1、第 4 章因式分解第一节因式分解教学设计济南市历城区柳埠镇第一中学 王云一、备课标（1）内容标准：课标对本章的要求是能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。整个学段要求体会数学知识之间的联系，掌握必要的运算技能，经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。对于本节，在内容标准上没有具体的要求。（二）数学思想方法,核心概念：教材从因数分解的例子入手，让学生体会因数分解的必要性，继而用字母表示数体现一般化，发展从特殊到一般的思考问题的方法；通过类比数的分解体会因式分解的意义，体会数学知识之间的相互联系，发展学生的类比思想；经历借助拼图解释整式变形的过程，帮助
2、学生从几何的角度理解代数，渗透数形结合思想，体会几何直观的作用；给出因式分解的概念后，再由一般回归特殊，设计一组特例，通过对整式乘法运算与因式分解的对比，充分感受两者之间互为逆过程的关系，发展学生的逆向思维，进一步体会数学知识间的联系；为体会因式分解的意义，在应用环节，借助因式分解将问题转化，简便运算，渗透转化、最优化思想。十大核心概念在本节课中突出培养的是学生的运算能力、几何直观、应用意识。二、备重点、难点：（一）教材分析：本节是北师版八年级下册第四章因式分解第一节内容。属于“数与代数”领域中（一）数与式中的“整式与分式”。因式分解是代数式的一种重要恒等变形。它是学习分式的基础,又在恒等变形
3、、代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用,.就本节课而言，着重阐述了两个方面，一是因式分解的概念，二是因式分解与整式乘法的相互关系。它是在继整式乘法的基础上来讨论因式分解概念，继而，通过探究与整式乘法的关系，来寻求因式分解的原理。这一思想实质贯穿后继学习的各种因式分解方法。通过本节课的学习，不仅使学生了解因式分解的概念和原理，而且又为后面学习因式分解作好了充分的准备。因此，它起到了承上启下的作用。 教材整体呈现方式为：首先让学生类比 993-99 的因数分解，由特殊到一般，用字母表示数，尝试对 a3-a 进行因式分解，体会因式分解的必要性，感受类比的学习方法，同时，学生会自主运用整式乘法来验
4、证结论的正确性，初步感受因式分解与整式乘法之间的关系；接着用两个拼图问题，以拼图前后的面积不变，让学生从几何角度体会因式分解的意义；借助上述情境进而归纳获得因式分解的概念、意义；在了解因式分解概念的基础上，出示做一做，由一般到特殊，体会因式分解与整式乘法的关系，感受因式分解是否正确可以用整式乘法来验证，直接为后续学习服务；部分习题设计，旨在引导学生体会因式分解、因数分解解决相关问题的简便性，再次感受学习因式分解的必要性。重点旨在经历类比的学习过程，了解因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的联系。（二）重点、难点分析：了解因式分解的意义及其本质属性是学习整章因式分解的关键，由乘法到因式分解
5、的变形是一个逆向思维。在七年级整式乘法的较长时间的学习，学生容易造成思维定势，产生“倒摄抑制”作用，阻碍学生新概念的形成。所以确定：重点：体会因式分解的意义及因式分解与整式乘法的相互关系难点：因式分解与整式乘法的相互关系 三备学情：（一）学习条件和起点能力分析：1.学习条件分析：（1）必要条件：因数分解，用字母表示数，整式的乘法运算，借助拼图验证关系式，类比、转化的学习方法，初步的逆向思维能力。（2）支持性条件：七年级学生已经掌握了整式的乘法运算，已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，会用字母表示数，小学接触过因数分解，具备了用类比、转化学习的能力，成为本节课学习的支持性条件。2.起点能力分析：具备
6、了一定的类比、转化学习能力；在学习整式的乘法运算、验证勾股定理等中，经历过借助图形面积验证事实的过程；具备初步的逆向思维能力。（二）学生可能达到的程度和存在的普遍性问题：多数学生利用小学所学解决有关因数分解的问题，对于由因数到因式的过渡，诸如 a3-a 的分解，大部分学生能类比因数分解，较快地逆用乘法分配律将其转化为 a(a2-1)的形式，但对于a2-1 的分解，多数学生不会轻易地发现，针对这一问题，采取的策略：教师可在因数分解环节在教材基础上，学生仿例出题，自行解决，教师巧设问题：即在此类问题背景下，两个数因数分解的结果有何特点？供学生观察，学生会很容易发现结论，从分解的结果特点入后，从而帮
