1、数学必修 4 编号_19_ 时间 _ 班级_ 组别_ 姓名_【学习目标】1.从物理中的物体受力做功，理解向量数量积的概念，并了解向量数量积得几何概念。2. 能够运用向量数量积的概念求两个向量的数量积，探究并掌握向量数量积的重要性质，并能根据条件逆用等式求向量的夹角。【重点、难点】重点： 向量数量积的概念及几何意义难点： 向量数量积的运算律的证明自主学习案【知识梳理】 （或问题导学、课前预习等）1. 向 量 数 量 积 得 概 念 及 其 几 何 意 义（ 1） 向 量 数 量 积 的 概 念 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 与 共 线 ， 它 们 的 夹 角 为 ， 把 ab叫 做 与 的
2、 数 量 积 （ 或 内 积 ） ， 记 作 ： ， 即 ： 。ab规 定 与 任 一 向 量 的 数 量 积 为 ， 即 ： 。0（ 2） “投 影 ”的 概 念 ： 把 或 （ ） 叫 做 向 量 在 方 向 上ab（ 在 方 向 上 ） 的 投 影 。 如 图 ， 过 点 B 作 垂 直 于 直 线ba ,bOaA1OA， 垂 足 为 ，则 。1Bcos|1bO投影是一个 ， 不 是 向 量 ； 当 为锐角时，它是 ； 当 为钝角时，它是 ； 当 时，它是 ； 当 时，它是 ； 当o90o0时，它是 。o180（ 3） 几 何 意 义 ： 数 量 积 等于 的长度与 在 方向上的投影 的
3、 ababcos|a。（ 4） 物 理 意 义 ： 力 做 的 功 是 力 与 位 移 的 。2 数量积随 变化而变化的规律（ ， 为非零向量）（1）当 则 （2）当 则 o0ab )90,(oab（3）当 则 （4）当 则 o90ab )180,9(oab（5）当 则 183已 知 两 个 非 零 向 量 与 共 线 ， 它 们 的 夹 角 为 ， cs4 = ， = 2aa5向量数量积的运算律交换律 结合律 分配律 除法运算Rba、ab=ba a（bc）=（ab）c a（b+c）=ab+acab=k 且b 0， ka向量 、 【预习自测】1 已知 =6， =2,且 与 的夹角为 则 = 。
4、ababo60ab2. 已 知 两 个 非 零 向 量 与 ， =6，且 与 的夹角为 ，则 在 方 向o60ab上 的 投 影 为 。3在 中，a=5，b=8，C= ，求 = ABCo60CAB【我的疑问】合作探究案例 1 已知 =5， =4, 与 的夹角为 ，求 （ 1） （2）ababo03a)(b32( 例 2. 已知 =2， =1，且 与 的夹角为 ，那么向量 。 ababo012|b4a| 例 3. 若 =1， =2，且 与 的夹角为 ，且 ，ababo60)ba(m)5a(3 求 m 的值。例 4. 已知 =4， =3 ， ，ab61)ba(23( 求 与 的夹角 ； 求b|a2
5、|【当堂检测】1. 已知 =1， =3,= ，则( + ) = ; = ababo45ab2 2ba2已知 =.8， =10, + = ，则 与 的夹角为 13 已知 =2， =4,且 =-4，则向量 与 的夹角为 。ababab课后练习案1 （1）若 a、b、c 为实数，且 ab=ac，则 （2）若 为向量且， ，则 , c2已知 =6， =4,= ，则 = abo60)3()2(ba3.已知 =5， =6, 与 的夹角为 ， = ab3 = = )2(34. 已知 =1， = ，且 与 垂直，求 与 的夹角。baab5. 已知 =2， =5 ， ，求（1） （2）ab3ba|ba| |ba| 6若 是夹角为 的单位向量，则 ，求 与 的夹21e,60 2121e-3b,eaab角。导学案 19 参考答案例 4（2） 73当堂检测（1） 10+3 8 （2） 120 （3）1202课后练习 1 a(bc)=0 ( )=0 a b c(2) 72(3) 15 25 191+15 3 3 61 30 3(4) 120（5） 23 35（6） =7/5，| |= ,| |= ，cos= ，所以夹角 120 a b a 7 b 7 12
