1、第二章 2.3 等差数列的前 n 项和 编号 006课上导学案（一）学习目标 【学习目标】1理解等差数列前 n 项和公式的推导过程2掌握等差数列前 n 项和公式及其应用【学习重点】等差数列前 n 项和公式及其应用.（二）知识梳理: 1数列的前 n 项和：用 Sn 表示，即 Sn_.数列的前 n 项和必须从第 1 项开始，逐项相加到第 n 项，不能是其中几项的和2前 n 项和公式 Sn 上述两个公式共涉及到 a1，a n，S n，n，d 五个量，通常已知其中三个，可求另外两个，即“知三求二 ”，而且方法就是解方程组，这也是解决等差数列问题的策略当已知首项 a1，末项 an，项数 n 时，常用公式
2、 Sn ；当已知首项 a1，公差n(a1 an)2d，项数 n 时，常用公式 Snna 1 d.n(n 1)2所用的推导方法为：_.3等差数列前 n 项和公式与函数的关系剖析：等差数列的前 n 项和公式 Snna 1 d 可以写为 Sn n2 n.n(n 1)2 d2 (a1 d2)若令 A，a 1 B，则上式可以写成 SnAn 2Bn ，即 Sn 是关于项数 n 的函数d2 d2当 A0，B 0 时( 此时 a10，d0) ，S n0 是关于 n 的常数函数；当 A0，B 0 时( 此时 a10，d0)，S nBn 是关于 n 的一次函数(正比例函数)；当 A0 时(此时 d0)，S nAn
3、 2Bn 是关于 n 的二次函数从上面的分析，我们可以看出：(1)一个数列a n是等差数列，则其前 n 项和公式 Snf(n)是关于 n 的二次函数或一次函数或常数函数，且其常数项为 0，即 SnAn 2Bn(A ，B 为常数)(2)如果一个数列的前 n 项和的表达式为 SnAn 2 BnC(A，B ，C 为常数)，则当 C0时，数列 an不是等差数列(3)当 d0 时，点(1 ，S 1)，(2 ，S 2)，(3，S 3)，(n，S n)，在抛物线 y x2 xd2 (a1 d2)的图象上(4)由二次函数图象的性质可知，当 d0 时，a n是递增数列，S n 有最小值；当 d0 时，an是递减
4、数列， Sn 有最大值（三）合作探究：根据项的正负来确定等差数列前 和 Sn 的最值1的最大值（1）若 ，则数列的前面若干项为 项(或 0)，所以将这些项相加即得 Sn 的最 10,ad值；（2）若 ，则数列的前面若干项为 项（或 0） ，所以将这些项相加即得 Sn 的10,ad最 值；（3）若 ，则 是 Sn 的最 值；1,（4）若 ，则 是 Sn 的最 值.0ad2等差数列前 项和的性质n（1）若项数为 ，则 ，且 ， ；2()N21()nna=Snd偶 奇 1na奇偶（2）若项数为 ，则 ，且 ，1()n21()nnS n偶 奇 S奇偶（3）数列 是等差数列，前 项和为 ，则 ， nan
5、232,nnnS(1)3knn成等差数列；（4）若 ， 均为等差数列，且前 项和分别是 ，则nb nAB和 21naAb典型例题 题型一 等差数列前 n 项和的有关计算【例题 1】已知等差数列a n中，(1)a1 ，d ，S n15，求 n 及 an；32 12(2)a11，a n 512，S n1 022，求 d.题型二 等差数列前 n 项和的最值问题【例题 2】数列a n是等差数列， a150，d0.6.(1)该数列前多少项都是非负数？(2) 求此数列的前 n 项和 Sn 的最大值【例题 3】在等差数列数列 中，已知 ， ，求数列 的前 n 项和.na601a127na【例题 4】已知两个
6、等差数列a n，b n，它们的前 n 项和分别记为 Sn，T n，若 ，SnTn n 3n 1求 .a10b10当堂检测：1.等差数列 an中，a 11 ，d1，则 Sn 等于 ( ) An Bn(n1) Cn(n1) D.n(n 1)22. 数列 an的前 n 项和为 Sn，若 Sn2n 217n，则当 Sn 取得最小值时，n 的值为( )A4 或 5 B5 或 6 C4 D53. 在等差数列数列 和 中， ，则数列 的前 100nb10,75,1011 baba nba项和为 （ ）A、0 B、100 C、1000 D、100004. 一个等差数列的前 10 项之和为 100，前 100
7、项之和为 10，求其前 110 项之和为_5.等差数列 an中，a n2 n1，则其前 n 项和 Sn _. 6.已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a21，S 510，则 S7_.7. 等差数列a n的前 m 项和为 3，前 2m 项和为 10，求它的前 3m 项和8.等差数列 an中，a 3 5，a 61，此数列的通项公式为 _，设 Sn 是数列a n的前 n 项和，则 S8 等于_9.等差数列 an和b n的前 n 项和分别是 Sn，T n，且 ，则 _.52ab9T10.在等差数列 中， 求 的最大值.117925,11.已知数列 为等差数列， ，求数列 的前 n 项和.na
8、nan320na总结评价知识层面：方法层面：能力层面： 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差【例题 1】 解：(1)S nn 15，32 n(n 1)2 ( 12)整理，得 n27n600，解得 n12 或 n5(舍去)，a 12 (121) 4.32 ( 12)(2)由 Sn 1 022，n(a1 an)2 n( 512 1)2解得 n4.又由 ana 1(n1)d，即5121(41) d，解得 d171.【例题 2】 解：(1)由 a150，d0.6，知 an500.6(n1)0.6n50.6.令Error!即Error!解得 m ，25
9、03 2533又 mN *，则 m84，即前 84 项都是非负数(2)方法一：由(1) 得 a840，a 850，则 Sn 的最大值是 S845084 (0.6) 2 108.4.84832方法二：S n50n (0.6) 0.3n 250.3n0.3 2 ，由二次函数的性质知，n(n 1)2 (n 5036) 5032120当 n84 时，S n 取最大值 S842 108.4.【例题 3】 解：当 n2 时，a nS nS n1 n 22(n1) 222n1；当 n1 时，a 1S 11 223，不适合上式，故 anError!【例题 4】正解： a10b10 a10 a10b10 b10 a1 a19b1 b19 .19(a1 a19)219(b1 b19)2 S19T19 19 319 1 1110【达标检测】1D 2.C 3. 4. 5. n2 6.21 7.a 8a n2n11 16
