1、2.1.2 指数函数及其性质（第一课时）指数函数及其性质（第一课时）教学目标：1、理解指数函数的概念2、根据图象分析指数函数的性质3、应用指数函数的单调性比较幂的大小教学重点：指数函数的图象和性质教学难点：底数 a 对函数值变化的影响教学方法：学导式（一）复习：（提问）引例 1：某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个1 个这样的细胞分裂 次x后，得到的细胞个数 与 的函数关系式是： yxxy这个函数便是我们将要研究的指数函数，其中自变量 作为指数，而底数 2 是一个大于 0 且不等于 1 的常量。（二）新课讲解：1指数函数定义：一般地，函数 （ 且 ）叫做指数函数，其中
2、 是自变量，函数定义域是 xya01xR练习：判断下列函数是否为指数函数。 （ 且 ）2x8x(2)xya12a(4)xy y125y 0xy2.指数函数 （ 且 ）的图象：xa0例 1画 的图象（图（1） ） 2y解：列出 的对应表，用描点法画出图象,xx -3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 2y 0.13 0.25 0.35 0.5 0. 71 1 1.4 2 2.8 4 8 例 2画 的图象（图（1） ） ()xyx -3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 1()2y 8 4 2.8 2 1.4 1 0.71 0.5 0.3
3、5 0.25 0.13 指出函数 与 图象间的关系？x()xy说明：一般地， 函数 与 的图象关于 轴对称。f()yfxy3指数函数 在底数 及 这两种情况下的图象和性质： xya10a01a图象性 （1）定义域： Rxy()xy图（1）（2）值域： (0,)（3）过点 ，即 时1x1y质（4）在 上是增函数R（4）在 上是减函数R例 3已知指数函数 的图象经过点 ，求()0,)xfa(3,)的值（教材第 66 页例 6） 。(0),1()ff例 4比较下列各题中两个值的大小：； 2.53()7, 0.1.2(2)8, 0.3.1()7,9（教材第 66 页例 7）小结：学习了指数函数的概念及
4、图象和性质；练习：教材第 68 页练习 1、3 题。作业：教材第 69 页习题 2。1A 组题 第 6、7、8 题 2.1.2 指数函数及其性质（第二课时）指数函数及其性质（第二课时）教学目标：1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质；2.能求由指数函数复合而成的函数定义域、值域；3.掌握比较同底数幂大小的方法；4. 培养学生数学应用意识。教学重点：指数函数性质的运用教学难点：指数函数性质的运用教学方法：学导式（一）复习：（提问）1指数函数的概念、图象、性质2练习：（1）说明函数 图象与函数 图象的关系；34xy4xy（2）将函数 图象的左移 2 个单位，再下移 1 个单位所得函数的解析式是 21
5、()；（3）画出函数 的草图。 1()2xy（二）新课讲解：例 1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过 1 年剩留的这种物质是原来的 84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留 1 个有效数字） 。分析：通 过 恰 当 假 设 ， 将 剩 留 量 表 示 成 经 过 年 数 的 函 数 ， 并 可 列 表 、 描 点 、 作 图 ， 进 而 求 得yx所 求 。解：设这种物质量初的质量是 1，经过 年，剩留量是 .y经过 1 年，剩留量 =184%=0.841；y经过 2 年，剩留量 =184%=0.842；一般地，经过 x 年，剩
6、留量 ，0.84xy根据这个函数关系式可以列表如下：0 1 2 3 4 5 6y1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35用描点法画出指数函数 的图象。从图上看出 ，只需 .84xy0.yx答：约经过 4 年，剩留量是原来的一半。例 2 说明下列函数的图象与指数函数 的图象的关系，并画出它们的示意图：2x（1） ； （2） 1xyy解：（1）比较函数 与 的关系：1xyx与 相等， 3122与 相等，y1与 相等 ，213由此可以知道，将指数函数 的图象向左平移xy1 个单位长度，就得到函数 的图象。12（2）比较函数 与 的关系：2xyx与 相等， 13与 相等，02y2
