1、第 1 页 共 7 页3.4 基本不等式教案编写者：孟老师一、 【学习目标】1.应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；2ab2.基本不等式 等号成立条件3.利用基本不等式 求最大值、最小值。2ab二、 【自学内容和要求及自学过程】阅读教材第 97100 页内容回答问题（1）基本不等式 的几何背景是什么？2ab答案：如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（2）探究第（1）问出现的问题答案：1探究图形中的不等关系将图中
2、的“风车”抽象成如图，在正方形 ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为 a,b 那么正方形的边长为 。这样， 4 个直角三角形2ab的面积的和是 2ab，正方形的面积为 。由于 4 个直角三角形的面积小于正方2形的面积，我们就得到了一个不等式： 。当直角三角形变为等腰直角三角形，即 a=b 时，正方形 EFGH 缩为一个点，这时有。2ab2得到结论：一般的，如果 )“(2R,2 号时 取当 且 仅 当那 么 baba3思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 22)(baba当 ,()0,0,时 当 时所以， ，即2.2)(2（3）进一步探究基本不等式答案：1）从几何图
3、形的面积关系认识基本不等式 2ab特别的，如果 a0,b0,我们用分别代替 a、b ，可得 ，通常我们把上式写作： (0,)22）从不等式的性质推导基本不等式用分析法证明：要证 (1)ab只要证 a+b (2)要证（2） ，只要证 a+b- 0 （3）要证（3） ，只要证 （ - ） （4）2显然， （4）是成立的。当且仅当 a=b 时， （4）中的等号成立。3）理解基本不等式 的几何意义ab探究：课本第 98 页的“探究”在右图中，AB 是圆的直径，点 C 是 AB 上的一点，AC=a,BC=b。过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE，连接 AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式 的几何解
4、释2ab吗？易证tADtDB，那么D 2AB即D .ab这个圆的半径为 ，显然，它大于或等于 CD，即 ，其中当且仅2ab2当点 C 与圆心重合，即 ab 时，等号成立.因此：基本不等式 几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把 看作是正数 a、b 的等差中项， 看作是正数 a、b 的等比2中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称 为 a、b 的算术平均数，称 为 a、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（4）请记住几个重要不等式答案：1重要不等式：如果 )“(2R,2 号时 取当 且 仅 当那
5、么 bababa2基本不等式：如果 a,b 是正数，那么 ).“(号时 取当 且 仅 当 我们称 的算术平均数，称 的几何平均数ba,2为 ba,为成立的条件是不同的：前者只要求 a,b 都是实a和数，而后者要求 a,b 都是正数。三、 【综合练习与思考探索】1.教材例题讲解（教材第 99 页例 1、2）例 1（1）用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？（2）段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?解：（1）设矩形菜园的长为 x m，宽为 y m，则 x
6、y=100，篱笆的长为2（x+y） m。由 ，2xy可得 ， 。等号当且仅当 x=y 时成立，10()40xy此时 x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为 10m 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.（2）解法一：设矩形菜园的宽为 x m，则长为（362x）m，其中0x ，其面积 Sx（362x） 2x（362x）212121236()8当且仅当 2x362x，即 x9 时菜园面积最大，即菜园长 9m，宽为 9 m时菜园面积最大为 81 m2解法二：设矩形菜园的长为 x m.,宽为 y m ,则 2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为 xy m 。由2，可得 189xy81
7、当且仅当 x=y,即 x=y=9 时，等号成立。因此，这个矩形的长、宽都为 9m 时，菜园的面积最大，最大面积是 81m2归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若 a，bR ，且 abM，M 为定值，则 ab ，等号当且仅当 ab 时成立.42M2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若 a，bR ，且abP，P 为定值，则 ab2 ，等号当且仅当 ab 时成立.P例 2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800m3,深为 3m，如果池底每 1m2的造价为 150 元，池壁每 1m2的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此
8、题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。解：设水池底面一边的长度为 xm，水池的总造价为 l 元，根据题意，得)160(7240xl29760470241x当 .,16有 最 小 值时即 lx因此，当水池的底面是边长为 40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是 297600 元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.2.当堂练习教材 100 页练习 1、2、3、4四、 【作业】教材第 100 页习题 3.4 全部五、 【小结】熟练运用基本不等式六、 【教学反思】（选用学优高考网孟老师数学电子教辅，能让你的数学成绩更上一层楼！孟老师原创电子教辅网址：http:/
