1、2.4 第 2 课时一、选择题1若 a(2,3)，b(4,7)，则 a 在 b 方向上的投影为( )A. B. 655 65C. D.135 13答案 A解析 cos ab|a|b| ，2( 4) 374 9 16 49 55a 在 b 方向上的投影|a|cos .22 3255 6552(08海南文)已知平面向量 a(1，3)，b(4 ，2)，ab 与 a 垂直，则 ( )A1 B1 C2 D2答案 A解析 a(1 ，3)，b(4，2)，ab(1 ，3) (4，2)(4，32)，ab 与 a 垂直，4( 3)( 32)0，1，故选 A.3(2010重庆南开中学)平面向量 a 与 b 的夹角为
2、 60，a(2,0)，|b|1，则 ab( )A. B1 12C. D.32 3答案 B解析 |a|2，ab|a|b|cos60 21 1.124已知ABC 中， a， b，ab|2ab | B|2 a|a2b| D|2b|a2b|答案 C解析 由已知( ab) 2b 2，即 2ab|a| 20.|2 a b|2|2a| 24ab| b|2 |b|22| a|2 符号不能确定，A、B 均不对|a 2 b|2|2b| 2| a|24ab|a |2 2|a|2 |a|20.故选 C.9设 A(a,1)、 B(2，b)、C(4,5)为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若 与 在 方OA OB OC 向
3、上的投影相同，则 a 与 b 满足的关系式为( )A4a5b3 B5a4b 3C4a5b14 D5a4 b14答案 A解析 据投影定义知， OA OC |OC |OB OC |OC | 0 0，OA OC OB OC BA OC 4(a2) 5(1b)04a5b3.10(08浙江)已知 a、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足(ac)(bc)0，则| c|的最大值是( )A1 B2 C. D.222答案 C解析 由(ac)(bc )0 得 ab( ab)cc 20，即 c2( ab)c，故|c|c| ab|c |，即|c|ab| ，故选 C.2二、填空题11已知 a(1,2)，
4、b(2,1)，则与 2ab 同方向的单位向量 e 为_答案 (45，35)解析 2ab2(1,2)( 2,1)(4,3)，同方向的单位向量 e .(4，3)42 32 (45，35)12(2010金华十校)ABO 三顶点坐标为 A(1,0)，B (0,2)，O(0,0)，P( x，y)是坐标平面内一点，满足 0， 0，则 的最小值为_AP OA BP OB OB AB 答案 3解析 (x 1，y)(1,0) x10，x 1，x1，AP OA (x， y2)(0,2)2(y2) 0，BP OB y2. (x， y)(1,2)2y x3.OP AB 13设向量 a，b，c 满足 abc0，(ab)
5、c，ab.若|a| 1，则|a| 2| b|2|c| 2 的值是_答案 4解析 abc 0，c ( ab)(ab) c，(ab)(ab)0.即|a |2 |b|20， | a|b| 1 ，ab，ab0，|c |2(ab) 2|a| 22ab b21012.|a |2 |b|2| c|24.三、解答题14已知向量 a(3,2)，b(2,1)，c(3，1) ，t R .(1)求|atb| 的最小值及相应的 t 值；(2)若 atb 与 c 共线，求实数 t.解析 (1)atb(2t3,2t)，|atb| 2(2 t3) 2(2t)25t 28t135 2 ，当 t 时，| atb|取得最小值 .(
6、t 45) 495 45 755(2)atb(32t,2t)，因为 at b 与 c 共线，所以 32t63t0，即 t .3515已知 (6,1)， (x，y )， (2，3) ，若 ， .AB BC CD BC DA AC BD (1)求 x、y 的值；(2)求四边形 ABCD 的面积解析 (1) (4x，y2)，AD AB BC CD ( 4x, 2y )，DA 由 得，x (2y) y(4 x)0BC DA (6 x，y 1)，AC AB BC (x2，y3)，BD BC CD 由 得，AC BD (6x)(x 2)(y 1)(y 3)0由解得 x2，y 1 或 x6，y3.(2)当
7、x2，y1 时， (8,0)， (0,4)，AC BD S 四边形 ABCD | | | 8416；12AC BD 12当 x6，y3 时， (0,4)， (8,0)，AC BD S 四边形 ABCD | | | 4816.12AC BD 1216已知 a( ，1)，b .3 (12，32)(1)求证：ab；(2)若存在不同时为 0 的实数 k 和 t，使 xa(t 3) b，ykatb，且 xy，试求函数关系式 kf( t)；(3)求函数 kf(t)的最小值解析 (1)由 ab 0，得 ab.32 32(2)由 xy 得，xya(t 3)b(katb)0，即ka 2k(t3)abtabt(t
8、3)b20.ka 2t(t3)b 20.k t(t3)14(3)k t(t3) 2 ，14 14(t 32) 916所以当 t 时，k 取最小值 .32 91617如图所示，已知ABC 中，A(2 ，1)，B(3,2)，C(3，1)，AD 是 BC 边上的高，求 及点 D 的坐标AD 解析 设点 D 的坐标为( x， y)，AD 是 BC 边上的高， ， 与 共线AD BC CD BC 又 ( x2，y 1) ， ( 6，3)AD BC (x3，y1)，CD Error! 即Error!解得Error!D 点坐标为(1,1) ， ( 1,2)AD 18已知 O 为平面直角坐标系的原点，设 (2,5)， (3,1) ， (6,3)在线段OA OB OC OC 上是否存在点 M，使 MAMB.若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由解析 设 t ，t0,1则 (6t,3t )，OM OC OM 即 M(6t,3t) (26t,53t)，MA OA OM (36t,13t)MB OB OM MAMB， (26t )(36t )(5 3t )(13t )0，MA MB 即 45t248t110，t 或 t .13 1115存在点 M，M 点的坐标为(2,1)或 .(225，115)高!考试题 库
