1、学优中考网 28.3 圆中的计算问题【知识梳理】（一）弧长和扇形的面积1. 弧长的计算公式如果弧长为 l，圆心角度数为 n，圆的半径为 r，那么，弧长的计算公式为：2. 扇形的面积公式如果设圆心角是 n的扇形面积为 S，圆的半径为 r，那么扇形面积为说明：对于弧长公式和扇形面积公式，无须死记硬背，应在明确其“来历”的基础上理解掌握在应用弧长公式 或扇形面积公式 进行计算时，要注意公式中的的意义， 表示 1的圆心角的倍数，因此不带单位扇形的另一个面积公式 与三角形的面积公式有些类似形式基本一样，可以联系起来记忆（二）圆锥的侧面积和全面积如图，我们把圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的
2、母线连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高如图，沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和说明：研究圆锥的侧面积和全面积，必须先将其展开圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长若设圆锥的母线长为 ，底面半径为 ，则圆锥的侧面积就是其展开图扇形的面积， ；圆锥的全面积是侧面积与底面积的和，是 另外，知道扇形的半径和弧长，还可以求得扇形的圆心角来源:xyzkw.Com【典型例
3、题】例 1. 如图，一块长为 8 的正方形木板 ABCD，在水平桌面上绕点 A 按逆时针方向旋转到ADEF 的位置，则顶点 C 从开始到结束所经过的路径长为（ ）A. 16 ； B. 16 ； C. 8 ； D. 4分析：在旋转过程中，AC 的长度保持不变，所以顶点 C 从开始到结束所经过的路径长是以 A 为圆心，AC 长为半径的 90的弧长，因为 AC8 ，所以，故选 D例 2. 如图，A、B、C、D 互相外离，它们的半径都是 1，顺次连结四个圆心得到四边形 ABCD，则图中四边形内的四个扇形面积之和为（ ）A. 2 ； B. ； C. ； D. 分析：根据题中的条件无法求出四个扇形的圆心角
4、的度数，因而从整体考虑，可以发现四个扇形的圆心角分别是四边形的四个内角，所以四个扇形的圆心角的度数之和为360，故选 B来源:学优中考网例 3. 如图，如果圆锥的底面圆的半径是 8，母线长是 15，那么这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数是 学优中考网 分析：由圆锥的底面圆的半径是 8，可以求出底面圆的周长，也就是扇形 CAB 的弧长，再利用弧长公式 即可求扇形的圆心角的度数解：圆锥底面圆的半径是 8，母线长为 15 圆心角的度数为 192例 4. 如图，一把纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB 和 AC 的夹角为 120，AB 长为25cm，贴纸部分的宽 BD 为 17cm，则贴纸部分的面积为
5、_ （结果保留 ）分析：扇形面积公式有两个，一是 ，另一个是 ，贴纸部分的面积实际是由两个扇形的面积相减所得由解意很容易列出关于所求贴纸部分的面积： 187（cm 2） 来源:xyzkw.Com例 5. 如图 1，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图 2 所示的一个圆锥模型设圆的半径为 r，扇形半径为 R，则圆的半径与扇形半径之间的关系为A. R2r B. R r C. R3r D. R4r分析：注意题中的“底面圆的半径”与“扇形的半径”是两个不同的概念要找到圆的半径与扇形半径之间的关系，需要得到一个等量关系，由圆锥的有关概念，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，可得 2r R R
6、4r 答案选 D例 6. 如图所示，半径是 10cm 的圆纸片，剪去一个圆心角是 120的扇形（图中阴影部分） ，用剩下部分围成一圆锥，求圆锥的高和底面圆的半径分析：首先，根据题意画出圆锥体的示意图，从图中可知，要求圆锥的底面圆的半径需求出其所在圆的周长，而底面圆的周长为左图中剩下扇形的弧长，这样转化到求弧长的问题；关于圆锥的高，只要由底面半径与圆锥的母线长构造直角三角形即可解：如答图中的甲、乙图，n360120240，R10cm，如图（甲）所示，（cm）如图乙中连结 OP，则 OPCD，设O半径为 r， ， ，r （cm） OP （cm）例 7. 已知矩形 ABCD 中，AB1cm，BC2c