7、与 相等 ， 31由 此 可 以 知 道 ， 将 指 数 函 数 的 图 象 向 右 平 移 2 个 单 位 长 度 ， 就 得 到 函 数 的 图 象 。2xy 2xy说明：一般地，当 时，将函数 的图象向左平移 个单位得到 的0a()fa()fa图象；当 时，将函数 的图象向右平移 个单位，得到 的图象。yfx| yx练习：说出下列函数图象之间的关系：（1） 与 ； （2） 与 ；（3）yx1 3xyxa与 22yx例 3求下列函数的定义域、值域：（1） （2） （3） （4）128xy1()2xy xy(0,)xa解：（1） 原函数的定义域是 ，2112x 1,2xR令 则tx0,tR
8、得 ，8(,)ty,1y所以，原函数的值域是 （2） 原函数的定义域是 ，1()0x0,令 则 ， 在 是增函数 ，2t)01tyt101y所以，原函数的值域是 ,（3）原函数的定义域是 ，R令 则 ， 在 是增函数， ，tx0t3ty,001y所以，原函数的值域是 ,1（4）原函数的定义域是 ，R由 得 ，(0,)1xay1xya ， ，所以，原函数的值域是 xy1,说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。小结：1学会怎样将应用问题转化为数学问题及利用图象求方程的解；2学会灵活地应用指数函数的性质比较幂的大小及求复合函数的值域。3了解函数 与 及函数 与 图象间的关系。()y
9、fx()fx()yfx()fa作业：习题 2.1 第 3，5，6 题2.1.2 指数函数及其性质（第三课时）指数函数及其性质（第三课时）教学目标：1.掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法；2.掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法；3.培养学生的数学应用意识。教学重点：函数单调性、奇偶性的证明通法教学难点：指数函数性质的运用教学方法：学导式（一）复习：（提问）1.指数函数的图象及性质2.判断及证明函数单调性的基本步骤：假设作差变形判断3.判断及证明函数奇偶性的基本步骤：（1）考查函数定义域是否关于原点对称；（2）比较 与 或者 的关系；()fx(f()fx（3）根据函数奇偶性定义得出结论
10、。（二）新课讲解：例 1当 时，证明函数 是奇函数。a1xay证明：由 得， ，故函数定义域 关于原点对称。0x0x1()xaf()xa1x()f ，所以，函数 是奇函数。()(ff 1xya评析：此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明，但在证明过程中的恒等变形用到推广的实数指数幂运算性质。例 2设 是实数， ，a2()()1xfaR（1）试证明：对于任意 在 为增函数；,（2）试确定 的值，使 为奇函数。()fx分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。（1）证明：设 ，则1212,xRx()ff12()()1xxaa21，21()x
11、由于指数函数 在 上是增函数，且 ，所以 即 ，xyR12x12x120x又由 ，得 ， ，所以， 即 20x1210x2()0ff12()ff因为此结论与 取值无关，所以对于 取任意实数， 在 为增函数。aaxR评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。（2）解：若 为奇函数，则 ，()fx()(fxf即 ，变形得： ，22()11xxaa22(1)(1)xxxa 解得： ，所以，当 时, 为奇函数。()fx评述：此题并非直接确定 值，而是由已知条件逐步推导 值。应要求学生适应这种题型。aa练习：（1）已知函数 为偶函数，当 时， ,求当 时，()fx(0,)1()2xf(,0)的解析式。()fx（2）判断 的单调区间。24xya(0,1)小结：灵活运用指数函数的性质，并掌握函数单调性，奇偶性证明的通法。作业：（补充）1已知函数 ，21()xf（1）判断函数 的奇偶性；f（2）求证函数 在 上是增函数。()x(,)2函数 的单调递减区间是 236y3.已知函数 定义域为 ，当 时有 ，求 的解析式。()fxR0x()fx213x()f
