1、课题： 3.3.1 函数的单调性与导数教学目标1、 知识与技能了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会利用导数求函数的单调区间。2、 过程与方法通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。3、 情感、态度与价值观通过实例探究函数的单调性与导数的关系。通过这一过程，提高理性思维的能力。 教学重难点重点：函数单调性和导数的关系；会根据导数判断函数的单调性；会利用导数求出函数的单调区间。难点：理解并掌握函数的单调性与导数的关系 教学过程一、 复习引入： 1. 常见函数的导数公式：； ； ； 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆 0C1)(nxxcos)(sixsin
2、)(1)(l 奎 屯王 新 敞新 疆奎 屯王 新 敞新 疆 exaalog1)(l axln2.法则 1 )()( vuvu法则 2 , 奎 屯王 新 敞新 疆 xx()()Cux法则 3 奎 屯王 新 敞新 疆2(0)v二、 讲授新课1问题：图 3.3-1（1） ，它表示跳水运动中高度 随时间h变化的函数 的图像，图 3.3-t 2()4.96.510htt1（2）表示高台跳水运动员的速度 随时间 变化的函数vt的图像().8vtt运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度 随h时间 的增加而
3、增加，即 是增函数相t()ht应地， ()0vth（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度 随时间 的增加而减少，即 是ht()ht减函数相应地， ()vt2函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系如图 3.3-3，导数表示函数 在点 处的切线的斜率0()fx()fx0,)y在 处， ，切线是“左下右上”式的，这时，函数 在 附近单0x0()fx ()fx0调递增；在 处， ，切线是“左上右下”式的，这时，函数 在 附近单1x0()fx ()fx1调递减结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增；(,)ab()0
4、fx()yfx如果 ，那么函数 在这个区间内单调递减)0fxy说明：（1）特别的，如果 ，那么函数 在这个区间内是常函数()fx()yfx3求解函数 单调区间的步骤：()yfx（1）确定函数 的定义域；（2）求导数 ；()yfx（3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间；0（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间()fx三典例分析例 1已知导函数 的下列信息：()f当 时， ；4x0x当 ，或 时， ；1()f当 ，或 时，xx试画出函数 图像的大致形状()yf解：当 时， ，可知 在此区间内单调递增；14x0x()yfx当 ，或 时， ；可知 在此区间内单调递减；()f当 ，或 时
5、， ，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点” xx综上，函数 图像的大致形状如图 3.3-4 所示()yf例 2判断下列函数的单调性，并求出单调区间（1） ； （2）3()fx2()3fx（3） ； （4）sin(0,)x41x解：（1）因为 ，所以，3()fx 22()310fx因此， 在 R 上单调递增，如图 3.3-5（1）所示3fx（2）因为 ，所以， 2()3fx()21fxx当 ，即 时，函数 单调递增；0f13f当 ，即 时，函数 单调递减；()x2()x函数 的图像如图 3.3-5（2）所示23fx（3）因为 ，所以，()sin(0,)()cos10fx因此，函数 在 单调递减
6、，如图 3.3-5（3）所示fx（4）因为 ，所以 32()41x当 ，即 时，函数 ；0fx2()fx当 ，即 时，函数 ；() 3函数 的图像如图 3.3-5（4）所示3241fxx注：（3） 、 （4）生练例 3如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度 与时间 的函数关系图像ht分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快反映在图像上， （A ）符合上述变化情况同理可知其它三种容器的情况解： 1,2,3,4BADC思考：例 3 表明，通过函数图像，不仅可以看
7、出函数的增减，还可以看出其变化的快慢结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭” ；反之，函数的图像就“平缓”一些如图 3.3-7 所示，函数 在 或 内的图像“陡峭” ，()yfx0,b,a在 或 内的图像“平缓” ,b,a例 4求证：函数 在区间 内是减函数321yxx2,1证明：因为 2666x当 即 时， ，所以函数 在区间,1xx0y321yx内是减函数2,说明：证明可导函数 在 内的单调性步骤：fx,ab（1）求导函数 ；（2）判断 在 内的符号；fx,（3）做出结论：
8、 为增函数， 为减函数00fx例 5已知函数 在区间 上是增函数，求实数23()4()fxaR1,的取值范围a解： ，因为 在区间 上是增函数，所以 对 2()4fxaxfx1,()0fx恒成立，即 对 恒成立，解之得：1,x0,1a所以实数 的取值范围为 1,说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则 ；若函数单调递减，则 ”来求解，()0fx()0fx注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解例 6已知函数 y=x+ ，试讨论出此函数的单调区间.1解：y=(x+ )=11x 2 =22)(令 0. 2)1(x解得 x1 或 x1.
9、y=x+ 的单调增区间是( ，1) 和(1，+).令 0，解得1x0 或 0x1.2)y=x+ 的单调减区间是( 1，0) 和(0，1) 奎 屯王 新 敞新 疆四、课堂练习：1确定下列函数的单调区间(1)y=x39x 2+24x (2)y=3xx 3(1)解：y=(x 39x 2+24x)=3x2 18x+24=3(x2)( x4)令 3(x 2)(x4)0，解得 x 4 或 x2.y=x 39x 2+24x 的单调增区间是 (4，+) 和( ，2)令 3(x 2)(x4)0，解得 2x 4.y=x 39x 2+24x 的单调减区间是 (2，4)(2)解：y=(3xx 3)=33x 2=3(x
10、 21)=3( x+1)(x1)令3(x +1)(x 1)0，解得1x1.y=3xx 3 的单调增区间是(1，1).令3(x +1)(x 1)0，解得 x1 或 x1.y=3xx 3 的单调减区间是(，1)和(1 ，+)2、设 是函数 的导数, 的)f)(fy)(fy图象如图所示, 则 的图象最有可能是( ) x小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？五、课堂小结 ： 1.函数导数与单调性的关系:若函数 y=f(x)在某个区间内可导,如果 f (x)0, 则 f(x)为增函数;如果 f (x)0, 则 f(x)为减函数.2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.六、课后作业： 课本 习题 3.3 A 组 1，2【思考题】对于函数 f(x)=2x36x 2+7思考 1、能不能画出该函数的草图？思考 2、 在区间（0，2）内有几个解？371确定下列函数的单调区间(1) (2)2yx3yx2.讨论二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的单调区间.3.用导数证明:(1) 在区间 内是增函数()xfe(,）(2) 在区间 内是增函数. ()xf(,0)
