1、单元 4（8）二次函数与一元二次方程典型例题分析例 1利用二次函数的图象求一元二次方程- 的近似解。238x点拨 由于 的函数值为 时，对应点的横坐标即为一元二次方程2y的解，故可通过作出函数图象来估算方程的近似解。238x解：在平面直角坐标系内作出函数 的图象，如图所示23yx由图象可知方程 的根是抛物线 与直线 的交点。左边的交238x2yx8y点横坐标在 与 之间，另一个交点的横坐标在 3与 4之间。1（1）先求交点横坐标在 与 之间的根，用计算器进行探索。12x1.31.41.5y646847297682因此， 是方程 的一个近似解。.23x（2）另一个解也可类似地求出。x3.13.4
2、3.5y64687297682因此， 是方程 的另一个近似解。.23x故一元二次方程 的解为 。12.4,3.x现在我们用求根公式来验证一下。对于方程 整理得 。238x250.40416123.9.,.9.xx因而利用图象法求得方程 的近似解 是完全正确的.38x12.4,3x例 2已知函数 243.yx(1)该函数图象与 轴有几个交点?请作图予以验证;(2)试说明一元二次方程 的根与函数 的图象的关系,并将方程的根在2243yx图象上表示出来;(3)试问当 为何值时,函数 的值为 15?xy点拨(1)可通过解方程,求出方程的解,即可知道图象与 轴有几个交点;(2)方程 的根可以看作是函数
3、的值为 2时 的值,此时可依据图象来243243yxx确定方程的解;(3)要使函数 的值为 15,即是确定 的解,这时既可观察图象估算出y15的值,也可直接解方程确定相应 的值.xx解 ： (1) 241624430, .x即方程有两个实数解.123,函数 与 轴必交于两点,且两点的横坐标为 1和 3,如图所示.43yxx(2)由图可知,一元二次方程 的解恰是函数 的函数值 时对应243243yx2y图象上点的横坐标,此时方程的解为 和 , 在 轴上xab的对应点如图所示;（3）利用 得24315x.2410x解得 2,6x即当 或 时,函数 的值为 15.243yx例 3已知抛物线 与 轴有
4、 A,B两个交点,且 A,B关于 轴对称.1()mxy(1)求 的值;m(2)写出抛物线的解析式及顶点坐标;(3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.点拨:对于抛物线 给出了两个条件(1)抛物线与 轴有两个交点;221(6)3yxxx(2)两交点关于 轴对称,对于条件(1),由于二次项系数为负( ),所以抛物线开口向下.抛物线与12轴有两个交点意味着其顶点在 轴上方，即顶点纵坐标大于零；这两交点关于 轴对称，意味着 x y抛物线的对称轴为 轴，即顶点横坐标为零，由此，可以确定 的值。y m解：（1）设 A（ ，0） ，B（ ，0） ，1x2x因为 A，B 关于 轴对称
5、，所以y即12,0.x0bac2(6)0,13m由（1）得 代入（2）验证 不全合题意，6,m.（2）把 代入解析式： 顶点坐标为 。213,yx,3o（3）方程 两个不等实根互为相反数或两个不等实根之和为221(6)0xm零。基础训练一、选择题（本大题共 5小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将此项的标号填在括号内）1抛物线 的图象和 轴有交点，则 K的取值范围是 （ ）27ykxxA B 且 C D 且440k74k74k02.二次函数 的图象与 轴的两个交点的坐标分别为 （ ）23yxxA （0，0） ， （0，3） B （0，0） ， （3，0）C （0，0） ，
6、（-3，0） D （0，0） ， （0，3）3已知一元二次方程 有两实数根，则 a的取值范围是 （ ）2xaA B C D 1a13a1134某儿童从 10m高的建筑物窗口 A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状，抛物线所在的平面与墙面垂直，如图，如果抛物线的最高点 M离墙 1m，离地面 m，则水流落地点403B离墙的距离 OB是 （ ）A 2m B 3m C 4m D5m5二次函数 y=x2-4x+3的图像交 x轴于 A、B 亮点，交 y轴于点 C，则 的面积为（ AB）A. 6 B. 4 C. 3 D. 1二、填空题（本大题共 5小题，请把正确答案填在题中的横线上）6. 若抛物线 ，与
7、轴有两个交点，则整数 的最小值是22()yxkxxk7 某一元二次方程的两个根分别为 ， ，请写出一个经过点（-2，0） ，125（5，0）两点，二次函数的表达式 （写出一个符合要求的即可）8 已知二次函数 的图象如图所示，由抛物线的特征你能得到含有2(0)yaxbca，b，c 三个字母的等式或不等式为 （写出一个即可）9 抛物线 与 轴的一个交点坐标为（3，0） ，则它与 轴的另一个交点坐2m x标为10。抛物线 与 轴交于 A 、B 两点，顶点 C，则 的面积为。2yxxAB三、解答题（本大题共 5小题，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）11. 求下列二次函数的图象与 轴交点的坐标，并作
