1、一、题之源：课本基础知识1.一般地,设函数 的定义域为 :()fxI如果对于定义域内某个区间 上的任意两个自变量的值 ,当 时,都有D12x12x,那么就说函数 在区间 上是增函数.如果对于定义域内某个区间 上12()fxf()fx D的任意两个自变量的值 ,当 时,都有 ,那么就说函数 在区间121212()fxf()fx上是减函数.若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数 在这一区间具D有（严格的）单调性2.如果函数 f(x)在某个区间上是增函数,在该区间上随自变量 x 的增大, y 也越来越大,函数图象在该区间上的部分自左到右呈上升趋势；如果函数 f(x)在某个区间上是
2、减函数,则在该区间上随自变量 x 的增大, y 越来越小,函数图象在该区间上的部分自左到右呈下降趋势并不是每个函数都有单调性,如函数 就不具有单调性.1,0fx为 有 理 数为 无 理 数3.对于函数 和 ,如果 在区间 上是具有单调性,当()yfu()g()ugab时, 且 在区间 上区间也具有单调性,则复合函数xab,mnyfmn在区间 具有单调性：()yfgab若 在 上单调递增, 在 上单调递增,则复合函数ux()yfu在区间 上单调递增；若 在 上单调递增, 在()yf gxab()yfu上单调递减,则复合函数 在区间 上单调递减；若 在mn()yf, gx上单调递减, 在ab()f
3、u上单调递增,则复合函数 在区间 上单调递减；若 在()yfgx,ab()ux上单调递减, 在 上单调递减,则复合函数 在区间 上()fmn()yfg,ab单调递增；4.一般地,设函数 y f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足：对于任意的 x I,都有f(x) M；存在 x0 I,使得 f(x0) M.那么,称 M 是函数 y f(x)的最大值. f(x) M 反映了函数 y f(x)的所有函数值不大于实数 M；这个函数的特征是图象有最高点,并且最高点的纵坐标是 M.5.一般地,设函数 y f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足：对于任意的 x I,都有f(x) M；存在 x
4、0 I,使得 f(x0) M.那么,称 M 是函数 y f(x)的最小值.函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标6.函数最值的重要结论(1)设 f(x)在某个集合 D 上有最小值， m 为常数，则 f(x) m 在 D 上恒成立的充要条件是f(x)min m；(2)设 f(x)在某个集合 D 上有最大值， m 为常数，则 f(x) m 在 D 上恒成立的充要条件是f(x)max m.7.函数的奇偶性（在整个定义域内考虑）（1）奇函数满足 ， 奇函数的图象关于原点对称；)()(xff（2）偶函数满足 ， 偶函数的图象关于 y 轴对称；注：具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称; 若奇函数
5、在原点有定义,则0)(f根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。8.判断函数奇偶性的步骤求函数定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数，也不是偶函数；验证 f( x)是否等于 f(x)，或验证其等价形式 f(x)f( x)0 或 1( f(x)f（ x）f（ x）0)是否成立 对于分段函数的奇偶性应分段验证，但比较繁琐，且容易判断错误，通常是用图象法来判断 对于含有 x 的对数式或指数式的函数通常用“ f( x)f(x)0”来判断 二、题之本：思想方法技巧1.复合函数单调性可简记为“同增异减”,即内函数与外函数单调性相同时,复合函数为增
6、函数,内函数与外函数单调性相异时,复合函数为减函数.2.根据定义证明函数的单调性时，要注意格式的规范.3.研究函数的单调性切记定义域优先.注意单调区间必须用区间表示，不可用集合的其它表示形式，并注意区间端点值的取舍，如端点值在定义域内，闭开均可，如端点值不在定义域内，必须为开；如增（减）区间不只一个，区间之间应该用“和”或“， ”，不可用“”.4.若 f(x)是增(减)函数，则 f(x1) f(x2)x1 x2(x1 x2) 在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时，可以利用函数单调性的“可逆性” ，脱去“函数符号 f”，化为一般不等式求解，但运算必须在定义域内或给定的范围内进行 5.已知奇(偶
7、)函数或周期函数在定义域的某一区间内的解析式，求函数在另一区间或整体定义域内的解析式时，一定要注意区间的转换 如：若 x0，则 x0；若 1 x2，则3 x24 等 如果要研究其值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上 6 解题中要注意以下性质的灵活运用(1)f(x)为偶函数 f(x) f(|x|)；(2)若奇函数 f(x)在 x0 处有定义，则 f(0)0；(3)若 f(x)既是奇函数，又是偶函数，则它的图象一定在 x 轴上 7.下面几类函数都是奇函数:y= (ab0);y= (a0 且 a1);bax1
8、xay= (a0 且 a1);y= (a0 且 a1).21xa）（ 21logxa8. 若 f(x)满足对任意实数 a,b 都有 f(a+b)=f(a)+f(b),则 f(x)是奇函数;若 f(x)满足对任意实数 a,b 都有 f(a+b)+m=f(a)+f(b),则 f(x)-m 是奇函数.9.抽象函数的奇偶性与单调性的判定，常在依托定义的基础上，用赋值法.例：已知函数 f(x)在(1，1)上有定义， f( )=1,当且仅当 00,1 x1x20， 0,12x又( x2 x1)(1 x2x1)=(x21)( x1+1)0 x2 x11 x2x1,0 1,由题意知 f( )0，1221x即