7、助学生解决问题,同时，为更好地理解因式分解与整式乘法的关系，做好前后知识衔接，调整第二个拼图内容为平方差公式，由学生比较熟悉的图形验证入手，帮助学生直观理解两者间的关系。四教学目标：1. 经历从因数分解到因式分解的类比过程，能类比因数分解将用字母表示数后的多项式化成几个整式乘积的形式，感受类比的方法。2、经历用几何图形解释因式分解意义的过程，能借助拼图前后图形面积不变从几何的角度体会因式分解的意义。3了解因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解，能借助因式分解解决含简单计算问题。4.初步体会因式分解与整式乘法的联系，并能借助整式乘法验证、解决有关因式分解的问题，培养学生的逆向思维能力。五教
8、学过程：（一）忆速算抢答，构建动场活动一: 速算抢答，并说出你是怎样快速计算的：1、100 +1002、10.13.3+10.12.1+10.14.6由上述运算过程，你有怎样的发现：学生完成，结合学生计算方法及过程，教师对于不同的解决策略适时加以评价；由此学生发现：为了运算简便，不同的数式特点，我们会选择不同的解决策略。设计意图: 学习每一种运算都有它的必要性，选择两组有代表的数式进行运算，为方便运算，有时会先积，后和，有时会先和后积，初步感知学习因式分解的必要性。同时，让学生有意识地根据问题背景选择不同的解决策略，顺势提出问题进入第二环节。（二）探交流讨论，问题探究一探：99 3-99 能被
9、 99 整除吗？为解决这一问题，你是怎样想的？与同伴交 流你的想法？993-99 能被 100 整除吗？你是怎样想的？与同伴交流。学生自主探究，对于不同的解决方案，教师适时给予鼓励评价，侧重鼓励学107013生谈这样解决的想法、思路，分析后明确：解决的整除的问题，关键是把一个数式转化成几个数的积的形式，这里逆用乘法分配律加以转化，教师适时板书：数式数的积，提升“转化”、逆用乘法分配律等重要方法、数学信息，问题解决后，教师追问：99 3-99 还能被哪些正整数整除？学生观察后自主解决。设计意图：复习回顾因数分解，为类比引出因式分解作好铺垫。特定的问题背景，我们的思考方向会有一定的指向，选择较大数
10、的运算，让学生在不同方法的运算过程中体会因数分解在解决该类问题时的优越性，同时，及问题背景自主提出可以解决的问题，培养学生的问题意识。同时，补问环节，引导学生有意识地观察结果，为后续探究作好铺垫。二探：类比上述问题解决过程，鼓励学生自行设计题目，自主探究：诸如：192-19 可以被 18 整除吗？你是怎样想的？ 192-19 还可以被哪些正整数整除？学生自主完成，教师适时指导部分学困生。鼓励学生上台展示，并说出自己的想法和发现，让学生在不断说的过程中进一步提炼：类比、转化、逆用乘法分配律、将一个数式化成几个数的积等重要的数学信息。设计意图：学生自主把这个式子分解成几个数的积的形式，继续强化学生
11、对因数分解的理解，引导学生继续观察分解的结果，为后续研究 a3-a 的分解作好铺垫，由于有了第一环节的铺垫，为学生类比因式分解作好准备。此时，教师应有意识地引导，使学生逐渐明白解决这些问题的关键是把一个数式化为几个整数积的形式三猜：出示问题：你能尝试把多项式 a3-a 化成几个整式的乘积的形式吗？类比上述探究过程，鼓励学生大胆猜测，尝试完成，多数学生会结合前面的探究，逆用乘法分配律，将其转化为 a(a2-1)的形式，对于 a2-1 的分解，可引导学生一方面结合上面两个数式因数分解的结果，也可以引导学生进一步关注与整式乘法之间的关系。组内学生相互交流探究，分组展示，鼓励学生用第一种方法乘法公式加
12、以验证。对于展示中出现的问题，鼓励学生评价完善。设计意图：用字母表示数，让学生类比前面两个例子，探究 a3-a 的分解，由数到式，渗透由特殊到一般的数学思想方法，再次感知因式分解与整式乘法的关系。板书：类比、特殊到一般、互逆四验：初步感知多项式的因式分解后，我们可以对上述这类的这种变形借助图形加以直观感受：柳埠一中第十届校园文化艺术节即将拉开帷幕，为作好宣传，我班同学分工合作，设计一幅宣传海报，海报由三部分组成，他们分别将三部分拼成如图所示的一个大的长方形（如图一），观察拼图过程，写出相应的关系式。设计意图：选择学生身边关心的话题入手，激发学生探究兴趣，同时，让学生在展示的过程中，提炼“两次算
13、、等积法”等重要的数学方法，初步直观感受因式分解这一变形的意义。再比如：如图：边长为 a 的正方形，剪去边长为 b 的小正方形，分别表示拼图前后阴影部分的面积。鼓励学生自主完成，并上台展示，结合学生的展示，教师适时提升：这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因集合直观而形象化。板书：等积法，两次算。引导学生继续观察学生的板书：a 2-b2=(a+b)(a-b),总结发现，将等式两边互换位置，即为前面所学的整式乘法公式：平方差公式。设计意图：逆用乘法分配律，学生相对比较熟悉，但对于类似于上述 a2-1 的分解，大部分学生还是比较陌生，逆向思维能力存在差异，为让学生更好地理解这一恒等变形