8、草图验证。（1） （2）23yx234yx12已知抛物线 与 轴只有一个交点，且交点坐标为 A（2，0）2yxbcx（1） 求 b，c 的值（2） 若抛物线与 轴的交点为 B，坐标原点为 O，求 的周长（答案可带根号）B13已知二次函数 的图象的顶点坐标是 C（1，4） ，且与 轴的交点的坐2yaxbcy标为（0，3）a) 求这个二次函数的表达式b) 若这个二次函数与 轴的交点是 A，B，求出 A，B 两点的坐标并求出以 A，B，C 为顶点的 的面积。ABC14某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为 7m，当球出手后水平距离为 4m时到
9、达最大高度 4m，设篮920球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面 3m。（1）建立如图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲前面 1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 3.1m，那么他能否获得成功？ 15已知抛物线的解析式为 22(1)yxmx（1（ 试说明此抛物线与 轴必有两个不同的交点。（2（ 若此抛物线与直线 的一个交点在 轴上，求 m的值。34y能力提高一、选择题（本大题共 5小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将此项的标号填在括号内）1 抛物线 与 轴有公共点，那么 的取值范围是 （ ）246yxkxkA B. C. D.9k942 已知
10、抛物线过 A 和 B 两点，与 轴交于 C，且 ，则这条抛物线(1,0)(3,)yB32的解析式为 （ ）A B 23.yx 2.yxC. 或 D. 或23yx323yx3.如图,铅球运动员掷铅球的高度 与水平距离 之间的函数关系式是()m()x,则该运动员此次掷铅球的成绩是 ( )2153yxA. B. C D.6m80124.已知抛物线式 如图所示,则关于 的方程 的根的情yabxcx280abxc况是 ( )A.有两个不相等的正实数根 B.有两个异号实数根C.有两个相等的实数根 D.没有实数根二、填空题（本大题共 5小题，请把正确答案填在题中的横线上）5抛物线 与 轴的两个交点的坐标是
11、213yxx6 （2006 广东）抛物线 与 轴的一个交点为 ，则这个抛物线的顶26ycx(10)，点坐标是 7抛物线 与 轴两个交点分别为 和 则当 时, 值为 25yax(,0)m,nxmny8已知二次函数 的顶点坐标 ,由图象可知关于 的一元二()bxca12)x次方程 的两根分别是 和 20axbc1.3x2三、解答题（本大题共 5小题，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）9. 抛物线 经过 两点,其顶点的纵坐标是 3，求这个抛物线的2yx(,0)解析式.10已知抛物线 与 轴相交于 A.B两点(A 点在 B点的左侧),顶点为 P243yxx(1)求 A.B.P三点坐标(2)在直角坐标
12、系内画出此抛物线的简图,并根据简图,写出当 取何值时,函数值 大xy于零(3)确定此抛物线与直线 公共点的个数并说明理由。26yx11已知抛物线 2153yx（1（ 求抛物线与 轴交点的坐标。（2（ 若将此抛物线进行平移,使它通过原点,并且在 轴上所截得线段的长为 4,应作怎样的x平移?求出平移后的抛物线所表示的函数的解析式.答案与提示基础训练一、选择题：B B A B C二、填空题：6。 2；7。开放性题答案不惟一，如 2310yx8开放性，如：a+b+c0；9。 （-1，0） ；10。 8三、解答题：（本大题共 5小题，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）11. （作图略） （1）与 轴交
13、点（ ，0） ；（ ，0）x32929（2） 轴交点（ ，0） ， （6，0）x412 （1）解：由题意得：点 A（2，0）是抛物线的顶点，4bc（2） 6513 （1） 23yx（2） (3,0)1,8ABSAC14解：（1）有题意可知，抛物线经过（0， ） ，顶点坐标是（4，4） 设抛物线的解920析式是 ，解得 ，所以抛物线的解析式是 ；42xay1a4912xy篮圈的坐标是（7，3） ，只要这个点在抛物线上，球就能够投中代入解析式得，所以能够投中 （2）能够盖帽拦截成功（能否获得成功就要看21391m处的纵坐标是多少，大于 3.1就不能成功。 ）当 时， ，3m3.1m,所以能1x3y
14、够盖帽拦截成功15解：（1）理由：当 时0y22()0xm2414bac210此抛物线与 轴必有两个不同的交点。x（2） ，由题意得：当 时 值相等y2340m解得： 125,15m能力提高一、选择题：1. A 2.D 3. C 4.D二、填空题：5. 6. (2,0)3,325，7.5 8.-3.3三、解答题：9. 提示:可先由过(0,0),(12,0)确定对称轴直线 21yx 6x10.(1) A ， B ， P(,0)(3,)(2,1)(2) 图略, 时1x0y(3)一个,理由：2436yx2126903x公共点个数为 1个。11. （1） （1，0） ， （5，0）（2）向左平移 1个单位 或向右平移 5个单位21()yx21()yx提示：因为抛物线与 轴交点的坐标为（1，0） ， （5，0） 。所以它在 轴上所截得线段的x长为 4，因此抛物线只能进行左右平移，向左平移 1个单位，或是向左平移 5个单位都会过原点。
