1、1 / 4松江区 2013 学年度第一学期高三期末考试数学（理科）试卷（满分 150 分，完卷时间 120 分钟） 2014.1一、填空题 (本大题满分 56 分)本大题共有 14 题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分1若函数 的反函数为 ，则 1)fx(1()fx1()2f2若 ，则 403某射击选手连续射击 5 枪命中的环数分别为： ， ，9.7， ， ，则这组数据的方差为 101.4如图，正六边形 的边长为 ，则 ABCDEF1ACDB5已知 na为等差数列，其前 n项和为 nS若 1a， ，则 364S6将直线 ： 绕着点 按逆时针方
2、向1l30xy(,2)P旋转 后得到直线 ，则 的方程为 52l7执行如图所示的程序框图，输出的 = S8记 的展开式中含 项的系数，则1)(nnxa为 1nx 12limn9若圆 和曲线 恰有2(0)xyR|134xy六个公共点，则 的值是 10从 中随机选取一个数 ，从 中1,345a,2随机选取一个数 ，则关于 的方程 有两个虚根的概率是 bx20xb11对于任意实数 ， 表示不小于 的最小整数，如 定义在1.2,0.上的函数 ，若集合 ，则集合 中所有元R()fx(),AyfxA素的和为 12设 是双曲线 的两个焦点， 是 上一点，若12,F2:(0,)yCabPC2 / 4，且 的最
3、小内角为 ，则 的渐近线方程为 126PFa12PF30C13已知函数 ，若 ，()log(,1)afxxa1234xx且 ，则 12()f34)f123414设集合 ，若 且 ，记 为 中元素的最大值与最小,An BA()GB值之和，则对所有的 ， 的平均值= ()G二、选择题(本大题满分 20 分 )本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分15某市共有 400 所学校，现要用系统抽样的方法抽取 20 所学校作为样本，调查学生课外阅读的情况把这 400 所学校编上 1400 的号码，再从 120 中随机抽
4、取一个号码，如果此时抽得的号码是 6，则在编号为 21 到 40 的学校中，应抽取的学校的编号为A 25 B26 C27 D以上都不是16已知 ，且 ，则下列不等式中，正确的是ba01A B C Dlog22ba 2logl2ba21ab17已知函数 的图像关于直线 8x对称，则 的单调递增区间sin()coxmf ()fx为 AB3,()8kkZ3,()kkZC D2,42,418已知实数 ，对于定义在 上的函数 ，有下述命题：0abR)(xf“ 是奇函数”的充要条件是“函数 的图像关于点 对称” ；)(xf fa(,0)Aa“ 是偶函数”的充要条件是“函数 的图像关于直线 对称” ；x“
5、是 的一个周期”的充要条件是“对任意的 ，都有 ”；2f Rx()ffx “函数 与 的图像关于 轴对称”的充要条件是“ ”()yxa()yfbxyb其中正确命题的序号是A B C D3 / 4三解答题(本大题满分 74 分 )本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19 （本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分已知集合 ，1Ax22430,Bxa(1)当 时，求集合 ；1a若 ，求实数 的取值范围Ba20 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分过
6、椭圆 的左焦点 的直线 交椭圆于 、 两点12yx1FlAB求 的范围；1AOF若 ，求直线 的方程Bl21 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分如图，相距 200 海里的 A、B 两地分别有救援 A 船和 B 船在接到求救信息后，A 船能立即出发，B 船因港口原因需 2 小时后才能出发，两船的航速都是 30 海里/ 小时在同时收到求救信息后，A 船早于 B 船到达的区域称为 A 区，否则称为 B 区若在 A 地北偏东方向，距 A 地 海里处的 点有一艘遇险船正以 10 海里/小时的速度向正北方向45150M漂移求 A 区与 B 区边界
7、线（即 A、B 两船能同时到达的点的轨迹）方程；问：应派哪艘船前往救援？救援船最快需多长时间才能与遇险船相遇？ （精确到 小时）0.14 / 422 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分，第 3小题满分 6 分已知函数 2()(1)|fxxa若 ，解方程 ；1a若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围；fR是否存在实数 ，使不等式 对一切实数 恒成立？若存在，求出 的()23fxxRa取值范围，若不存在，请说明理由23 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 8
