1、第一章 三角函数第三节 任意角的三角函数定义的测试学习目标：1、理解任意角的三角函数的定义；2、掌握三角函数的定义域；3、学会运用任意角三角函数的定义求相关角的三角函数值；4、在理解的基础上，准确记忆三角函数在各象限的符号.5.三角函数线的定义与应用.基础梳理1.单位圆的定义：以原点 O 为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆. 2、任意角的三角函数第一定义：设角 是一个任意角， 是终边上的任意一点，点 与原点的距离(,)PxyP20rxy那么 叫做 的正弦，即yrsinr 叫做 的余弦，即xco 叫做 的正切，即yta(0)yx诱思探究如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？答：在任
2、意角 的终边上取不同于坐标原点的任意一点 P（x，y ） ，不论点 P 在角 的终边上的位置如何，三个比值 ， ， 始终等于定值xr yr yx3.任意角的三角函数第二定义 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)Pxy那么 叫做 的正弦，即ysiny 叫做 的余弦，即xcox 叫做 的正切，即ta(0)注意：正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.思考：根据三角函数的定义，确定它们的定义域.答：正弦 和余弦 的定义域是 ，正切 的定义域sinxcosxRtanx|,2xkZ4.任意角的三角函数符号探究：根据三角函数的定义能
3、否确定正弦,余弦, 正切的值在四个象限内的符号?规律： “一全正、二正弦、三两切、四余弦”.5.三角函数线三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在 轴上，余弦线的起点都是x原点，正切线的起点都是 ，如图中有向线段 分别叫做角 的正弦线、余(1,0),MPOAT弦线、正切线.题型 1 三角函数的定义例 1. 已知角 的终边经过点 ，求角 的正弦、余弦和正切值 .0(3,4)P解：由已知可得： 22(5rxy于是， ， ，4sin5ycosr4tan3yx例 2. 求 的正弦、余弦和正切值.3解：在直角坐标系中，作 ,53AOB易知 的终边与单位圆的交点坐标为 AOB1(,)2所以,
4、 , ,53sin251cos2tan3思考：若把角 改为 呢? 5376答： ， ，71sin623cos273tan6几个特殊角的三角函数值？例 3.已知角 的终边落在直线 上，求角 的正弦、余弦和正切值.ayxa解：因为角 的终边落在直线 上若角 的终边落在第一象限时，设终边上的一点为 ，由三角函数定义可得，(1,)2211sin,cos,tan若角 的终边落在第一象限时，设终边上的一点为 ，由三角函数定义可得，a (1,)2 211sin,cos,tan感悟：定义法求三角函数值的三种情况(1)已知角 终边上一点 P 的坐标，则可先求出点 P 到原点的距离 r，然后利用三角函数的定义求解
5、(2)已知角 的度数，可先求角 终边与单位圆的交点 P 的坐标，之后同(1)即可求得三角函数值.(3)已知角 的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角 的三角函数值变式演练变式 1、已知角 的终边过点 ，求 的三个三角函数值 .(12,5)P解：由已知可得： 2513Orxy于是， ， ，5sin13ycos13tanyx变式 2：已知角 的终边经过点 P(2a,-3a)(a0)，求角 的正弦、余弦、正切值变式 3：已知角 的终边经过点 P(2a,-3a)，求角 的正弦、余弦、正切值解：设
6、 2,3,xay当 时0所以 22()13OPra由三角函数的定义得， ，31sinyar213cosxar3sin2yx当 时0所以 22()3)1OPraa由三角函数的定义得， ，sin13yra213cosxra3sin2yx变式 4： ( i,_13pmm已 知 点 ， ） 是 角 终 边 上 的 一 点 ， 且 则题型 2 三角函数的符号例 4 确定下列三角函数值的符号：（1 ） （2 ） （3）cos50tan(672)sin4解：（1）因为角 是第三象限，所以 ； cos50（2）因为 ，所以角 是第一象限，所以 ；6748ta(672)0（3 ） 因为 是第四象限，所以 .4s
7、in04例 5：设 sin0, 试确定 是第几象限角解：因为 sin 0，所以 是第一或者第三象限的角.因此满足 sin0 的 是第三象限角.注意：准确记忆三角函数值在各象限符号是解决这类问题的基础感悟：三角函数符号的判定对三角函数符号的判定，首先要判断角是第几象限，然后根据规律：一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正，即可确定三角函数的符号变式演练变式 5 确定下列三角函数值的符号（1 ） （2） （3）6cos4sin()17tan()8变式 6：角 的终边过点 ，且 ，则角 的取值范围（ ）(39,2)acos0,in.(2,3)A.2,)B.C.23D【答案】 C【解析】因为 ，所以角
8、的终边在第二象限或在 轴的正半轴上，cos0,iny所以 ，即得392a23a故答案选 C题型 3 三角函数线的应用例 6. 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:1sin;2 1()sin;2解：如图例 7:在单位圆中作出符合条件的角的终边:1sin21cos2解：（1）所以原不等式的解集为 5(2,)6kkZ（2 ）如图所以，原不等式的解集为 52,3kkZ变式 7： 写出满足条件 的角 的集合 .13cos2解：如图所以，原不等式的解集为 241|2 2636kkkk或感悟：用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：（1 ） 先知道“正值”区间。即 间满足条件的角 的范
9、围，然后再加上周期；0:（2 ） 注意区间是开区间还是闭区间.课堂提高1若 0，则点(tan ，cos )位于( )2A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】 0， 为第四象限角，2tan 0，cos 0.点(tan ，cos )位于第二象限2已知角 的终边落在直线 y3x(x 0)上，则 _.|sin |sin |cos |cos 【答案】2【解析】 因为角 的终边落在直线 y3x(x 0)上，所以角 是第二象限角，因此 sin 0，cos 0，故 112.|sin |sin |cos |cos sin sin cos cos 3已知角 的终边过点 ， ，则 的值是（ ）mP34，0cosin2A1 或1 B 或 C1 或 D1 或52552【答案】B【解析】试题分析：由三角函数定义 ， 时4,3xmy5r0m34sin,cos5， 时22sinco504sin,cos224已知角 的终边经过点 ，且 ，则 等于（ ）,P5A B C D331633【答案】B【解析】试题分析： ，解得 . 23sin516m5若点 P 在 32的终边上，且 OP=2，则点 P 的坐标（ ）A ),1( B ),( C )3,1( D )3,1(【答案】D6设 为第四象限角，其终边上的一个点是 ，且 ，求 和(,5)Px2cos4x sintan