7、m，以 B 为圆心，BC 长为半径作 圆弧交 AD学优中考网 于 F，交 BA 的延长线于 E，求阴影部分面积分析：要求阴影部分面积，只须将它转化为求规则图形的面积的和差，故需连结 BF，解：连结 BFBC2，F 点在以 B 为圆心，BC 为半径的圆上BF2矩形 ABCD，AB1，BF2ABF60 来源:学优中考网答：阴影部分面积为 例 8. 如图已知圆锥的底面半径 r10cm，母线长为 40cm求它的侧面展开图的圆心角和表面积；若一只甲虫从 A 点出发沿着圆锥侧面绕行到母线 SA 的中点 B，它所走的最短路程是多少？分析：把圆锥的侧面沿母线 SA 展开，如图则 的长为 2r20，SA40所以
8、 20所以 n90所以圆锥的侧面展开图的圆心角是 90S 表面 S 侧 S 底 10 2500（cm 2）由圆锥的侧面展开图可见，甲虫从 A 点出发沿着圆锥侧面绕行到母线 SA 的中点 B 所走的最短路程是线段 AB 的长在 RtASB 中，ASB90，SA40，SB20所以 AB 20 cm答：圆锥的侧面展开图的圆心角是 90，圆锥的表面积是 500 ，甲虫所走的最短路程长 20 cm来源:学优中考网例 9. 如图，扇形 OAB 的圆心角为 90，分别以 OA、OB 为直径在扇形内作半圆，P 和 Q分别表示两个封闭图形的面积，那么 P 和 Q 的大小关系是（ ）A. PQ； B. PQ； C
9、. PQ； D. 无法确定分析：本题中两个封闭图形的面积不易直接求，可用代数方法来求，根据图形的对称性，另两个封闭图形的面积相等，不妨设为 M，再设 OA2r，由图形可得学优中考网 MQ ，2MPQ ，解得 PQ ，故选 A 方法探究在一个问题不能直接解决的情况下，就要善于从另一个角度来寻找其它的途径本题是通过设未知数，把几何问题转化为代数问题，即通过方程思想，使问题迎刃而解例 10. 如图，秋千拉绳长 AB 为 3 米，静止时踩板离地面 0.5 米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面 2 米（左右对称） ，请计算该秋千所荡过的圆弧长（精确到 0.1米）？解析：由题意要求圆弧 BF
10、的长，只要求得圆心角BAF 的度数即可，根据左右对称，所以将BAC 置于一个直角三角形中来计算其度数过点 B 作 BE地面于点 E，作 BGAD于点 G，则有 GDBE2，又 ADACCD3.5，所以 AG1.5，则在 RtABG 中，AB3，AG1.5，所以BAC60，所以BAF120则弧 BF 的长 26.3（米） 例 11. 如图是某学校田径体育场一部分的示意图，第一条跑道每圈为 400 米，跑道分直道和弯道，直道为长相等的平行线段，弯道为同心的半圆型，弯道与同心的半圆型，弯道与直道相连接已知直道 BC 的长为 86.96 米，跑道的宽为 1 米（ 3.14，结果精确到0.01 米）求第
11、一条跑道的弯道部分 的半径；求一圈中第二条跑道比第一条跑道长多少米？若进行 200 米比赛，求第六道的起点 F 与圆心 O 的连线 FO 与 OA 的夹角FOA 的度数解析：弯道的半圆周长为 113.04（米） ，由圆周长 L2 r，所以半圆弧线长 ，则第一道弯道部分的半径 r 36.00（米）第二道与第一道的直跑道长相等，第二道与第一道的弯跑道的半径之差为 1 米，第二道与第一道的弯跑道长的差即为两圆周长之差，即 2 （r1）2 r2 6.28（米） 从第一道 200 米，是以 A 点为始点，第六道上的运动员需要跑 86.96 米的直道和113.04 米的弯道，即弧长为 113.04 米，又
12、第六道弯道半圆的半径为 41 米，由弧长与半圆、圆心角的关系得 n ，所以FOA180158.0521.95【模拟试题】 （答题时间：30 分钟）1. 一个扇形的弧长是 20cm，面积是 240 ，则扇形的半径是（ ）A. 6cm B. 21cm C. 24 cm D. cm2. 一个圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ）A. 60 B. 90 C. 120 D. 1803. 底面圆半径为 3cm，高为 4cm 的圆锥侧面积是（ ）A. 7. 5 B. 12 C. 15 D. 244. 扇形的半径 OA20cm，AOB135 ，用它做成一个圆锥的侧面，此圆锥底面的
13、半径是（ ）A. 3.75cm B. 7.5cm C. 15cm D. 30cm 5. 如图，A，B，C 两两不相交，且半径都是 0.5cm，则圆中的三个扇形即（三个阴影部分）的面积之和为（ ）A. B. C. D. 学优中考网 6. 一个圆锥的底面积是 25 ，母线长 13cm，则这个圆锥的侧面积是 7. 一个圆锥的侧面展开图是一个面积为 8 的半圆，则这个圆锥的全面积是_8. 如图所示，已知 内切于扇形 AOB，切点为 C、D、E， 的面积为16，AOB60，求扇形 AOB 的周长和面积9. 如图所示是一管道的横截面示意图，某工厂想测量管道横截面的面积，工人师傅使钢尺与管道内圆相切并交外圆于 A、B 两点，测量结果为 AB30cm， 求管道阴影部分的面积为多少？学#优%中考，网