8、分对于数列 ： ，若不改变 ，仅改变 中部分项的符nA123,nA 123,nA号，得到的新数列 称为数列 的一个生成数列 如仅改变数列 的第二、a1,45三项的符号可以得到一个生成数列 ,45已知数列 为数列 的生成数列， 为数列 的前 项和n()2nNnSna写出 的所有可能值；3S若生成数列 满足： ，求 的通项公式；na31()78nnSna证明：对于给定的 ， 的所有可能值组成的集合为：121|,2nnmxN5 / 4P.F. Productions 后期制作松江区 2013 学年度第一学期高三期末考试数学（理科）试卷参考答案2014.1一、填空题1 3 2 1 30.032 4 3
9、58 6 y7102 8 2 9 3 10 1511-4 12 yx132 14 n二、选择题15B 16 C 17A 18A三、解答题19解：(1)由 , 得 ，所以 2 分1x02x0,当 时, , 4 分a4313x 6 分AB(2) , ， 7 分a,若 ，则 , 8 分A 即 12 分032a20320解：（1）易知 ， 1 分1,cb)0,(F设 ，则 3 分),(1yxA22OAxy 2 5 分22 21111()Fxyxx 6 / 4 ， 6 分2,1x1,2AOF(2)设 、 两点的坐标为 、AB(,)xy()B当 平行于 轴时，点 、 ，此时 8 分ly,102OAB当 不
10、平行于 轴时，设直线 的斜率为 ，则直线 方程为 ，lkl()ykx由 得 9 分2(1)kxy22()40kx， 11 分2124xk12221211()()OABxykxxk= 得 ， 13 分()20故所求的直线方程为 14 分 ()21解：设点 为边界线上的点，由题意知 ，即 ，P230PAB60PAB即动点 到两定点 、 的距离之差为常数，AB点 的轨迹是双曲线中的一支。 3 分由 得 ，20,6ca3022191b方程为 （ ） 6 分219xyx 点的坐标为 ， 点的坐标为 ， 点的坐标为 ，M(5,)A(0,)B(10,)， ，150.A20158.B，点 在 A 区，又遇险船
11、向正北方向漂移， ，即21846BM遇险船始终在 A 区内，应派 A 船前往救援 8 分设经 小时后，A 救援船在点 处与遇险船相遇。在 中， ，t NN1502 9 分10,3,35Nt 222(3)(0)102cos135t整理得 ，45t解得 或 （舍） 13 分79.6878tA 救援船需 小时后才能与遇险船相遇 14 分.22解：（1）当 时， , 故有, 1a2()(1)|fxx7 / 4, 2 分21,()xf当 时，由 ，有 ，解得 或 3 分()f21x1x当 时， 恒成立 4 分 方程的解集为 5 分|x或（2） , 7 分2(),()1aaf x若 在 上单调递增，则有x
12、R， 解得， 9 分140a3a 当 时， 在 上单调递增 10 分3()fx（3）设 ()2g则 11 分(3),1axax不等式 对一切实数 恒成立，等价于不等式 对一切实数)fR()0gx恒成立xR若 ，则 ，即 ，取 ，此时a0201a21xa0,a，02()(31g即对任意的 ，总能找到 ，使得 ，0x0()gx不存在 ，使得 恒成立 12 分a()g若 ， ， 值域 ，124,1,xx()2,)所以 恒成立 13 分()0g若 ，a当 时， 单调递减，其值域为 ，,x()gx2(3,)a由于 ，所以 成立2231a)0gx当 时，由 ，知 ， 在 处取最小值，,)344令 ，得 ，
13、又 ，所以 15 分2()(048ag5a131a综上， . 16 分3,1238 / 4（1）由已知， ， ，12a1|(,2)nNn 2 分23,48由于 7531,4248248 可能值为 4 分3S1（2） ，3()78nn当 时， ， 5 分1231()78aS当 时， 6 分3133 11()()788nnnnna 是 的生成数列na()2N ； ； ；331nn31312nna32na 8 分21 1(4)(),88na N 在以上各种组合中，当且仅当 时，才成立。9 分3231341,()8nnnaN 10 分1,32nkaN（3）证法一：用数学归纳法证明： 时， ，命题成立。
14、 11 分1n1S假设 时命题成立，即 所有可能值集合为：()kkS12|,2mxN由假设， = 13 分kS1()k则当 ， n1123122kk kk SS9 / 415 分112(2)kkSm1(,2)kN即 或11kk1kS1(,)km即 时，命题成立 17 分2S(,2)kn由， ， 所有可能值集合为 。18 分nNn 12|,2nnxN证法二：共有 种情形。2311nnS 12n32nS 即 12 分2nn又 ，分子必是奇数，满足条件 的奇数 共1321nS 121nnxx有 个。 14 分n设数列 与数列 为两个生成数列，数列 的前 项和 ，数列 的前 项和anbnanSnb，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第 项。nT k由于 ，不妨设 ，则1|2kk0,kab11 121()()2()n nknkknSa 12kk所以，只有当数列 与数列 的前 项完全相同时，才有 。16 分nnbnST 共有 种情形，其值各不相同。231nS 12 可能值必恰为 ，共 个。5,nn 1n即 所有可能值集合为 18 分n|,22nkxNkP.F. Productions 后期制作
