1、疑难分析1当一次试验中，可能出现的结果是有限个，并且各种结果发生的可能性相等时，可以用被关注的结果在全部试验结果中所占的比分析出事件中该结果发生的概率，此时可采用列举法2列举法就是把要数的对象一一列举出来分析求解的方法但有时一一列举出的情况数目很大，此时需要考虑如何去排除不合理的情况，尽可能减少列举的问题可能解的数目. 3利用列举法求概率的关键在于正确列举出试验结果的各种可能性，而列举的方法通常有直接分类列举、列表、画树形图等.4通常，计数方法可分为分类计数和分步计数，需分别用到下列两个计数原理：加法原理：完成一件工作有 n 类方法，其中，第 i 类方法中有 mi种方法（ i=1,2,3,n）
2、，那么，完成这件工作共有 m1+m2+mn种方法乘法原理：完成一件工作共有 n 个步骤，其中，完成第 i 步有 mi种方法（ i=1,2,3,n），那么，完成这件工作共有 m1m2mn种方法例题选讲例 1用重量分别为 1 克、2 克、4 克、8 克、16 克的五个砝码和一架天平可一次称出的不同重量有多少种？ 解答：1、2、4、8、16、1+2、1+4、1+8、1+16、2+4、2+8、2+16、 4+8、4+16、8+16、1+2+4、1+2+8、1+2+16、1+4+8、1+4+16、1+8+16、2+4+8、2+4+16、2+8+16、4+8+16、1+2+4+8、1+2+4+16、1+2
3、+8+16、1+4+8+16、2+4+8+16、1+2+4+8+16可称出：1、2、4、8、16、3、5、9、17、6、10、18、12、20、24、7、11、19、13、21、25、14、22、26、28、15、23、27、29、30、31 共 31 种不同的重量评注：(1)为防止重数或漏数，列举时应注意分类处理：按砝码的个数、各组中最小砝码的质量进行两重分类；(2)本题中实际用到了 2 进制记数法：1=2 0，2=2 1，4=2 2，8=2 3，16=2 4, 12 5-1 的所有整数都可以用它们中的一个或多个的和表示例 2 某电脑公司现有 A， B， C 三种型号的甲品牌电脑和 D， E
4、 两种型号的乙品牌电脑希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑(1) 写出所有选购方案(利用树状图或列表方法表示）；(2) 如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么 A 型号电脑被选中的概率是多少？(3) 现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共 36 台(价格如图所示)，恰好用了 10 万元人民币，其中甲品牌电脑为 A 型号电脑，求购买的A 型号电脑有几台解：(1) 树状图如下： 列表如下：有 6 种可能结果：( A， D)，（ A， E） ，（ B， D） ，（ B， E），（ C， D），（ C， E）(2) 因为以上 6 种结果出现的可能性相等，而其中选中 A 型号电脑
5、有 2 种方案，即( A， D)（ A， E），所以 A 型号电脑被选中的概率是 26，即 31 (3) 由(2)可知，当选用方案（ A， D）时，设购买 A 型号、 D 型号电脑分别为 x， y 台，根据题意，得 .10560,3yx解得 .1,8yx 经检验不符合题意，舍去；当选用方案（ A， ）时，设购买 A 型号、 型号电脑分别为 x， y 台，根据题意，得.10260,3yx解得 .29,7yx所以希望中学购买了 7 台 A 型号电脑评注：列表和画树形图都是列举的有效方法，但若列举是分步进行且是步步递推的（比如用列举法统计多位数个数），用树形图列举效率更高基础训练一、选一选（请将唯一
6、正确答案的代号填入题后的括号内）1随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ）A 4 B 21 C 43 D1 2从甲地到乙地可坐飞机、火车、汽车，从乙地到丙地可坐飞机、火车、汽车、轮船，某人乘坐以上交通工具，从甲地经乙地到丙地的方法法有（ ）种A4 B7 C12D813设有 12 只型号相同的杯子，其中一等品 7 只，二等品 3 只，三等品 2 只则从中任意取 1 只，是二等品的概率等于( )A B 12 C 4 D14如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成 5 个和 4 个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是( ) A. B C D
7、 25 310 320 155掷两个普通的正方体骰子，把两个点数相加则下列事件中发生的机会最大的是 ( )A和为 11 B和为 8 C和为 3 D和为 26一个均匀的立方体六个面上分别标有数 1，2，3，4，5，6右图是这个立方体表面的展开图抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的 21的概率是（ ）A. 61B. 3C. 21D. 327. 中央电视台“幸运 52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在 20 个商标中，有 5 个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖。参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会。某观众前两次翻