9、f(x2)f(x1). f(x)在(0，1)上为减函数，又 f(x)为奇函数且 f(0)=0. f(x)在(1，1)上为减函数.10.函数的几个重要性质：如果函数 对于一切 ，都有 ，那么函数 的图xfyRxaffxfy象关于直线 对称 是偶函数；ayfxa若都有 ，那么函数 的图象关于直线 对称；函数bfxfxfy2bx与函数 的图象关于直线 对称；yxy2ba函数 与函数 的图象关于直线 对称；函数 与函数xff0xxfy的图象关于直线 对称；函数 与函数 的图象关于坐标y0yfy原点对称11.抽象函数的周期性是高考考查的热点，故这里给出周期函数的定义及常用结论：(1)已知函数 的定义域为
10、 ，若存在非零常数 ，对任意 都有 ，fxITxIfxTf则成为周期函数， T 为 的一个周期。f(2)对函数 满足对定义域内任一实数 （其中 为非零常数）,yfxxa ，则 是以 为周期的周期函数；fayfxT ，则 是以 为周期的周期函数；xfx2 ，则 是以 为周期的周期函数；1faffa ，则 是以 为周期的周期函数；fxxf2T ，则 是以 为周期的周期函数.1()()ffafa ，则 是以 为周期的周期函数1()()fxfxaf4Ta ，则 是以 为周期的周期函数.()()ffxf函数 满足 （ ） ，若 为奇函数，则其周期为 ，yf()()fafx0a()fx4Ta若 为偶函数，
11、则其周期为 .()fx2T函数 的图象关于直线 和 都对称，则函数 是以yfRxb()fx为周期的周期函数；2ba函数 的图象关于两点 、 都对称，则函数()yfx0,Aay0,Ba是以 为()f周期的周期函数；函数 的图象关于 和直线 都对称，()yfxR0,yxb则函数 是()fx以 为周期的周期函数；4ba三、题之变：课本典例改编1.原题（必修 1 第二十四页习题 1.2A 组第七题）画出下列函数的图象：（1）改编 设函数 D(x)= ，则下列结论错误的是（ ）,0xQAD(x)的值域为0,1 B D(x)是偶函数 CD(x)不是周期函数 DD(x)不是单调函数【答案】C.2.原题（必修
12、 1 第三十六页练习第题（） ）判断下列函数的奇偶性： x1f()2改编 关于函数 ，有下列命题：其图象关于 轴对称；当0)(x1lgf(x)2 y时， 是增函数；当 时， 是减函数； 的最小值是 ； 在0xf()ff(x)lg2f(x)区间 上是增函数； 无最大值，也无最小值其中所有正确结论的序号,21(x)是 【答案】【解析】 为偶函数，故正确；令 ，则当 时，0)(x1lgf(x)2 x1u()20在 上递减，在 上递增，错误；正确；错误故答案：1u(),0,3.原题（必修 1 第三十九页复习参考题 B 组第 1 题）已知函数 ，2fx(1)求 ， 的单调区间；(2) 求 ， 的最小2,
13、4gxxfxgfgx值改编 1 已知函数 在区间 内单调递减，则 a 的取值范围是（ 2fa,6）A B C D3a333【答案】D【解析】函数 图像是开口向上的抛物线，其对称轴是 ，由已知24fxa 2xa函数在区间 内单调递减可知区间 应在直线 的左侧， ，解,6,62xa6得 ，故选 D3a改编 2 已知函数 在区间( ,1)上为增函数，那么 的取值范围215fxax12 2f是_【答案】 7f【解析】函数 在区间( ,1)上为增函数，由于其图像(抛物线)开口215fxax12向上，所以其对称轴 或与直线 重合或位于直线 的左侧，即应有12ax12x12x，解得 ，12a ，即 4157
14、fa7f改编 3 已知函数 在 上是单调函数，求实数 的取值范围2fxk,4k【答案】 或 k84.原题（必修 1 第三十九页复习参考题 B 组第三题）已知函数 是偶函数，而且在()fx上是减函数，判断 在 上是增函数还是减函数，并证明你的判断.(0,)()fx,0)改编 1 已知定义在上的偶函数 f(x)在区间上是减函数 , 若 f(1-m) f(m), 则实数 m 的取值范围是 .【答案】 12m【解析】由偶函数的定义, , 又由 f(x)在区间上是减函数, 所以()(|1|)fmf.故答案： .0|1| 22改编 2 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A. B. C.
15、 D. Rxy,3 Rxy,sinRxy,)21(【答案】A【解析】B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选 A.改编 3 函数 是 R 上的偶函数，且在 上是增函数，若 ,则实数()yfx(,0()2fa的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 或a2a2a【答案】D.5.原题（必修 1 第四十五页复习参考题 B 组第五题）证明：（1）若 ，则fxab；（2）若 则 .12fxfxf 2,gxab1212gxg改编 1 函数 在 上有定义，若对任意 ，有f,ab12,则称 在 上具有性质 .设 在 上具有性质 ，
16、212,xffxf fx,abPfx1,3P求证：对任意 ，有 .1234, 12341234xf ffffx 【解析】证明：34121234 3412xx xf f ff 123412342fxffxffxffxf 改编 2 如图所示， 是定义在0，1上的四个函数，其中满足性质：(),2)i“对0，1中任意的 和 ，任意1x恒成立”的只有 （ ）1212,()()()fffx1()fx2()fx3()f4()fxA 和 B C 和 D3f 2x3【答案】A.【解析】当 时，符合条件的函数是凹函数，从图像可看出有 和 ，故选择 A.12 1()fx3f改编 3 设函数 = 的图象如下图所示，则 a、 b、 c 的大小关系是 （ ）()fxcba211-1 -1O x yA.a b c B.a c b C.b a c D.c a b【答案】B.改编 4 如图所示，单位圆中弧 AB 的长为 表示弧 AB 与弦 AB,()xf所围成的弓形面积的倍，则函数 的图象是 （ ） y【答案】D.【解析】据题意选 D.
