1、2.5一元二次方程的根与系数的关系,九年级上册,1.掌握一元二次方程的根与系数的关系.（重点） 2.会利用根与系数的关系解决有关的问题.（难点）,学习目标,学习目标,自主学习检测,1已知x1，x2是一元二次方程x24x10的两个根，则x1x2等于( ) A4 B1 C1 D4 2已知x1，x2是一元二次方程x22x40的两根，则x1x2的值是( ) A4 B2 C2 D4 3设x1，x2是方程x25x20的两个实数根，则x12x22的值为( ) A7 B3 C21 D22,4.已知关于x的方程x2xn0有两个实数根2，m.求m，n的值,C,B,C,答案：m1，n2,1.一元二次方程的求根公式是
2、什么？,想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？,2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？,对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a0) b2 - 4ac 0 时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac 0 时,方程无实数根.,情境导入,探究一元二次方程的根与系数的关系,算一算 解下列方程并完成填空：,1,1,2,-1,-1,1,合作探究,（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是
3、什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？,重要发现 如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p , x1 x2=q.,(x-x1)(x-x2)=0.,x2-(x1+x2)x+x1x2=0，,x2+px+q=0，,x1+x2= -p , x1 x2=q.,合作探究,（2）如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？,合作探究,合作探究,合作探究,一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）,如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、 x2，那么,注意：
4、满足上述关系的前提条件,b2-4ac0.,要点小结,一元二次方程的根与系数的关系的应用,例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2 + 7x + 6 = 0;,解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. = b2 - 4ac = 72 4 1 6 = 25 0.方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.,典例精析,（2）2x2 - 3x - 2 = 0.,解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.= b2 - 4ac = （- 3）2 4 2 (-2) = 25 0,方程有
5、两个实数根.设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .,典例精析,例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.,解：设方程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 .所以：x1 x2=2x2=即：x2=由于x1+x2=2+ =得：k=-7. 答：方程的另一个根是 ，k=-7.,典例精析,已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.,解：设方程 3x2-18x+m=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.所以：x1 + x2=1+x2=6，即：x2=5 . 由于x1x2=15
6、=得：m=15. 答：方程的另一个根是5，m=15.,练一练,例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.,解：根据根与系数的关系可知：,典例精析,设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则: （1）x1+x2= , (2)x1x2= ,(3) ,(4) .,4,1,14,12,练一练,例4：设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值.,解：由方程有两个实数根，得= 4（k - 1）2 - 4k2 0 即 -8k + 4 0.由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2
7、=k 2. x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4.由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4,解得 k1= 0 , k2 = 4 .经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.,典例精析,总结常见的求值:,求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.,要点小结,1.不解方程，求方程两根的和与两根的积：（1）x2 + 3x -1= 0; （2）2x2 - 4x + 1 = 0.,解：(1) 这里 a = 1 , b = 3 , c = -1
8、. = b2 - 4ac = 32 - 4 1 (-1) = 13 0 有实数根.设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -3 , x1 x2 = -1 .(2) 这里 a = 2 , b = -4 , c = 1. = b2 - 4ac = ( -4 )2 - 4 1 2 = 8 0 有实数根.设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么x1 + x2 = 2 , x1 x2 = .,随堂检测,2.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.,解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0.解得 m = 16,设另一个根为x1,
9、则：1 x1 = x1 =,随堂检测,3.设x1,x2是方程3x2 + 4x 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.(1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2),解:根据根与系数的关系得：（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1=（2）,随堂检测,4. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1。,解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1, (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1,由根与系数的关系，得,随堂检测,5.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0（1）若方程有实数
10、根,求实数m的取值范围.（2）若方程两根x1,x2满足x1-x2= 1 求m的值.,解：(1)方程有实数根,m的取值范围为m0,随堂检测,(2)方程有实数根x1,x2, (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1,解得m=8.,经检验m=8是原方程的解,随堂检测,根与系数的关系 （韦达定理）,内 容,如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p ,x1 x2=q.,如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、 x2，那么,应 用,常见变形,课堂小结,个性化作业,1.完成九年级上册2.5一元二次方程的根与系数的关系A组 课后作业。2.预习课本并完成下一节自主学习检测题目。,1.完成九年级上册2.5一元二次方程的根与系数的关系B组 课后作业。2.预习课本并完成下一节自主学习检测题目。,A组,B组,
