1、2.5.1 等比数列的前 n 项和考点一：等比数列求和公式1、已知a n是首项为 1 的等比数列，S n是a n的前 n 项和，且 9S3S 6，则数列 的1an前 5 项和为( )A. 或 5 B. 或 5158 3116C. D.3116 158答案 C解析 由题知 q3 8，则 q2，S6 S3S3数列 是公比为 ，首项为 1 的等比数列，1an 12其前 5 项和 T5 ，故选 C.1(1 125)1 12 31162、在等比数列a n中，公比 q2，S 522，则 a1 的值等于 ( )A2 B1C1 D2解析 S 522，q2， 22，来源:学优高考网a11 251 2a 12.答
2、案 D考点二：等比数列前 n 项和的性质1、设a n是任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X、Y 、Z，则下列等式中恒成立的是( )AXZ2Y BY(YX)Z(ZX)CY 2 XZ DY(YX) X(ZX)答案 D解析 由题意知 SnX ，S 2nY，S 3nZ.又a n是等比数列，S n，S 2nS n，S 3nS 2n为等比数列，即 X，YX，ZY 为等比数列，(YX)2X (ZY) ，整理得 Y2XYZX X 2，即 Y(YX) X (ZX )故选 D.2、已知一个等比数列的首项为 1，项数是偶数，其奇数项和为 85，偶数项和为 170，则这个数列的公比
3、为_，项数为_答案 2 8解析 设该等比数列的公比为 q，项数为 2n，则有 S 偶 qS 奇 q 2，17085又 S2nS 偶 S 奇 85170，a11 q2n1 q2 2n1255，2n8.故这个数列的公比为 2，项数为 8.考点三：等比数列前 n 项和公式的实际应用1、从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业根据规划，本年度投入 800 万元，以后每年投入将比上年减少 ，本年度当地旅游业15收入估计 400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 .14(1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an万元，旅游业
4、总收入为 bn万元，写出表达式；(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？解析 (1)第一年投入为 800 万元，第二年投入为 800(1 )万元，第 n 年的投入为15800(1 )n1 万元15所以，n 年内的总投入为：a n800800(1 )800(1 )n1 4 0004 000( )15 15 45n(万元)；第一年旅游业收入为 400 万元，第二年旅游业收入为 400(1 )万元，14第 n 年旅游业收入为 400(1 )n1 万元14所以 n 年内的旅游业总收入为bn400400(1 )400(1 )n114 141 600( )n1 600( 万元)54来源:学优高考网
5、 gkstk(2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此 bna n0，即 1 600( )n1 6004 0004 000( )n0，54 45化简得 2( )n5( )n70，54 45设( )nx，代入上式得 5x27x20.45解此不等式，得 x1(舍去)，来源:学优高考网 gkstk25即( )n ，由此得 n5.45 25答：至少经过 5 年旅游业的总收入才能超过总投入2、国家计划在西部地区退耕还林 6 370 万亩，2004 年底西部已退耕还林的土地面积为515 万亩，以后每年退耕还林的面积按 12%递增(1)试问从 2004 年底，到哪一年底西部地区才能完成退耕还
6、林计划？(1.128 2.476,1.1272.211)( 精确到年 )(2)为支持退耕还林工作，国家财政从 2005 年起补助农民当年退耕地每亩 300 斤粮食，每斤粮食按 0.7 元折算，并且补助当年退耕地每亩 20 元试问：西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付多少亿元？( 精确到亿元)解析 设从 2004 年底起以后每年的退耕还林的土地依次为 a1，a 2，a 3，a n，万亩则(1)a1515(1 12%)，a 2515(112%) 2，a n515(112%) n，Sna 1a 2a n 6 3705155151 0.121 1.12n1 1.125151.12(1.12 n1)5
7、 8550.121.12 n2.22，n7.来源:gkstk.Com故到 2011 年底西部地区才能完成退耕还林计划(2)设财政补助费为 W 亿元则 W(300 0.720) (6 370515)10 4134.6(亿元)所以西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付 134.6 亿元.考点四：错位相减法求数列的前 n 项和1、求数列 ， ， 的前 n 项和123458 716 2n 12n解析 设 Sn ，12 322 523 2n 12n则 2Sn1 .32 522 2n 12n 1，得S n12( ) 12 12 122 123 12n 1 2n 12n121 12n 11 122n 12n12 12n 2 2n 12n3 ，2n 32nS n3 .2n 32n来源:gkstk.Com
