1、学优中考网 2008 年中考试卷分类-函数与几何图形1. 如图，在直角梯形 ABCD 中，DCAB，A=90，AB=28cm，DC=24cm，AD=4cm，点 M 从点 D 出发，以 1cm/s 的速度向点 C 运动，点 N 从点 B 同时出发，以 2cm/s 的速度向点 A 运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动.则四边形 AMND 的面积 y（cm 2）与两动点运动的时间 t（s ）的函数图象大致是（ D ）2. 如图，已知正三角形 ABC 的边长为 1，E、F、G 分别是 AB、BC、CA 上的点，且 AEBFCG，设EFG 的面积为 y，AE 的长为 x，则
2、y 关于 x 的函数的图象大致是（ C ）3. （潍坊）如图，圆 B 切 y 轴于原点 O，过定点 (230)A， 作圆 B 切线交圆于点 P已知3tanPA，抛物线 C 经过 A，P 两点 （1 ）求圆 B 的半径；（2 ）若抛物线 C 经过点 B，求其解析式；（3）投抛物线 C交 y 轴于点 M，若三角形 APM 为直角三角形，求点 M 的坐标4. （威海）如图，在梯形 ABCD 中，AB CD，AB 7，CD1，ADBC 5点 M，N 分别在边 AD，BC 上运动，并保持MN AB，MEAB ，NFAB，垂足分别为 E，F （1）求梯形 ABCD 的面积； （2）求四边形 MEFN面积的
3、最大值 （3 ）试判断四边形 MEFN 能否为正方形，若能，求出正方形 MEFN 的面积；若不能，请说明理由解：（1）分别过 D，C 两点作 DGAB 于点 G，CH AB 于点 H AB CD， DGCH，DGCH 四边形 DGHC 为矩形，GHCD1 DGCH，ADBC，AGDBH C90， A GDBHC（HL ） AG BH 273 2 分 在 RtAGD 中，A G3 ， AD5， DG4 17462ABCDS大 （2 ） MN AB ，ME AB，NF AB ， MENF，ME NF 四边形 MEFN 为矩形 AB CD，AD BC， AB MENF，MEANFB 90 ， MEA
4、NFB（AAS） AEBF 设 AEx，则 EF7 2x AA，MEA DGA 90， MEADGA ME ME x34 6978)2(7342xFESMFN大 当 x 47时，ME 4， 四边形 MEFN 面积的最大值为 4 （3 ）能 由（2）可知，设 AEx，则 EF72 x，ME x3 若四边形 MEFN 为正方形，则 MEEF 即 72x解，得 102 EF 14705x4 四边形 MEFN 能为正方形，其面积为 251964MEFNS大 5. （青岛）已知：如图，在 RtABC 中，C=90 0，AC=4cm ，BC=3cm ，点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点A 匀速运动，速
5、度为 1cm/s；点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，速度为 2cm/s；连接 PQ若设运动的时间为 t（s） （01 的常数） ，设过 Q、R 两点，且以 QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与 y 轴的交点为 N，其顶点为 M，记QNM 的面积为 SQNM ，QNR 的面积 SQNR ，求 SQNM ：S QNR 的值. 21. （重庆）已知：如图，抛物线 y=ax2-2ax+c（a0 ）与 y 轴交于点 C（0 ，4） ，与 x 轴交于点 A、B ，点A 的坐标为（4 ，0） 。 （1）求该抛物线的解析式；（2）点 Q 是线段 AB 上的动点，过点 Q 作QEAC，交 BC
6、 于点 E，连接 CQ。当 CQE 的面积最大时，求点 Q 的坐标；（3）若平行于 x 轴的动直线 l与该抛物线交于点 P，与直线 AC 交于点 F，点 D 的坐标为（2，0） 。问：是否存在这样的直线，使得ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。22. （东营）在ABC 中，A 90，AB4 ，AC3，M 是 AB 上的动点（不与 A，B 重合） ，过 M 点作MN BC 交 AC 于点 N以 MN 为直径作O，并在O 内作内接矩形 AMPN令 AMx （1 ）用含 x的代数式表示 NP 的面积 S；（2）当 x 为何值时，O 与直线 BC 相切？（3）在动
