1、专题一 空间几何体2017 版高中数学课本典型试题改编系列之必修 2（解析版）1.1-2-3.空间几何体的结构、三视图及表面积与体积【变式网络】1.【原题】 （必修 2 第 15 页练习第 4 题）如图是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称正 视 图 侧 视 图 俯视图【解析】由所给的三视图，由正视图和俯视图知该几何体为柱体，由侧视图知，该几何体是一横放的三棱柱【原题解读】 （1）知识上；需要明确三视图的原则即；主俯长对正，主侧高对齐，俯侧宽相等。（2）思路方法上；需要经历由三视图对原几何体的直观想象，操作确认（由三视图画出直观图） ，思辨论证（由所画的直观图，再看是否能获
2、得对应的三视图） 。（3）考察空间想象能力及推理论证能力。变式 1.【2012 湖南高考】某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )【答案】 D 【解析】 由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是 D.变式 2. 【2014 福建高考】 某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）A圆柱 .B圆锥 .C四面体 .D三棱柱【答案】A【解析】由于圆柱的三视图不可能是三角形所以选 A.变式 3.【2013 高考课标】一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是Oxyz， ， ， ，画该四面体三视图中的正视图
3、时，以 平面为(1,0)(,)(0,1)(,0)投影面，则得到正视图可以为（ ）A B C D【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体 的直观图，OAB以 zOx 平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选 A. 变式 4.【2014 湖北高考】 在如图所示的空间直角坐标系 xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2） ， （2,2,0） ， （1,2，1） ， （2,2,2） ，给出编号、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A.和 B.和 C. 和 D.和 【答案】D 【解析】设 )2,(),1,02(),(DCBA，在坐标系中标出已知的四个点，根据三
4、视图的画图规则判断三棱锥的正视图为与俯视图为，故选 D.【变式题组反思小结】1. 考查知识点：空间几何体的结构特征与三视图；2考查的方式：高考中主要为选择和填空题。3命题的思路：通过立体几何中三视图的有关知识，即由三视图到实物图，再到直观图考查学生空间想象能力。4题目变化方向：在立足基础性的同时，向综合性和体现能力的方向变化。如将空间几何体的三视图与空间直角坐标系融合在一起，凸显了数学学科内知识间的内在即时联系，充分体现了数学学科特点和知识间的内在联系，能较好的考查学生的综合知识运用能力. 2. 【原题】 （必修 2 第 28 页习题 1.3 第 3 题） 如图将一个长方体沿相邻三个面的对角线
5、截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比。【解析】由题可设长方体的长、宽、高分别为；a, b, c。则 ，而长方体体积为；136VShabc锥 Vabc长 方 体剩下几何体体积为； ，则；5V剩 15锥剩【原题解读】本题以最为熟悉的几何体长方体为背景，进行截取并求体积。可采用分解的思想，即求出长方体和三棱锥的体积，而剩下体积可减出。从而求出体积比。体现了基本运算能力、空间想象能力和分解与组合的思想。【变式网络】变式 1.【2014 山东高考】三棱锥 PABC中， D， E分别为 PB， C的中点，记三棱锥DABE的体积为 1V， 的体积为 2V，则 1_.【答案】 14【解析】由已知
6、.2DABPABS设点 C到平面 PAB距离为 h，则点 E到平面 PAB距离为2h，所以， 1213.4DABPhVS变式 2.【2015 高考新课标 2】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )CBADD1 C1B1A1A 81 B 71 C 61 D 5【答案】D【解析】由三视图得，在正方体 1ADB中，截去四面体 1，如图所示，设正方体棱长为 a，则 1326ABDVa，故剩余几何体体积为 35，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 1，故选 D变式 3.【2014 安徽高考】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为
7、 （ ）A21+ 3 B18+ 3 C21 D18【答案】A【解析】由题意，该多面体的直观图是一个正方体 CD挖去左下角三棱锥 AEFG和右上角三棱锥 EF，如下图，则多面体的表面积13262213S故选 A变式 4.【2014 新课标 2】如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A. 172 B. 59 C. 1027 D. 13【答案】C【变式题组反思小结】1. 考查知识点：空间几何体的结构特征、三视图及截取问题；2考查的方式：高考
