1、32.2 & 3.2.3 直线的两点式方程、直线的一般式方程提出问题某区商业中心 O 有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东 P 处，如图所示公园到东大街、北大街的垂直距离分别为 1 km 和 4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于 A、B 两处，并使区商业中心 O 到 A、B 两处的距离之和最短问题 1：在上述问题中，实际上解题关键是确定直线 AB，那么直线 AB 的方程确定后，点 A、B 能否确定？提示：可以确定问题 2：根据上图知建立平面坐标系后，A、B 两点的坐标值相当于在 x 轴、y 轴上的什么量？提示：在 x 轴、y 轴上的截距问
2、题 3：那么若已知直线在坐标轴的截距可以确定直线方程吗？提示：可以导入新知直线的两点式与截距式方程两点式 截距式条件P1(x1，y 1)和 P2(x2，y 2) 其中x1x 2，y 1y 2在 x 轴上截距 a，在 y 轴上截距 b图形方程y y1y2 y1 x x1x2 x1 1xa yb适用范围 不表示垂直于坐标轴的直线不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线化解疑难1要注意方程 和方程( yy 1)(x2x 1)( xx 1)(y2y 1)形式不同，适用范y y1y2 y1 x x1x2 x1围也不同前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线后者为整式形式方程，适用于过任何
3、两点的直线方程2直线方程的截距式为 1，x 项对应的分母是直线在 x 轴上的截距，y 项对应的xa yb分母是直线在 y 轴上的截距，中间以“”相连，等式的另一端是 1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如： 1， 1 就不是直线的截距式方程.x3 y4 x3 y4提出问题观察下列直线方程直线 l1：y2 3(x1)直线 l2：y3x2直线 l3： y 23 2 x 14 1直线 l4： 1x4 y3问题 1：上述直线方程的形式分别是什么？提示：点斜式、斜截式、两点式、截距式问题 2：上述形式的直线方程能化成二元一次方程 AxByC0 的形式吗？提示：能问题 3：二元一次方程 AxByC0
4、 都能表示直线吗？提示：能导入新知1直线与二元一次方程的关系(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于 x，y 的二元一次方程表示(2)每个关于 x，y 的二元一次方程都表示一条直线2直线的一般式方程的定义我们把关于 x，y 的二元一次方程 AxByC 0( 其中 A， B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程，简称一般式化解疑难1求直线的一般式方程的策略(1)当 A 0 时，方程可化为 x y 0，只需求 ， 的值；若 B0，则方程化为BA CA BA CAx y 0，只需确定 ， 的值因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程AB CB AB CB(2)在求直线方程时，设一
5、般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式2直线的一般式转化为其他形式的步骤(1)一般式化为斜截式的步骤移项得 By AxC；当 B0 时，得斜截式：y x .AB CB(2)一般式化为截距式的步骤把常数项移到方程右边，得 AxBy C；当 C0 时，方程两边同除以 C，得 1；Ax C By C化为截距式： 1.x CAy CB由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式例 1 三角形的三个顶点是 A(1,0)，B(3，1) ，C (1,3)，求三角形三边所在直线的方程解 由两点式
6、，直线 AB 所在直线方程为： ，即 x4y10.y 10 1 x 3 1 3同理，直线 BC 所在直线方程为： ，即 2xy 50.y 3 1 3 x 13 1直线 AC 所在直线方程为： ，即 3x2y 30.y 30 3 x 1 1 1类题通法求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系活学活用1(1)若直线 l 经过点 A(2，
7、1)，B(2,7) ，则直线 l 的方程为_(2)若点 P(3，m)在过点 A(2， 1)，B(3,4) 的直线上，则 m_.解析：(1)由于点 A 与点 B 的横坐标相等，所以直线 l 没有两点式方程，所求的直线方程为 x2.(2)由两点式方程得，过 A，B 两点的直线方程为 ，即 xy10.又y 14 1 x 2 3 2点 P(3，m) 在直线 AB 上，所以 3m 10，得 m2.答案：(1)x2 (2) 2例 2 直线 l 过点 P( ，2) ，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点，O 为坐标43原点(1)当AOB 的周长为 12 时，求直线 l 的方程(2)当AOB 的