7、点 M 的运动过程中，记 NP 与梯形 BCNM 重合的面积为 y，试求 y 关于 x 的函数表达式，并求 x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？解：（1）MNBC，AMN=B，ANMC AMN ABC AMN，即 43xA AN 3x S= 2128MNPAx （0 x4 ） （2 ）如图 2，设直线 BC 与O 相切于点 D，连结 AO，OD，则 AO =OD = 21MN在 Rt ABC 中，BC 2BC=5由（1）知 AMN ABC ANBC，即 45x 5M， 8OD 过 M 点作 MQBC 于 Q，则 58Mx 在 RtBMQ 与 RtBCA 中，B 是公共角，AB CM ND
8、图 2OQAB CM NP图 1O BMQBCA BMQCA 52834x， 254ABMx x 496 当 x 496时，O 与直线 BC 相切 （3 ）随点 M 的运动，当 P 点落在直线 BC 上时，连结 AP，则 O 点为 AP 的中点 MNBC ， AMN=B，AOMAPC AMO ABP 12A AMMB2 故以下分两种情况讨论： 当 0 x2 时， 283xSyPMN 当 2 时， .大 当 2 4 时，设 PM， PN 分别交 BC 于 E，F 四边形 AMPN 是矩形， PNAM ，PNAMx 又 MNBC ， 四边形 MBFN 是平行四边形 FNBM4x 24PFx 又PE
9、F ACB 2PEFABCS 23PEFxMNPEFyS 22239688xx当 2 x4 时， 2968y298x 当 3时，满足 2 x4， y大 综上所述，当 时， 值最大，最大值是 223. （上海）正方形 ABCD 的边长为 2，E 是射线 CD 上的动点（不与点 D 重合） ，直线 AE 交直线 BC 于点 G，BAE 的平分线交射线 BC 于点 O （1）AB CM NP图 4OE FAB CM NP图 3O学优中考网 如图 8，当 CE= 32时，求线段 BG 的长；（2）当点 O 在线段 BC 上时，设 xEDC，BO=y，求 y 关于 x的函数解析式；（3）当 CE=2ED
10、 时，求线段 BO 的长解：（1）在边长为 2 的正方形 ABCD中， 32E，得 4，又 /ADBC，即 /G， 1，得 CG ， 3； （2 ）当点 O在线段 上时，过点 O作 F，垂足为点 F， 为 E的角平分线， 90AB， yBO 在正方形 中， /， ExD AD， xCG2 又 xE， ，得 12在 RtABG 中， AB， x， 90B， 2 AF， 2F OGB，即 yG，得 12xy， )0(x；（3 ）当 EDC2时，当点 在线段 上时，即 2x，由（2 ）得 3yOB； 当点 在线段 延长线上时，4， ，在 RtADE 中， 2AE设 AO交线段 于点 H， 是 的平分
11、线，即 HAE，又 CDB/， A H 2E 24 /， ，即 BO，得 224. （中山）如图 11，在梯形 ABCD 中，AD BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰PQR 中，QPR=120，底边QR=6cm，点B、C、 Q、R 在同一直线l 上，且 C、Q 两点重合，如果等腰PQR 以 1cm/秒的速度沿直线 l 箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形 ABCD 与等腰PQR 重合部分的面积记为 S 平方厘米。 （1 ）当 t=4 时，求 S 的值；（2）当 4t10 ，求 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值。（1）t 4 时 ,Q 与 B 重合，P 与 D 重合
12、，重合部分是 C 3225. 如图：抛物线经过 A（3 ，0） 、B（0，4 ） 、C （4 ， 0）三点 （1） 求抛物线的解析式 （2）已知 AD AB（D 在线段 AC 上） ，有一动点 P 从点 A 沿线段 AC 以每秒 1 个单位长度的速度移动；同时另一个动点 Q 以某一速度从点 B 沿线段 BC 移动，经过 t 秒的移动，线段 PQ 被 BD 垂直平分，求 t 的值； （3 ）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使 MQMC 的值最小？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由（1）解法一：设抛物线的解析式为 y a (x 3 )(x 4)因为 B（0，4
