1、20141122 九年级数学竞赛1如图，ABC 是等边三角形， O 过点 B，C ，且与 BA，CA 的延长线分别交于点D，E弦 DFAC，EF 的延长线交 BC 的延长线于点 G（1）求证：BEF 是等边三角形；（2）若O 的半径为 2，求BEF 的面积（3）若 BA=4，CG=2 ，求 BF 的长2 （2013 东城区一模）设 A 是由 n 个有序实数构成的一个数组，记作：A=（a 1，a 2， ，a i，a n） 其中 ai（i=1，2，n）称为数组 A 的“元”，S 称为 A 的下标如果数组 S 中的每个“元”都是来自 数组 A 中不同下标的 “元” ，则称A=（a 1，a 2， ，a
2、 n）为 B=（b 1，b 2，b n）的子数组定义两个数组A=（a 1，a 2， ，a n） ，B= （b 1，b 2，b n）的关系数为 C（A，B）=a1b1+a2b2+anbn（）若 ，B=（ 1，1，2，3） ，设 S 是 B 的含有两个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值； 来源:gkstk.Com（）若 ，B=（0，a，b，c ） ，且 a2+b2+c2=1，S 为 B 的含有三个“元”的子数组，求 C（A，S）的最大值；3如图所示，正五边形 ABCDE 的每个顶点对应着一个整数，且这五个整数的和为正数若其 3 个相邻顶点对应的整数依次为 x、y、z，且 y0，则要进行如下的操
3、作：把整数 x、y、z 分别换为 x+y，y ，z+y，称其为一次“ 求正”操作只要五个整数中有负整数，“求正”操作就要继续进行（）若 A，B，C，D，E 对应的数分别为 3，2， 2，4 ，1，写出每一步“求正” 操作直到终止；（）若 A，B，C，D，E 对应的数分别为 a，4，5，1 ，2，并且经过两次“求正”操作后终止，求实数 a 的值；（）判断对任意满足条件的数组， “求正”操作是否经过有限次后就一定能终止？说明理由4 （2012海淀区二模）将一个正整数 n 表示为 a1+a2+ap（pN*）的形式，其中aiN*，i=1，2，p，且 a1a 2a p，记所有这样的表示法的种数为 f（n
4、） （如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故 f（4）=5） （）写出 f（3） ，f（5）的值，并说明理由；（）对任意正整数 n，比较 f（n+1）与 的大小，并给出证明；（）当正整数 n6 时，求证：f（n）4n135 （2010青浦区二模）定义：如果数列a n的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称a n为“三角形”数列对于“三角形”数列a n，如果函数 y=f（x）使得bn=f（a n）仍为一个“三角形”数列，则称 y=f（x）是数列a n的“保三角形函数” ，（nN ） （1）已知a n是首项为 2，公差为 1 的等差数列，若 f（x）=k x
5、， （k1）是数列a n的“保三角形函数” ，求 k 的取值范围；（2）已知数列c n的首项为 2010，S n是数列c n的前 n 项和，且满足 4Sn+13S n=8040，证明c n是“三角形”数列；（3）根据“保三角形函数”的定义，对函数 h（x）=x 2+2x，x1，A，和数列1，1+d，1+2d， （d0）提出一个正确的命题，并说明理由来源:gkstk.Com6如图，在 y 轴的正半轴上依次有点 A1，A 2，A n，其中点 A1（0，1） ，A2（0，10） ，且|A n1An|=3|AnAn+1|（n=2，3，4，） ，在射线 y=x（x0）上依次有点B1，B 2，B n，点
6、B1 的坐标为（3，3） ，且（n=2，3，4，）（1）用含 n 的式子表示|A nAn+1|；（2）用含 n 的式子表示 An， Bn 的坐标；（3）求四边形 AnAn+1Bn+1Bn 面积的最大值来源:学优高考网 gkstk7 （2011 西城区一模）将 1，2，3，n 这 n 个数随机排成一列，得到的一列数a1，a 2，a n 称为 1，2，3 ，n 的一个排列；定义 （a 1，a 2，a n）=|a1a2|+|a2a3|+|an1an|为排列 a1，a 2，a n 的波动强度（）当 n=3 时，写出排列 a1，a 2，a 3 的所有可能情况及所对应的波动强度；（）当 n=10 时，求 （a 1，a 2，a 10）的最大值，并指出所对应的一个排列；来源:学优高考网 gkstk（）当 n=10 时，在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整，若要求每次调整时波动强度不增加，问对任意排列 a1，a 2，a 10，是否一定可以经过有限次调整使其波动强度降为 9；若可以，给出调整方案，若不可以，请给出反例并加以说明来源:学优高考网 gkstk
