1、2.5 二次函数与一元二次方程一、选择题1如图 2128 所示的是二次函数 yax 2bxc 的图象，则一次函数 y=axb 的图象不经过 ( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限2在二次函数 yax 2bxc 中，若 a 与 c 异号，则其图象与 x 轴的交点个数为 ( )A2 个 B1 个C0 个 D不能确定3根据下列表格的对应值：x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2bxc 0.06 0.02 0.03 0.09判断方程 ax2bxc=0(a0，a，b，c 为常数) 的一个解 x 的取值范围是 ( )A3x3.23 B323x3.24C3.24x3.25 D3.25x
2、3.264函数 cbay2的图象如图 l230，那么关于 x 的方程20xc的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个异号实数根C有两个相等实数根 D无实数根5二次函数 cbxay2的图象如图 l231 所示，则下列结论成立的是（ ）Aa0，bc0，0 B.a0，bc0，0Ca0， bc0，0 D.a0，bc0，06函数 cbxy2的图象如图 l232 所示，则下列结论错误的是（ ）Aa0 Bb 24ac0C、 2xc的两根之和为负D、 20axbc的两根之积为正7.不论 m 为何实数，抛物线 y=x2mx m2（ ）A在 x 轴上方 B与 x 轴只有一个交点C与 x 轴有两个交点 D
3、在 x 轴下方二、填空题8已知二次函数 yx 22xm 的部分图象如图 2129 所示，则关于 x 的一元二次方程x 22xm0 的解为 9若抛物线 y=kx22xl 与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围是 10若二次函数 yax 2bxc(a0)的图象与 x 轴只有一个交点，则这个交点的坐标是 .11已知函数 y=kx27x7 的图象和 x 轴有交点，则 k 的取值范围是 12直线 y=3x3 与抛物线 y=x2 x+1 的交点的个数是 .三、解答题13.已知二次函数 y=-x2+4x-3,其图象与 y 轴交于点 B,与 x 轴交于 A, C 两点. 求 ABC 的周长和面积.14在体育
4、测试时,初三的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图),若这个男生出手处 A 点的坐标为(0,2), 铅球路线的最高处 B 点的坐标为B(6,5).(1)求这个二次函数的表达式;B(6,5)A(0,2)14121086420246xCy(2)该男生把铅球推出去多远?(精确到 0.01 米).15.如图,已知抛物线 y=-x2+bx+c 与 x 轴的两个交点分别为 A(x1,0),B(x2,0) , 且 x1+x2=4, 123x.(1)求抛物线的代数表达式;(2)设抛物线与 y 轴交于 C 点,求直线 BC 的表达式;(3)求ABC 的面积.16如果一个二次函
5、数的图象经过点 A(6，10) ，与 x 轴交于 B，C 两点，点 B，C 的横坐标分别为 x1，x 2，且 x1x 26，x 1x25，求这个二次函数的解析式17已知关于 x 的方程 x2(2m1)xm 220 有两个不相等的实数根，试判断直线y(2m 3)x 4m7 能否经过点 A(2，4) ，并说明理由B xOCyA19二次函数 y=ax2bxc(a0)的图象如图 2130 所示，根据图象解答下列问题(1)写出方程 ax2bxc0 的两个根；(2)写出不等式 ax2bxc0 的解集；(3)写出 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围；(4)若方程 ax2bxck 有两个不相等的
6、实数根，求 k 的取值范围20如图 2131 所示，已知抛物线 P：yax 2bxc(a 0)与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在 x 轴的正半轴上)，与 y 轴交于点 C，矩形 DEFG 的一条边 DE 在线段 AB 上，顶点 F，G 分别在线段 BC，AC 上，抛物线 P 上的部分点的横坐标对应的纵坐标如下 .x 3 2 1 2 y 54 50 (1)求 A， B，C 三点的坐标；(2)若点 D 的坐标为(m， 0)，矩形 DEFG 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系式，并指出 m 的取值范围；(3)当矩形 DEFG 的面积 S 最大时，连接 DF 并延长至点 M，使 FMkDF