13、）在抛物线上，所以 4 a ( 0 3 ) ( 0 4 )解得 a 1/3所以抛物线解析式为 211()3yx解法二：设抛物线的解析式为 2()bc，依题意得：c4 且 934016a 解得13ab所以 所求的抛物线的解析式为 2143yx学优中考网 （2 ）连接 DQ，在 RtAOB 中， 22345ABO所以 ADAB 5，AC AD CD3 4 7，CD AC AD 7 5 2因为 BD 垂直平分 PQ，所以 PDQD，PQBD，所以PDBQDB因为 ADAB，所以ABDADB，ABD QDB，所以 DQAB所以CQDCBACDQ CAB ，所以CDQ CABDQCAB即 210,57D
14、Q所以 APAD DP AD DQ5 27 ， 5217t所以 t 的值是（3 ）答对称轴上存在一点 M，使 MQMC 的值最小理由：因为抛物线的对称轴为 12bxa所以 A（ 3，0） ，C（4，0）两点关于直线 x对称连接 AQ 交直线 12x于点 M，则 MQMC 的值最小过点 Q 作 QEx 轴，于 E，所以QEDBOA900DQAB ， BAOQDE， DQE ABOEDBOA即 107453QDE所以 QE 87，DE 6，所以 OE OD DE2 67 0，所以 Q（ 207， 8）设直线 AQ 的解析式为 (0)ykxm则20873km由此得 8412k所以直线 AQ 的解析式
15、为 841yx 联立 8241xy由此得1284xy所以 M 2(,)41则：在对称轴上存在点 M 8(,)2，使 MQMC 的值最小26. （龙岩）如图，等腰梯形 ABCD 中，AB=4 ，CD=9， C=60，动点 P 从点 C 出发沿 CD 方向向点 D 运动，动点 Q 同时以相同速度从点 D 出发沿 DA 方向向终点 A 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.（1 ）求 AD 的长；（2）设 CP=x，问当 x 为何值时PDQ 的面积达到最大，并求出最大值；（3）探究：在 BC 边上是否存在点 M 使得四边形 PDQM 是菱形？若存在，请找出点 M，并求出 BM 的长
16、；不存在，请说明理由.（1 ）解法一：如图 25-1过 A 作 AECD，垂足为 E .依题意，DE= 2549. 2 分在 RtADE 中，AD= 560cosD. 5 分解法二：如图 25-2过点 A 作 AEBC 交 CD 于点 E，则 CE=AB=4 . 2 分AED= C=60.又D= C=60 ，AED 是等边三角形 . AD= DE=94=5 . 5 分（2）解：如图 25-1CP=x，h 为 PD 边上的高, 依题意，PDQ 的面积 S 可表示为：S= 1PDh 6 分= 2(9x) xsin60图 25-1图 25-2学优中考网 = 43(9xx 2)= (x 9)2 163
17、8. 8 分由题意，知 0x5 . 9 分当 x= 2时（满足 0x5） ，S 最大值 = 1638. 10 分（3）证法一：如图 25-3假设存在满足条件的点 M，则 PD 必须等于 DQ . 11 分于是 9x=x，x= 2.此时，点 P、Q 的位置如图 25-3 所示，连 QP .PD Q 恰为等边三角形 .过点 Q 作 QMDC，交 BC 于 M，点 M 即为所求.连结 MP，以下证明四边形 PDQM 是菱形 .易证MCPQDP，D= 3 . MP=PDMPQD , 四边形 PDQM 是平行四边形 .又 MP=PD , 四边形 PDQM 是菱形 . 13 分所以存在满足条件的点 M，且
18、 BM=BCMC=5 29= 1. 14 分注 本题仅回答存在，给 1 分.证法二：如图 25-4假设存在满足条件的点 M，则 PD 必须等于 DQ . 11 分于是 9x=x，x= 2. 此时，点 P、Q 的位置如图 25-4 所示，PDQ 恰为等边三角形 .过点 D 作 DOP Q 于点 O，延长 DO 交 BC 于点 M，连结 PM、QM ，则 DM 垂直平分 PQ， MP=MQ .易知1=C .PQ BC .又DOPQ， MCMDMP= 21CD=PD即 MP=PD=DQ=QM四边形 PDQM 是菱形 13 分所以存在满足条件的点 M，且 BM=BCMC=5 29= 1 14 分注 本
19、题仅回答存在，给 1 分.27. （南平）如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片 OABC，O 为原图 25-3图 25-4点，点 A，C 分别在 x 轴，y 轴上，点 B 坐标为 (2)m， （其中 m0） ，在 BC 边上选取适当的点 E 和点 F，将 OCE 沿 OE 翻折，得到 OGE；再将 ABF 沿 AF 翻折，恰好使点 B 与点 G 重合，得到AGF，且 OGA=90 0 （1）求 m 的值；（2 ）求过点 O，G，A 的抛物线的解析式和对称轴；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得 OPG 是等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接答出所有满足条件的点 P 的坐标（不要
