殊的数列（如等差、等比数列等） ，从而求出数列的通项公式的方法。（2）迭代法：将递推公式适当变形后，用前面的项逐步代替后面的项，重复此步骤，最后 在一般项和初始条件之间建立某种关系从而求出通项的方法。（3）累加（乘）法：累加的形如：a n-an-1=f(n)、累乘的形如： an/an-1=f(n)、其中累加的公式： 1221)()()(aann 累乘的公式： 1231231ann二、例题分析：（一）由数列 的前 项和为 求 的：nnSa例 1设数列 的前 项和为 ，求该数列分别满足下列条件的一个通项公式：a
9、（1） ； （2）Sn231)(log2n解：（1）当 时， 41S当 时，2 )()(322ann 26n因为 适合上式，故有41 6a（2）由 ，得 ，当 时，1)(log2Sn 12nS31Sa当 时， ，则nnna1)2(n（二）由由递推公式求通项公式求通项 的：na1递推式为：a na n-1=f(n)形（累加）或 an/an-1=f(n)、形（累乘）例 2 （1）已知数列 中， ，求通项公式 .（做练习题 10）11,na解法一：迭代法： 22nn21 n-1n+2an 解法二：累加法：由已知 ， ， ，121,naa32 1na各式相加得 ，1n点评：解法一是迭代法,这是处理由递
10、推式求通项问题的通法通解;解法二累加法适用于型的问题。1naf（2）已知数列 的首项 ，且 ， ，求数列 的通项公式。n1aNn1)(nnana解： 由已知有 ，则当 时，有1n2n1故 1232131aaann 123 n又 适合上式，故 （ ）N2.（1）递推公式为 型：可转化为 ,其中 ,即1(,nnpq为 常 数 ） 1nnaxp1qxp数列 为等比数列，求其通项 ,再求 。naxna例 3已知数列 中, ,求 的通项公式.n 11,2nan解法一：迭代法： 212122 12nnnnnna a 解法二: 通过构造特殊数列求通项,对于 型的,可转化为 ,其1(,apq为 常 数 ） 1
11、naxp中 ,求出等比数列 的通项,再求 。1qxpnxn即： .又 ,故数列 是首项为 2,公比为 2 的等比数12,2nnaa12a1na列. ,即 .（2）递推公式为 bpnn1 )0(、p型：解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令 ，与已知)()1(1 knapnka递推式比较，解出 yx,从而转化为 是公比为 p的等比数列。kna例:设数列 na： )2(,13411 n，求 n.解：写法 1：（构造等比）设 ，则)1(3kkn knan32312数列 为以 3 为公比的等比数列。1na 132nannnn 36)(11写法 2：设 BAbaB、Abnn则 ，将 ,代入递
12、推式，得12)(31n )()(ABnAB1nabn取（）则 13nb,又 6，故 132nan 说明：（1）若 )(f为 的二次式，则可设 CBAn;(2)方法 2：本题也可由 21an , )(21n（ ）两式相减得)(3211nna转化为 nnqbpb求之.3. 递推公式为 型：（方法：两边同时除以 ）为 常 数 ）qpn,( 1nq或解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以 1n，得： aqpnn1引入辅助数列 nb（其中 nqab） ，得： qbpnn1再待定系数法解决。例 4 （09 全国19） （本小题满分 12 分）在数列 中， ， na112nna（）设 证明：数列 是等差数
13、列； （）求数列 的前 项和 2bnbnanS解：（1） ， ， ，则 为等差数列， ，1nn121nb1b， na（2） 0121()nnnSA A2两式相减，得 011221nnn A练:已知数列 na中， 651, 1)(3nna，求 na。解：在 1)2(3n两边乘以 得： )(31n令 nnab2，则 1321nb,解之得： nnb)32( 所以 nnnba)31(2（三）其他类型例 5设数列 是首项为 1 的正项数列,且 ,求数列的通项公式.n 2 *11+0nnaN解：由题意知 ,由 得1,02 *10na,因 ,得 ,所以 ,即 ,11nnaa1n1nna1a所以 .211,2
14、n 三、练习题：一、选择题1数列 3，7，13，21，31，的一个通项公式为 （ C ）A B C D不存在14na23nan 12nan2在数列a n中 ， ， ，则 （ C ）213A. B. C. D. 6543数 列 an中 ， a1=1， 对 于 所 有 的 n 2， n N 都 有 a1a2a3an=n2， 则 a3+a5 等 于 （ A ）A. B. C. D. 9651解析一：令 n=2、3、4、5，分别求出 a3= ，a 5= ，a 3+a5= .4916解析二：当 n2 时，a 1a2a3an=n2.当 n3 时，a 1a2a3an1 =（n1） 2.两式相除 an=（ ）
15、 2，a 3= ，a 5= .a 3+a5= . 答案：A64下列各式中，可以作为数列 的通项公式的是：（ C ）nA B C D2n )2(log112nn 4tan5在数列a n中， ， ，则 （ B ）,21ana14A3 B4 C5 D66数列a n中， ， ，则 （ A ）311nn207A B C D3441207， ，则该数列是周期为 3 的周期数列，1a3,4,32a 320a7数列a n的前 n 项和 ，而 ，通过计算 ， ， 猜想 （ B ）)2(2nSn 1a4nA B C D2)1()1(n2n8数列a n中， ，则数列a n的通项公式是：（ A ）)2(31,1naa
16、nA B C D23231321法一：代入检验法，当 时，只有选项 A 满足 ，故选 A。n1a法二：由已知有 ，则 是首项为 1，公差为 3 的等差数列，则 ，即31nan 231na1n9已知数列 满足 ，则当 时， ( C )n )(, 12100 Nnaa nA B C D (自相残杀法)2)(21n二、解答题：10已知数列 满足na)2(3,11nan（1）求 的值；（2）求证：3, n解：（1） 139,42312 aa（2）由 ，则nn 122)()()( aannn 又 适合上式，故 ，13321 21Nn213n11已知数列 满足 ，求通项 .na3,511nana解：由 ，可得 ，且 ，则数列321)(2n 8313na是首项为 8，公比为 2 的等比数列，故 ，即 （ ）nn2nN12已知数列a n的前 n 项和为 ，且 ，数列 满足 ，nS12nanb1nnba1求 ， b解：由 ，得 ；121aS当 时， ， ，则n1nnS12na1n21na故a n是首项为 1，公比为 2 的等比数列，则 n
