1、专题二 集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲 集合与常用逻辑用语1集合的概念、运算(1)集合元素的三个特性:确定性、互异性、无序性,是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据(2)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法(3)集合间的关系:子集、真子集、空集、集合相等,在集合间的运算中要注意空集的情形(4)重要结论ABAA B;ABA BA.2命题(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;(2)含有量词的命题的否定:xM ,p( x)的否定是 x M,綈 p(x);xM ,p( x)的否定是 x M,綈 p(x)3充要条件设集合 A x|x 满足条件 p,Bx|x 满
2、足条件 q,则有从逻辑观点看 从集合观点看p 是 q 的充分不必要条件 (pq,qp) A Bp 是 q 的必要不充分条件 (qp,pq) B Ap 是 q 的充要条件 (pq) ABp 是 q 的既不充分也不必要条件(pq,qp) A 与 B 互不包含1 (2013辽宁)已知集合 A x|0log 4x1,Bx|x2,则 AB 等于 ( )A(0,1) B(0,2 C(1,2) D(1,2答案 D解析 A x|1x 4,Bx| x2,ABx|1x 22 (2013北京)“ ”是“曲线 ysin(2x)过坐标原点”的 ( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必
3、要条件答案 A解析 当 时,ysin(2x)sin 2x 过原点当曲线过原点时,k, kZ ,不一定有 . “”是“曲线 ysin(2x )过原点”的充分不必要条件3 (2013四川)设 xZ,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集若命题 p:xA,2xB,则( )A綈 p:xA,2xB B綈 p:x A,2xBC綈 p:x A,2xB D綈 p:xA,2xB答案 D解 析 命 题 p: x A,2x B 是 一 个 全 称 命 题 ,其 命 题 的 否 定 綈 p应 为 x A,2xB,选 D.4 (2013天津)已知下列三个命题:若一个球的半径缩小到原来的 ,则其体积缩小到原来的 ;12
4、18若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;直线 xy10 与圆 x2 y2 相切12其中真命题的序号是 ( )A BC D答案 C解析 对于命题,设球的半径 为 R,则 3 R3,故体积缩小到原来的 ,命题正43(R2) 1843 18确;对于命题,若两组数据的平均数相同,则它们的标准差不一定相同,例如数据 1,3,5和 3,3,3 的平均数相同,但标准差不同,命题不正确;对于命 题,圆 x2y 2 的圆心(0,0) 到12直线 xy10 的距离 d ,等于 圆的半径,所以直线与圆相切,命题正确12 225 (2013四川)设 P1,P 2,P n为平面 内的 n 个点,在平面 内的所
5、有点中,若点 P到点 P1,P 2,P n的距离之和最小,则称点 P 为点 P1,P 2,P n的一个“中位点”例如,线段 AB 上的任意点都是端点 A、B 的中位点现有下列命题:若三个点 A,B,C 共线,C 在线段 AB 上,则 C 是 A, B,C 的中位点;直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点;若四个点 A,B,C,D 共线,则它们的中位点存在且唯一;梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点其中的真命题是_(写出所有真命题的序号)答案 解析 |CA| |CB| AB|,当且 仅当点 C 在线段 AB 上等号成立,即三个点 A,B,C,点 C 在线段 AB 上,点 C
