1、课时17 矩形、菱形、正方形思维导图核心考点矩形、菱形和正方形的性质和判定四边形项目 矩形 菱形 正方形性质边 对边平行且相等 对边平行且四边相等 对边平行且四边相等角 四个角都是直角 对角相等，邻角互补 四个角都是直角对角线 互相平分且相等互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角对称性 既是中心对称图形， 又是轴对称图形判定有一个角是直角的平行四边形；有三个角是直角的四边形；对角线相等的平行四边形有一组邻边相等的平行四边形；四条边都相等的四边形 ；来源:gkstk.Com对角线互相垂直的平行四边形有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形；有一组邻边
2、相等 (或对角线互相垂直 )的矩形；有一个角是直角 (或对角线相等 )的菱形；对角线相等且互相垂直的平行四边形中点四边形定义 顺次连结四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形常见结论任意四边形的中点四边形是_平行四边形_对角线相等的四边形的中点四边形是_菱形_对角线互相垂直的四边形的中点四边形是_矩形_对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边形是_正方形_1(2017襄阳中考)如图，AEBF，AC平分BAE，且交 BF于点C，BD平分ABF ，且交AE 于点D，连结CD.(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若ADB 30，BD6，求AD的长解：(1)AE BF，ADBCBD.又BD
3、平分ABF，ABDCBD，ABDADB，AB AD.同理可证ABBC.ADBC， 四边形ABCD是平行四边形又ABAD，四边形ABCD是菱形；(2)四边形ABCD是菱形，BD6，ACBD ，OD BD3，12 cos ADBcos30 ，ODAD 32AD3 2 .23 32(2017江西中考)如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD ，DA 上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是( D )A当E，F，G，H是各边中点，且ACBD时，四边形EFGH为菱形B当E，F，G，H是各边中点，且ACBD时，四边形E
4、FGH为矩形C当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH 可以为平行四边形D当E，F，G，H不是各边中点时 ，四边形EFGH 不可能为菱形,典题精析)【例1】(2017兰州中考)如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线 BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：BDF是等腰三角形；(2)如图，过点D作DGBE交BC于点G，连结FG 交BD于点 O.判断四边形BFDG的形状，并说明理由；若AB6，AD8，求FG 的长【解析】(1)根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断 ；(2)根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断； 根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解【答案】解
5、：(1)如图，根据折叠，DBCDBE.又ADBC， DBCADB，DBEADB，DF BF，BDF 是等腰三角形； 来源:学优高考网 gkstk(2)四边形BFDG是菱形理由如下：四边形ABCD是矩形，ADBC， FDBG.又DGBE，四边形BGDF是平行四边形又DFBF，四边形BGDF是菱形；AB6，AD8，BD10.OB BD5.12设DFBFx，则AFADDF8x.在直角ABF 中 ，AB 2AF 2BF 2，即6 2(8x) 2x 2，解得x ，即BF .254 254FO ，BF2 OB2（254）2 52 154FG2FO .152【例2】(2017青岛中考)已知：如图，在菱形AB
6、CD中，点 E，O，F分别是边AB，AC，AD的中点，连结CE，CF，OE，OF.(1)求证：BCEDCF ；(2)当AB 与BC满足什么条件时，四边形AEOF是正方形？请说明理由【解析】(1)利用SAS证明BCEDCF ；(2)先证明四边形AEOF为菱形，当BCAB，得BAD90，再利用知识点：有一个角是90的菱形是正方形【答案】解：(1)四边形ABCD为菱形，ABBCCDDA，BD.又E，F分别是AB，AD中点，BEDF，BCE DCF(SAS) ；(2)当AB BC时，四边形AEOF为正方形理由如下：点E，O分别是 AB，AC 中点，EOBC.又BCAD， OEAD，即OEAF.同理可证
7、OFAE，四边形AEOF为平行四边形由(1)可得AE AF，平行四边形AEOF 为菱形BCAB ，OEBC，OEAB，AEO 90 ，菱形AEOF为正方形【命题规律】特殊平行四边形是中考的重点内容之一，常以选择题、填空题、计算题、证明题的形式出现1直接考查特殊平行四边形的定义、性质和判定2以特殊平行四边形为背景，常和折叠、平移、旋转问题相结合,跟踪训练)1(2017山西中考)如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到BCD，CD与AB交于点E.若135，则2的度数为( A )A20 B 30 C35 D55(第1题图)(第2题图)2(2017枣庄中考)如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐
8、标为(3，4) ，顶点C 在x轴的负半轴上，函数y (x0) 的图象经过顶点B ，则k的值为( C ) 来源:学优高考网kxA12 B 27 C32 D363(2017长沙中考)如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合(H不与端点C，D重合) ，折痕交AD于点E，交BC 于点F，边AB折叠后与边BC交于点G，设正方形ABCD的周长为m，CHG的周长为n，则 的nm值为( B )A. B.22 12C. D随H点位置的变化而变化5 12(第3题图)(第4题图)4(2017威海中考)如图，在ABCD中，DAB的平分线交 CD于点E，交BC 的延长线于点G ，ABC 的平分线交CD
9、 于点F， 交AD的延长线于点 H，AG与BH交于点O，连结BE.下列结论错误的是( D )ABOOH BDFCECDHCG DAB AE5(2017东营中考)如图，在正方形ABCD中，BPC是等边三角形，BP ，CP的延长线分别交AD于点 E，F， 连结BD ，DP ，BD与 CF相交于点H ，给出下列结论：BE2AE；DFPBPH；PFDPDB； DP2PHPC.其中正确的是( C )A BC D6(2017潍坊中考)点A，C为半径是3的圆周上两点，点B为 的中点，以线段BA，BC为邻边作菱形ABCDAC ，顶点D恰在该圆直径的三等分点上 ，则该菱形的边长为 ( D )A. 或2 B. 或
10、25 2 5 3C. 或2 D. 或26 2 6 37(2017菏泽中考)菱形ABCD中，A60，其周长为24 cm，则菱形的面积为_18 _cm2.38(2017黄冈中考)已知：如图，在正方形ABCD的外侧， 作等边三角形ADE，则BED_45_(第8题图)(第9题图)9(2017枣庄中考)如图，在矩形ABCD中，B的角平分线BE与AD交于点E ，BED的角平分线EF 与DC交于点F，若AB 9 ，DF2FC， 则BC_6 3_(结果保留根号 )210(2017自贡中考)如图，点E，F分别在菱形ABCD的边 DC，DA上，且CEAF.求证：ABF CBE.证明：四边形ABCD是菱形，ABBC
11、，AC.在ABF 和 CBE中， AF CE， A C，AB CB， )ABF CBE(SAS)，ABF CBE.11如图，ABC中，点O是边AC上一个动点，过O 作直线 MNBC ，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F.(1)探究线段OE与OF 的数量关系，并加以证明；(2)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若会，请证明；若不会，请说明理由；(3)当点O运动到何处 ，且ABC满足什么条件时，四边形 AECF是正方形？解：(1)OE OF.其证明如下：CE是ACB的平分线，BCE ACE.MNBC，BCE CEF.ACECEF.OE OC.同理可证OCOF.
12、OEOF ；(2)四边形BCFE不可能是菱形若BCFE 为菱形 ，则BF EC.而由(1)可知FCEC，在平面内过同一点 F不可能有两条直线同垂直于一条直线；(3)当点O运动到 AC中点时，OEOF，OAOC.由(1)可得FCE90，则四边形AECF为矩形要使AECF为正方形，必须使EFAC.EFBC， ACBC，ABC是以ACB 为直角的直角三角形，当点O为AC中点且ABC是以ACB为直角的三角形时，四边形AECF是正方形12如图，已知E，F，G，H分别为菱形ABCD四边的中点 ，AB6 cm ，ABC60.(1)试判断四边形EFGH 的类型，并证明你的结论；(2)求四边形EFGH的面积解：
13、(1)四边形EFGH 是矩形连结AC，BD ，相交于点O.E，F ，G，H分别是菱形四边上的中点，EH BDFG，EHBDFG，12四边形EHGF是平行四边形菱形ABCD中，AC BD，EFEH，四边形EFGH是矩形；(2)四边形ABCD是菱形， ABC60，ABO30.ACBD ，AOB90，AO AB3 cm ，AC6 cm .12在Rt AOB中，由勾股定理得OB 3 cm，AB2 OA2 3BD6 cm.3EH BD，EF AC，12 12EH3 cm，EF 3 cm，3矩形EFGH的面积EFFG9 cm2.313(2017毕节中考)如图，在ABCD中过点A作AE DC，垂足为E，连结
14、BE，F为BE 上一点，且AFED.(1)求证：ABFBEC；(2)若AD5，AB 8，sinD ，求AF 的长45解：(1)四边形ABCD 是平行四边形 ，ABCD ，ADBC，DC180，ABFBEC，AFB AFE180，来源:学优高考网CAFB，ABF BEC；(2)AE DC ， ABDC，AED BAE 90.在Rt ADE中，AE ADsinD5 4.45在Rt ABE中，根据勾股定理得：BE 4 .AE2 AB2 42 82 5BCAD5 ，由(1)得：ABFBEC， ，即 ，AFBC ABBE AF5 845解得AF2 .5来源:学优高考网14(2017杭州中考)如图，在正方
15、形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE DC于点E，GF BC于点F，连结AG.(1)写出线段AG，GE，GF 长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1 ，AGF105，求线段BG的长解：(1)结论：AG 2GE 2GF 2.理由：连结CG.四边形ABCD是正方形，A，C关于对角线BD对称点G在BD上，GAGC.GEDC于点E，GFBC 于点F ，GECECF CFG90，四边形EGFC是矩形，CFGE.在Rt GFC中，CG 2GF 2 CF2，AG 2GF 2GE 2；(2)作BN AG于 N，在BN上截取一点M，使得AMBM.设ANx.AGF 105 ，FBGFGBABG45，AGB60，GBN30，ABMMAB15，AMN30，AMBM2x，MN x.3在Rt ABN中，AB 2AN 2BN 2，1x 2(2x x)2，3解得x ，BN ，6 24 6 24BG .BNcos3032 66请 完 成 精 练 A本 第 18页 作 业