7、，若点 M不在抛物线 P 上，求 k 的取值范围；(4)若点 D 的坐标为 (1，0)，求矩形 DEFG 的面积参考答案1B提示：a0， 2ba0，b0 2A 3C 4.C5.D6.D7.C8x 1l，x 23提示：由图象可知，抛物线的对称轴为 x=l，与 x 轴的交点是(3，0)，根据对称性可知抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为(l，0) ，所以一元二次方程x 22xm0 的解为 x1 1，x 23故填 x1l ， x23 9k1，且 k0提示：若抛物线与 x 轴有两个交点，则( 2) 24k0 10( 2ba，0) 11.略 12.113.令 x=0,得 y=-3,故 B 点坐标为(0,
8、-3).解方程-x 2+4x-3=0,得 x1=1,x2=3.故 A、C 两点的坐标为(1,0),(3,0).所以 AC=3-1=2,AB= 230,BC= 23, OB=-3=3.来% 源:中教网#*CABC=AB+BC+AC= 1.SABC= 12ACOB= 23=3.14.(1)设 y=a(x-6)2+5,则由 A(0,2),得 2=a(0-6)2+5,得 a= 1.故 y= 1(x-6)2+5.(2)由 (x-6)2+5=0,得 x1= 265,615x.结合图象可知:C 点坐标为 ( ,0)故 OC= 621513.75(米)即该男生把铅球推出约 13.75 米15(1)解方程组12
9、43x, 得 x1=1,x2=3故210bc,解这个方程组,得 b=4,c=-3.所以,该抛物线的代数表达式为 y=-x2+4x-3.(2)设直线 BC 的表达式为 y=kx+m.由(1)得,当 x=0 时,y=-3,故 C 点坐标为(0,-3).所以 30mk, 解得 13k直线 BC 的代数表达式为 y=x-3(3)由于 AB=3-1=2, OC=-3=3.故 SABC= 12ABOC= 23=3.16解：设函数为 yax 2bxc(a0)，将 A(6，10) 代入，得 1036a6bc，当y0 时，ax 2 bxc=0 ，又 x1x 2 ba=6，x 1x2 ca5，由解得a=2， b1
10、2，c 10所以解析式为 y2x 212x10 17解：该直线不经过点 A理由如下： 方程 x2(2m 1)x m 220 有两个不相等的实数根，=(2m1) 24(m 22)=4m70，2m 70，2m 30又由4m70，得4m70，直线 y=(2m3)x4m 7 经过第一、三、四象限，而A(2， 4)在第二象限， 该直线不经过点 A. 18解：(1)由二次函数 y=ax2bxc(a0) 的图象可知，抛物线与 x 轴交于(1 ，0)，B(3，0) 两点，即 x1 或 x 3 是方程 ax2bxc0 的两个根 (2)不等式 ax2bxc0 的解集，即是求 y0 的解集，由图象可知 lx3 (3
11、)因为 a0，故在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而减小，即当 x2 时，y 随 x 的增大而减小 (4)由图可知，2,4,3,baca解得2,86.abc代入方程得 2x28x6kO又因为方程有两个不相等的实数根，所以0，即 824( 2)(6k)0，解得 k2 19解法 l：(1)任取 x，y 的三组值代入 y=ax2bxc(a 0)，求出解析式为y 12x2x4令 y0，得 x14，x 22；令 x0，得 y=4，A，B，C 三点的坐标分别为 A(2， 0)，B(4，0)，C(0，4) 解法 2：(1)由抛物线 P 过点(1， 5)，( 3， 5)可知，抛物线 P 的对称轴为x1又抛物线
12、 P 过(2， 0)，(2，4) ，则由抛物线的对称性可知，点 A，B，C 的坐标分别为 A(2，0) ，B(4， 0)，C(0，4) (2)由题意，知 DGO，而AO=2， OC=4，AD=2m，故 DG=42m又 BEFOC，EF=DG，得BE=42m，DE3m，S 矩形 DEFGDGDE(4 2m)3m=12m 6m 2(0m 2) (3)S 矩形 DEFG=12m6m 2(0 m2) ，m=1 时，矩形的面积最大，且最大面积是 6当矩形面积最大时，其顶点为 D(1，0) ，G(1，2)，F( 2，2) ，E(2，0)设直线 DF 的解析式为 ykxb，易知 k 3，b .y= 3x .又抛物线 P 的解析式为y 12x2x4令 x 2= 1x2x4，解得 x 16.如图 2132 所示，设射线DF 与抛物线 P 相交于点 N，则 N 点的横坐标为 3过 N 作 x 轴的垂线交 x 轴于H，得1625139FED.点 M 不在抛物线 P 上，即点 M 不与 N重合，此时 k 的取值范围是 k 且 k0 (4)由(3)知 S 矩形 DEFG6