6、是 A,B,C 的中位点,故 是真命题如图(1),在 RtABC 中,C90, P 是 AB 的中点,CH AB,点 P,H 不重合, 则|PC|HC|.又|HA |HB |PA| PB|AB|,|HA |HB |HC|0,T ,则x|2 x2 x1x |x0,T x|x2 或 x2题型二 命题的真假与否定问题例 2 下列叙述正确的个数是 ( )l 为直线,、 为两个不重合的平面,若 l ,则 l ;若命题 p:x 0R ,x x 010,则綈 p:xR,x 2x10;20在ABC 中, “A60”是“cos A ”的充要条件;12若向量 a,b 满足 ab4x3 均成立;若 log2xlog
7、 x22,则 x1;“若 ab0 且 c ”的逆否命题;cacb若命题 p:xR ,x 211,命题 q:xR,x 2x10,则命题 p綈 q 是真命题其中真命题只有 ( )A BC D答案 A解析 中不等式可表示为(x1) 220,恒成立; 中不等式可变为 log2x 2,1log2x得 x1;中由 ab0,得 0 ,由于 x2x1 2 ,则存在 x 值使 x2x10,故(x 12) 54綈 q 为假命题,则 p綈 q 为 假命题题型三 充要条件的判断问题例 3 (1)甲:x2 或 y3;乙:xy 5,则 ( )A甲是乙的充分不必要条件B甲是乙的必要不充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的
8、充分条件,也不是乙的必要条件(2)设命题 p:|4x 3| 1;命题 q:x 2(2 a1)xa(a1)0,若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围是 ( )A. B.0,12 (0,12)C(,0) D( ,0)12, ) (12, )审题破题 (1)利用逆否命题判别甲、乙的关系;(2) 转化为两个集合间的包含关系,利用数轴解决答案 (1)B (2)A解析 (1)“甲乙” ,即 “x2 或 y3”“xy5” ,其逆否命题为:“xy 5”“x2 且 y3”显然不正确同理,可判断命题“乙甲”为真命题所以甲是乙的必要不充分条件(2)綈 p:|4x3|1;綈 q:x2(2a1)x
9、a(a1)0,解得綈 p:x1 或 xa1 或 x0 且 a1,则“函数 f(x)a x在 R 上是减函数”是“函数g(x)(2a) x3 在 R 上是增函数 ”的 ( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知函数 f(x)a x在 R 上是减函数等价于 01答案 D解析 1.典例 设非空集合 Sx |m xl满足:当 xS 时,有 x2S.给出如下三个命题:若 m1,则 S1;若 m ,则 l 1;12 14若 l ,则 m0.12 22其中正确命题的个数是 ( )A0 B1 C2 D3解析 m1 时,lm1 且 x21,l1,故正确m
10、 时,m 2 ,故 l .12 14 14又 l1,正确l 时,m 2 且 m0,则 m0,12 12 22正确答案 D得分技巧 创新性试题中最常 见的是以新定义的方式给出试题, 这类试题要求在新的情境中使用已知的数学知识分析解决问题,解决 这类试题的关 键是透彻理解新定义,抓住新定义的本质,判断给出的各个 结论,适当的 时候可以通过 反例推翻其中的结论阅卷老师提醒 在给出的几个命 题中要求找出其中正确命题类的试题实际上就是一个多项选择题,解答这类试题时要 对各个命题反复进行推敲,确定可能正确的要进行严格的证明,确定可能错误的要举出反例,这样才能有效避免答错试题 1 已知集合 Ax| x2x
11、20 ,Bx|ax 1 ,若 ABB,则 a 等于 ( )A 或 1 B2 或112C2 或 1 或 0 D 或 1 或 012答案 D解析 依题意可得 ABB BA.因为集合 Ax| x2x 202,1,当 x2 时, 2a1,解得 a ;12当 x1 时,a 1;又因为 B 是空集时也符合题意,这时 a0,故 选 D.2 (2013浙江)已知函数 f(x)A cos(x)(A0, 0,R) ,则“f (x)是奇函数”是“ ”的 ( )2A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案 B解析 f(x )Acos Asin x 为奇函数,2 (x 2)“f(x )