20、求写出求解过程） （1）解法一： ()B， ，由题意可知 2AG， 2OC， A2 分90O， 3 分2m又 ， m4 分解法二： ()B， ，由题意可知 2AG， 2OC， Am2 分90O， 45A3 分2coscosm4 分（2 ） 解法一：过 G作直线 Hx轴于 ，则 1H， ，故 (1)， 5 分又由（1）知 (20)A， ，设过 O， ， 三点的抛物线解析式为 2yaxbc抛物线过原点， c 6 分又 抛物线过 GA， 两点， 1420b 解得 12所求抛物线为 2yx8 分它的对称轴为 1 9 分解法二：过 作直线 H轴于 ，则 O， G，故 ()， 5 分又由（1）知 (20)
21、A， ， 点 O， 关于直线 l对称， 点 G为抛物线的顶点 6 分于是可设过 ， ， 三点的抛物线解析式为 2(1)yax抛物线过点 ()， ， 2(01)a，解得学优中考网 所求抛物线为 22(1)yxx8 分它的对称轴为 9 分（3 ）答：存在 10 分满足条件的点 P有 (0)， ， )， ， (12)， ， (1)， 28. （宁德）如图 1，在 RtABC 中，C90 ，BC8 厘米，点 D 在 AC 上，CD3 厘米点 P、Q 分别由 A、C 两点同时出发，点 P 沿 AC 方向向点 C 匀速移动，速度为每秒 k 厘米，行完 AC 全程用时 8秒；点 Q 沿 CB 方向向点 B
22、匀速移动，速度为每秒 1 厘米设运动的时间为 x 秒（0 X8） ，DCQ 的面积为 y1 平方厘米， PCQ 的面积为 y2 平方厘米求 y1 与 x 的函数关系，并在图 2 中画出 y1 的图象；如图 2，y 2 的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4 ，12 ） ，求点 P 的速度及 AC 的长；在图 2 中，点 G 是 x 轴正半轴上一点（0OG6 ，过 G 作 EF 垂直于 x 轴，分别交 y1、y 2 于点 E、F说出线段 EF 的长在图 1 中所表示的实际意义；当 0x时，求线段 EF 长的最大值解： CDQSDC21，CD 3，CQx， xy231图象如图所示方法一： PSP
23、CQ1，CP8kxk，CQx， kxky4282抛物线顶点坐标是（4，12） ， 141解得 23k则点 P 的速度每秒 厘米，AC12 厘米方法二：观察图象知，当 x=4 时，PCQ 面积为 12此时 PCACAP8k4k4k，CQ4由 CPQSPC21，得 124k解得 3k则点 P 的速度每秒 3厘米，AC12 厘米EG2 4 6 8 10 12108642yO xF方法三：设 y2 的图象所在抛物线的解析式是 cbxay2图象过（0，0） ， （4 ，12） ， （8，0 ） ， .86121cba，解得 .643cba， ， xy4322 CPQSPC1，CP 8kxk，CQx， k
24、xy2 比较得 3.则点 P 的速度每秒 厘米，AC12 厘米观察图象，知线段的长 EF y2y 1，表示 PCQ 与DCQ 的面积差（或PDQ 面积） 由得 x643.（方法二， xxy643238122 ）EFy 2y 1，EF xx92，二次项系数小于，在 60范围，当 3x时， 47EF最大29. （海南）如图 12，P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（P 与 A、C 不重合） ，点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB.（1 ）求证： PE=PD ； PEPD；（2）设AP=x, PBE 的面积为 y. 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； 当 x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值 .（1）证法一： 四边形 ABCD 是正方形，AC 为对角线， BC=DC, BCP =DCP=45. （1 分） PC=PC， PBCPDC （SAS ）. （2 分） PB= PD， PBC=PDC. （3 分）又 PB= PE ， PE =PD. （4 分） （i）当点 E 在线段 BC 上(E 与 B、C 不重合) 时， PB=PE， PBE=PEB，