14、，选择学生比较熟悉的背景加以直观验证。再次体会整式乘法与本节所要学习因式分解间的关系。追问：在图四拼图过程中，若 a=3,b=1,则阴影部分的面积为_，你是怎样想的？若 a=9.8,b=0.2,则阴影部分的面积为_，你又是怎样想的？学生上台展示思考过程，再次体会因式分解的意义，及引入因式分解的必要性。（三）悟自主发现，感悟提升结合板书，观察上述结论，a3-a=a(a+1)(a-1)；a 2-b2=(a+b)(a-b)；ma+mb+mc=m(a+b+c),你有怎样的发现？鼓励学生从不同的角度谈自己的发现，师生共同得出因式分解的概念，教师适时评价板书，播放微视频，了解因式分解的定义。为更深入理解因
15、式分解与整bamcmbacma+b+c式乘法的关系，为后续学习因式分解方法作好铺垫，出示三组活动：一辨：下列从左到右的变形，哪些是因式分解？为什么？（1）24x 2y=4x6xy (2)m2-4=(m+2)(m-2)（3）a 2-b2+1=(a+b)(a-b)+1 (4)2mR+2mr=2m(R+r)（4）x+1=x(1+ ) （6）(a+3)(a-3)=a 2-9 x1（5）补充提问：从右到左的变形呢？鼓励学生尝试举出因式分解的例子。设计意图：一方面，因式分解与整式乘法互为逆变形，同时，可以借助整式乘法来验证因式分解，借助学生的分析引导学生明白：因式分解的对象必须是多项式；分解的结果一定是几
16、个整式的乘积的形式；要分解到不能分解为止.（本节特别关注前两条，第三条可在后续学习中继续深化理解）二算：计算下列式子：（1）3x(x-1)= ； （2）m(a+b-1)= ；（3）（m+4）(m-4)= ； （4）（y-3） 2= ；根据上面的算式进行因式分解：（1）3x 2-3x= ；（2）ma+mb-m= ; （3）m 2-16= ；（4）y 2-6y+9= 思考：因式分解与整式乘法有什么关系？举例说明设计意图：通过两组互逆关系的练习，类比两种不同的逆运算，进一步让学生体会什么是分解因式。由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力，充分理解因式分解与整式乘法之间的关系，体
17、会数学知识间的联系。（四）拓综合建模，盘点收获拓展提升：若关于 x 二次三项式 x2+mx+n 可分解为(x+1) 2，则m=_,n=_先由学生独立完成，教师巡回指导，若有困难，组内交流讨论，学生上台讲解展示，其他学生补充完善。三用： a=3.14, b=2.386, c=2.386,求 ab-ac 的值。学生自主完成，部分学困生可能还会停留在选择代数求值，鼓励其大胆展示，不同层次学生参与展示，不同的解题策略，引导学生意识到利用因式分解在部分计算中可以简便运算，再次感悟学习因式分解的必要性。在此基础上，学生畅谈本节课的所得所获：本节课，你收获了哪些重要的知识？领会到哪些重要的数学思想、方法？在
18、问题解决过程中还存有哪些疑惑？关注不同层次的学生发言，让不同的学生在数学学习中的不同发展。教师及小组、学生及时总结评价本节课小组活动情况。 鼓励学生畅所欲言，谈自己本节课的所得所获，教师适时评价提升，因式分解有哪些方法？下一节课及今后的学习中，我们将继续探寻因式分解与整式乘法间的奥秘。设计意图：进一步体会因式分解与整式乘法的关系：两者即为等式的恒等变形。梳理本节所得、所获，充分发挥学生的主体地位，从学习知识、方法等多个方面进行归纳培养学生及时归纳总结、质疑反思的能力（5）评-达标检测，评价反馈当堂检测：1、看谁连得准 x 2-y2 (x+3) 29-25 x 2 y(x -y)x 2+6x+9
19、 (3-5 x)(3+5 x)xy-y 2 (x+y)(x-y)2、下列哪些变形是因式分解，为什么？A.a(x+y)=ax+ay B.x2-4x+4=x(x-4)+4C.10x2-5x=5x(2x-1) D.x2-16x+6x=(x+4)(x-4)+6x3、观察下面拼图过程，写出相应的关系式B 级： 4、已知多项式 2x2+bx+c 分解因式为 2(x-3)(x+1),则 b=_c=_学生独立完成，第四题由学生自主选择，师生共同评价。作业布置：（1）巩固性作业：课本习题 4.1 1，2，3（2）提高性作业：课本习题 4.1 5（3）实践类：4.1 4设计意图：围绕教学目标达成，分层设计当堂测试题及作业，关注不同学生在数学学习上得以不同的发展。板书设计：第四章 因式分解4.1 因式分解993-99 = 99992991= 99（99 21）= 999800= 9998100a3-a = aa2a1= a（a 21）= a(a+1)(a-1)类比因式分解整式乘法互 逆几何直观数形结合因式分解定义学生自主评价验证数 式特殊到一般形
