1、第十七讲 解直角三角形利用直角三角形中的已知元素(至少有一条是边) 求得其余元素的过程叫做解直角三角形，解直角三角形有以下两方面的应用：1为线段、角的计算提供新的途径解直角三角形的基础是三角函数的概念，三角函数使直角三角形的边与角得以转化，突破纯粹几何关系的局限2解实际问题测量、航行、工程技术等生活生产的实际问题，许多问题可转化为解直角三角形获解，解决问题的关键是在理解有关名词的意义的基础上，准确把实际问题抽象为几何图形，进而转化为解直角三角形【例题求解】【例 1】 如图，已知电线杆 AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面 CD 和地面BC 上，如果 CD 与地面成 45，A60，CD
2、4m ， BC( )m，则电线杆264AB 的长为 思路点拨 延长 AD 交 BC 于 E，作 DFBC 于 F，为解直角三角形创造条件【例 2】 如图，在四边形 ABCD 中，AB= ，BC-1 ，CD= ，B=135 ，243C90，则D 等于( )A60 B675 C75 D无法确定思路点拨 通过对内分割或向外补形，构造直角三角形来源:xyzkw.Com注：因直角三角形元素之间有很多关系，故用已知元素与未知元素的途径常不惟一，选择怎样的途径最有效、最合理呢？请记住：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除在没有直角的条件下，常通过作垂线构造直角三角形；在解由多个直角三角形组合而成的问题时，往往先解已
3、具备条件的直角三角形，使得求解的直角三角形最终可解【例 3】 如图，在ABC 中，=90，BAC=30，BC=l ，D 为 BC 边上一点，学优中考网 tanADC 是方程 的一个较大的根?求 CD 的长2)1(5)(32xx思路点拨 解方程求出 tanADC 的值，解 RtABC 求出 AC 值，为解 RtADC 创造条件【例 4】 如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形 ABCD，AB=3 米，BC=05 米 ，车厢底部距离地面 12 米，卸货时，车厢倾斜的角度 =60问此时车厢的最高点 A 距离地面多少米?( 精确到 1 米) 思路点拨 作辅助线将问题转化为解直角三角形，怎样作辅助线构造基本图
4、形，展开空间想象，就能得到不同的解题寻路【例 5】 如图，甲楼楼高 16 米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午 12 时太阳光线与水平面的夹角为 30，此时，求：(1)如果两楼相距 20 米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高 ?(2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少米?思路点拨 (1)设甲楼最高处 A 点的影子落在乙楼的 C 处，则图中 CD 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高；(2)设点 A 的影子落在地面上某一点 C，求 BC 即可注：在解决一个数学问题后，不能只满足求出问题的答案，同时还应对解题过程进行多方面分析和考察，思考一下有没有多种解题途径，每种途径各有
5、什么优点与缺陷，哪一条途径更合理、更简捷，从中又能给我们带来怎样的启迪等 若能养成这种良好的思考问题的习惯，则可逐步培养和提高我们分析探索能力学历训练1如图，在ABC 中，A=30，tanB= ，BC= ，则 AB 的长为 3102如图，在矩形 ABCD 中E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点，若tanAEH= ，四边形 EFGH 的周长为 40cm，则矩形 ABCD 的面积为 34来源:xyzkw.Com3如图，旗杆 AB，在 C 处测得旗杆顶 A 的仰角为 30，向旗杆前北进 10m，达到 D，在 D 处测得 A 的仰角为 45，则旗杆的高为 4上午 9 时，一条船从 A
6、 处出发，以每小时 40 海里的速度向正东方向航行，9 时 30 分到达 B 处，从 A、B 两处分别测得小岛 M 在北偏东 45和北偏东 15方向，那么 B 处船与小岛 M 的距离为( ) A20 海里 B20 海里 C 海里 D3153205已知 a、b、c 分别为ABC 中A 、B、C 的对边，若关于 的方程x02)(x有两个相等的实根，且 sinBcosAcosBsinA0，则ABC 的形状为( )A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形6如图，在四边形 ABCD 中，A135，B= D=90，BC= ，AD=2，则四边32形 ABCD 的面积是( )A B C 4
7、D6 24347如图，在ABC 中，ACB=90，CDAB 于 D， CD=1，已知 AD、BD 的长是关于的方程 的两根，且 tanAtanB=2，求 、 的值x02qpx pq学优中考网 8如图，某电信部门计划修建一条连结 B、C 两地的电缆，测量人员在山脚 A 点测得B、C 两地的仰角分别为 30、45，在 B 地测得 C 地的仰角为 60已知 C 地比 A 地高 200 米，则电缆 BC 至少长多少米?(精确到 0.1 米) 9如图，在等腰 RtABC 中，C=90，CBD30，则 = DA10如图，正方形 ABCD 中，N 是 DC 的中点M 是 AD 上异于 D 的点，且NMB=M
8、BC ，则 tanABM 11在ABC 中，AB= ，BC=2，ABC 的面积为 l，若B 是锐角，则C 的度26数是 12已知等腰三角形的三边长为 a、b、c，且 ，若关于 的一元二次方程cax的两根之差为 ，则等腰三角形的一个底角是( ) 02cbx2A 15 B30 C45 D60 13如图，ABC 为等腰直角三角形，若 AD= AC，CE= BC，则1 和2 的大小关系313是( ) A12 B12 C12 D无法确定14如图，在正方形 ABCD 中，F 是 CD 上一点，AEAF，点 E 在 CB 的延长线上，EF交 AB 于点 G(1)求证：DFFCBGEC；(2)当 tanDAF
9、= 时，AEF 的面积为 10，问当 tanDAF= 时，AEF 的面积是多少?31 3215在一个三角形中，有一边边长为 16，这条边上的中线和高线长度分别为 10 和 9，求三角形中此边所对的角的正切值 16台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力据气象观测，距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米 B 处有一台风中心，其中心最大风力为 12 级，每远离台风中心 20 千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正在以 15 千米时的速度沿北偏东 30方向往 C 处移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响(1)该城市是
10、否会受到这次台风的影响?请说明理由(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级? 17如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物 ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带该建筑物顶端宽度 AD 和高度 DC 都可直接测得，从 A、D、C 三点可看到塔顶端H可供使用的测量工具有皮尺、测角器(1)请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度 HG 的方案具体要求如下：测量数据尽可能少；在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上(如果测 A、D 间距离，用 m 表示；如果测 D、C 间距离，用 n 表示；如果测角，用 、 等表示测角器高度不计)(2)根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度 HG(用字母表示)来源:学优中考网来源:xyzkw.Com学优中考网 参考答案来源:xyzkw.Com学 :优中(考，网