12、是奇函数”是“ ”的必要条件2又 f(x)Acos(x)是奇函数f (0)0 k (kZ ) .2 2“f(x )是奇函数”不是“ ”的充分条件23 (2012辽宁)已知命题 p: x 1,x 2R,(f(x 2)f(x 1)(x2x 1)0,则綈 p 是 ( )Ax 1,x 2R,(f(x 2)f(x 1)(x2x 1)0Bx 1,x 2R,(f(x 2)f(x 1)(x2x 1)0Cx 1,x 2R,(f(x 2)f(x 1)(x2x 1)0,BxR| x0,则“xAB”是“xC”的 ( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案 C解析 A x|x
13、20x|x 2(2 , ) ,B x|x0x| x2(, 0)(2,)ABC.“xAB”是“xC”的充要条件6 下列关于命题的说法中错误的是 ( )A对于命题 p:xR,使得 x2x10,若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,则实数 a 的取2xx 1值范围是 ( )A(,1) B1,3C1,) D3 ,)答案 C解析 1a;当2xx 1 x 1x 1a3.綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,即 p 是 q 的充分不必要条件,即pq 且 qp,从而可推出 a 的取 值范围是 a1.8 下列命题中是假命题的是 ( )A存在 ,R,使 tan()tan tan B对任意 x0,有 lg2xlg x
14、10CABC 中,AB 的充要条件是 sin Asin BD对任意 R,函数 ysin(2 x)都不是偶函数答案 D解析 对于 A,当 0 时 ,tan( )0tan tan ,因此选项 A 是真命题;对于B,注意到 lg2xlg x1 2 0,因此选项 B 是真命题;对于 C,在ABC(lg x 12) 34 34中,由 ABab2Rsin A2Rsin Bsin Asin B(其中 R 是ABC 的外接圆半径) ,因此选项 C 是真命题;对于 D,注意到当 时, ysin(2x)cos 2x 是偶函数,因此选项2D 是假命题综上所述,选 D.二、填空题9 已知集合 AxR |x1|1,结合
15、数轴易知 m1.11 已知命题 p:“x 1,2, x2ln xa0”是真命题,则实数 a 的取值范围是12_答案 ( ,12解析 命题 p:a x2ln x 在1,2上恒成立,令 f(x) x2ln x,f(x )x 12 12 1x,当 10,f(x) minf(1) , a .x 1x 1x 12 1212给出下列命题:“数列a n为等比数列”是“数列a nan1 为等比数列”的充分不必要条件;“a2”是“函数 f(x)|xa|在区间2 ,)上为增函数 ”的充要条件;“m3”是“直线(m3)xmy20 与直线 mx6y50 互相垂直”的充要条件;设 a,b,c 分别是ABC 三个内角 A
16、,B,C 所对的边,若 a1,b ,则3“A30”是“B60”的必要不充分条件其中真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)答案 解析 对于,当数列a n是等比数列时,易知数列 anan1 是等比数列;但当数列anan1 是等比数列时,数列 an未必是等比数列,如数列 1,3,2,6,4,12,8 显然不是等比数列,而相应的数列 3,6,12,24,48,96 是等比数列,因此 正确对于,当 a2 时,函数 f(x)|x a| 在区间2,)上是增函数,因此不正确 对于 ,当 m3 时,相应的两条直线垂直;反过来,当这两条直线 垂直时,不一定能得出 m3,也可能得出 m0,因此 不正确对于,由题意
17、,得 ,当 B60时,有 sin A ,注意到 ba,故ba sin Bsin A 3 12A30 ;但当 A30时,有 sin B ,B60或 B120 ,因此正确32三、解答题13已知函数 f(x) 的定义域为集合 A,函数 g(x)lg(x 22xm )的定义域为集6x 1 1合 B.(1)当 m3 时,求 A( RB);(2)若 A Bx |10,命题 p:1A,命题 q:2A.若 pq 为真命题,pq 为假命题,求 a 的取值范围解 由命题 p:1A,得Error!解得 a1.由命题 q:2A,得Error!解得 a2.又pq 为真命题,pq 为假命 题,即 p 真 q 假或 p 假 q 真,当 p 真 q 假时,Error!即 1a 2,当 p 假 q 真时,Error!无解故所求 a 的取值范围为(1,2