8、中主要为选择和填空题。3命题的思路：通过对常见立体几何的截取，考查学生空间想象能力和运算能力。4题目变化方向：在立足基础性的同时，向综合性和体现能力的方向变化。如将空间几何体的截取问题与三视图融合，充分体现了知识间的内在联系，考查学生的综合知识运用能力. 2.【原题】 （必修 2 第 29 习题 1.3 B 组 1）如图是一个奖杯的三视图，是根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积（尺寸如图，单位：cm， 取 3.14，结果分别精确到 1cm，1cm，可用计算器） 。【解析】由三视图画出奖杯的草图如图可知，可知球的直径为 4cm，则球的半径 R 为 2cm，所以球的表面积和体积分别为：S 球 =4
9、 =422=16（ ） ，V 球=43R 3=4323=323（ ） 2R2cm3cm而四棱柱（长方体）的长为 8cm，宽为 4cm，高为 20cm，所以四棱柱（长方体）的表面积和体积分别为：S 四棱柱 =（84+420+820）2=2722=544 ， V 四棱柱 =8420=6402c。3cm该四棱台的高为 2cm，上底面为一个边长为 12cm 的正方形，下底面为边长为 20cm 的正方形四棱台的表面积等于四棱台的四个侧面积与上、下底面面积的总和所以关键的是求出四棱台四个侧面的面积，我们先求出四棱台 ABCD 面上的斜高，过点 A 作 AE CD， AO 垂直底面于点 O，连接 OE，已知
10、 AO=2cm，则 AE 为四棱台 ABCD 面上的斜高： AE=20-1222+22=25cm，所以四棱台的表面积和体积分别为：S 四棱台 =S 四棱台侧 +S 上底 +S 下底 =412+20225+1212+2020=（1285+544） ，2cmV 四棱台 =131212+1212+2020+20202=23544+434 3c表面积是表示几何体表面的大小；体积是几何体占空间的大小所以分别将球体、四棱柱和四棱台的表面积相加不是奖杯的表面积应将相加起来的和减去四棱柱的两个底面面积才是奖杯的表面积：奖杯的表面积 S=S 球 +S 四棱柱 +S 四棱台 -2S 四棱柱底面 =16+544+1
11、285+544-2（48）=16+1024+12851360 ，2cm奖杯的体积 V=V 球 +V 四棱柱 +V 四棱台 =323+640+23434+5441052 3cm【原题解读】：本题在考察三视图的同时，进而要求计算常见几何体的体积和表面积，而题中几何体由常见几何体组合而成，可采用分解的思想，化为基本几何体体积和表面积的和来计算。注意算表面积时，几何体接触部分需减去。【变式网络】变式 1. 【2014 天津高考】已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m） ，则该几何体的体积为_ 3244242侧侧侧侧侧侧侧侧侧【答案】 203【解析】由三视图可知该几何体是组合体，其中下半部分是底面半径
12、为 1，高为 4 的圆柱，上半部分是底面半径为 2，高为 2 的圆锥，其体积为 22033变式 2.【2016 山东高考】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）A.123 B.123 C.1236 D. 216【答案】C【解析】由三视图可知,上面是半径为 2的半球,体积为31426V,下面是底面积为 1,高为 1 的四棱锥,体积 23,故选 C.变式 3. 【2016 高考课标 3】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A.18365 B.5418 C.90 D.81【答案】B【解析】 由三视图该几何体
13、是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积 236235418S，故选 B变式 4.【2015 高考课标 1】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16 + 20，则 r=（ ）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【变式题组反思小结】1. 考查知识点：空间几何体的三视图及体积与表面积；2考查的方式：高考中主要为选择和填空题。3命题的思路：通过立体几何中三视图及体积与表面积，考查学生空间想象能力和运算能力。4题目变化方向：为高考的热点，题目稳定，综合性较强。 4. 【原题】 （必修 2 第 37 复习参考题 B 组 2）一个长、宽、高分别是 80 cm、60 cm、55cm 的水槽中有水 200000 .线放入一个直径为 50 cm 的木球，3cm如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中流出？【解析】水槽的容积 V=806055=264000(cm3)，木球的体积 ，334256417(cm)V木，20+65173Q水不会从水槽中流出