8、牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（ ）A. 41B. 61C. 51D. 2038用 1、2、3、4、5 这 5 个数字（数字可重复，如“522”）组成 3 位数，这个 3 位数是奇数的概率为（ ）12 3 45 34 89A 35 B 23 C 120 D 125二、填一填9一张圆桌旁有四个座位， A 先坐在如图所示的座位上， B、 C、 D 三人随机坐到其他三个座位上则 A 与 B 不相邻而坐的概率为_ 10. 有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们 12 个月大的婴儿拼排 3 块分别写有“20”，“08“和“ 北京 ”的字块，如果婴儿能够排成“2008 北
9、京”或者“北京 2008“则他们就给婴儿奖励，假设婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是_115 个完全相同的白色球全部放入两个完全相同的抽屉，可以有一个抽屉空着，那么两个抽屉中都至少有 2 个球的概率是_12你喜欢玩游戏吗?现请你玩一个转盘游戏如图所示的两上转盘中指针落在每一个数字上的机会均等，现同时自由转动甲、乙两个转盘，转盘停止后，指针各指向一个数字，用所指的两个数字作乘积所有可能得到的不同的积分别为_； 数字之积为奇数的概率为_三、做一做13小明、小华用 4 张扑克牌（方块 2、黑桃4、黑桃 5、梅花 5）玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，小明先抽，小华后
10、抽，抽出的牌不放回（1）若小明恰好抽到了黑桃 4请在下边框中绘制这种情况的树状图；求小华抽出的牌面数字比 4 大的概率（2）小明、小华约定：若小明抽到的牌面数字比小华的大，则小明胜；反之，则小明负你认为这个游戏是否公平？说明你的理由14列子中歧路亡羊写道：杨子之邻人亡羊，既率其党，又请杨子之竖追之。杨 子曰：“嘻!亡一羊，何追者之众?”邻人日：“多歧路。”既 反，问：“获羊乎?”日：“亡之矣。”曰：A甲42乙531（ 4,2） 24结 果小 华 抽的 扑 克小 明 抽的 扑 克“奚亡之?”曰：“歧路 之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也.”如图，假定所有的分叉口都各有两条新的歧路，并且丢失的羊走
11、每条歧路的可能性都相等.（1）到第 n 次分歧时，共有多少条歧路？以当羊走过 n 个三叉路口后，找到羊的概率是多少？（2）当 n=5 时，派出 6 个人去找羊，找到羊的概率是多少？15. 两人要去某风景区游玩，每天某时段开往该风景区有三辆汽车(票价相同)，但是他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序，两人采用了不同的乘车方案：甲无论如何总是上开来的第一辆车，而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况，如果第二辆乍的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆不比第辆好，他就上第三辆车若把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等.请问：(1)三辆车按出现的先
12、后顺序共有哪几种不同的可能?(2)你认为甲、乙两人采用的方案，哪一种方案使自己乘坐上等车的可能性大?为什么?四、试一试16. 如图是 97 的正方形点阵，其水平方向和竖起直方向的两格点间的长度都为 1 个单位，以这些点为顶点的三角形称为格点三角形请通过画图分析、探究回答下列问题：(1)请在图中画出以 AB 为边且面积为 2 的一个网格三角形；(2)任取该网格中能与 A、B 构成三角形的一点 M，求以 A、 B、 M 为顶点的三角形的面积为BA2 的概率；(3)任取该网格中能与 A、B 构成三角形的一点 M，求以 A、 B、 M 为顶点的三角形为直角三角形的概率.解答三、13（1）树形图略； 2
13、3；（2）这个游戏对先抽牌的小明不利，因为 12 种可能结果中，先抽牌的人能获胜的只有 5 种，即先抽牌者获胜的概率为 512.14. （1）到第 n 次分歧时，共有 2n条歧路；当羊走过 n 个三叉路口后，找到羊的概率为2n；（2）当 n=5，6 个人去找羊时，找到羊的概率为 51360.18752P.15这是一道方案决策型的题解这类题应根据题中条件，把所有可能的情况用表格形式列出来再来逐一分析得出最佳方案(1)三辆车开来的先后顺序有 6 种可能：(上、中、下)、(上、下、中)、(中、上、下)、(中、下、上)、(下、中、上)、(下、上、中)(2)由于不知道任何信息，所以只能假定 6 种顺序出现的可能性相同我们来研究在各种可能性的顺序之下，甲、乙二人分别会上哪一辆汽车：于是不难得出，甲乘上、中、下三辆车的概率都是 13；而乙乘上等车的概率是 12；乘中等车的概率是 ，乘下等车的概率是 6乙采取的方案乘坐上等车的可能性大16. （1）图形略，共 12 个三角形；（2）以 A、 B、 M 为顶点的三角形的面积为 2 的概率为顺序 甲 乙上、中、下 上 下上、下、中 上 中中、上、下 中 上中、下、上 中 上下、上、中 下 上下、中、上 下 中1236754；(3)以 A、 B、 M 为顶点的三角形为直角三角形的概率为.