8、面积为 6 时，求直线 l 的方程解 (1) 设直线 l 的方程为 1(a0，b0)，xa yb由题意知，ab 12.a2 b2又因为直线 l 过点 P( ，2) ，43所以 1，即 5a232a480，43a 2b解得Error!Error!所以直线 l 的方程为 3x4y120或 15x8y360.(2)设直线 l 的方程为 1(a0，b0) ，xa yb由题意知，ab12， 1，43a 2b消去 b，得 a26a80，解得Error!Error!所以直线 l 的方程为 3x4y120 或 3xy60.类题通法用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与 x 轴和
9、 y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论活学活用2求经过点 A(2,2) ，并且和两坐标轴围成的三角形面积是 1 的直线方程解：设直线在 x 轴、y 轴上的截距分别是 a、b，则有 S |ab| 1.12ab2.设直线的方程是 1.xa yb直线过点(2,2)，代入直线方程得 1，即 b . 2a 2b 2aa 2ab 2.当 2 时，化简得 a2a20，方程无解；2
10、a2a 2 2a2a 2当 2 时，化简得 a2a20，2a2a 2解得Error!或Error!直线方程是 1 或 1，即 2xy20 或 x2y20.x 1 y 2 x2 y1例 3 (1)已知直线 l1：2x(m1)y40 与直线 l2：mx3y20 平行，求 m 的值；(2)当 a 为何值时，直线 l1：(a2) x(1 a)y10 与直线 l2：( a1)x(2a3)y20 互相垂直？解 (1) 法一： 由 l1：2x (m1) y40.l2：mx3y20.当 m0 时，显然 l1 与 l2 不平行当 m0 时，l 1l 2，需 .2m m 13 4 2解得 m2 或 m3.m 的值
11、为 2 或3.法二：令 23m(m1)，解得 m3 或 m2.当 m3 时，l 1：xy 20，l 2：3x3y20，显然 l1 与 l2 不重合，l 1l 2.同理当 m2 时，l 1：2x3y40，l 2：2x3y20，l1 与 l2 不重合，l 1l 2，m 的值为 2 或3.(2)法一：由题意，直线 l1l 2，若 1a0，即 a1 时，直线 l1：3x 10 与直线 l2： 5y20，显然垂直若 2a30，即 a 时，直线 l1：x 5y20 与直线 l2：5x40 不垂直32若 1a0，且 2a30，则直线 l1，l 2 的斜率 k1，k 2 都存在，k 1 ，k 2a 21 a，
12、当 l1l 2 时，k 1k21，a 12a 3即( )( )1，所以 a1.a 21 a a 12a 3综上可知，当 a1 或 a1 时，直线 l1l 2.法二：由直线 l1l 2，所以(a2)(a 1)(1a)(2 a3)0，解得 a1.将 a1 代入方程，均满足题意故当 a1 或 a1 时，直线 l1l 2.类题通法1直线 l1：A 1xB 1yC 10，直线 l2：A 2xB 2yC 20，(1)若 l1l 2A 1B2A 2B10 且 B1C2B 2C10(或 A1C2A 2C10) (2)若 l1l 2A 1A2B 1B20.2与直线 Ax ByC0 平行的直线方程可设为 AxBy
13、m 0，(mC)，与直线Ax ByC 0 垂直的直线方程可设为 BxAy m 0.活学活用3(1)求与直线 3x4y10 平行且过点(1,2)的直线 l 的方程；(2)求经过点 A(2,1)且与直线 2xy100 垂直的直线 l 的方程解：(1)法一：设直线 l 的斜率为 k，l 与直线 3x 4y10 平行，k .34又l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为 y2 (x 1)，即 3x4y110.34法二：设与直线 3x4y 10 平行的直线 l 的方程为 3x4ym0.l 经过点(1,2)，3142m0，解得 m11.所求直线方程为 3x4y 110.(2)法一：设直线 l 的斜率为 k
14、.直线 l 与直线 2xy100 垂直，k(2)1，k .12又l 经过点 A(2,1)，所求直线 l 的方程为 y1 (x2) ，即 x2y 0.12法二：设与直线 2xy 100 垂直的直线方程为 x2ym 0.直线 l 经过点 A(2,1)，221m0，m0.所求直线 l 的方程为 x2y0.3.探 究 直 线 在 坐 标 轴 上 的 截 距 问 题典例 求过点 A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线 l 的方程解 当直线过原点时，它在 x 轴、y 轴上的截距都是 0，满足题意此时，直线的斜率为 ，所以直线方程为 y x.12 12当直线不过原点时，由题意可设直线方程为 1
15、，又过点 A，所以 1(1)xa yb 4a 2b因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a| |b|(2)由(1)(2)联立方程组，解得Error!或Error!所以所求直线的方程为 1 或 1，x6 y6 x2 y 2化简得直线 l 的方程为 xy6 或 xy2.综上，直线 l 的方程为 y x 或 xy6 或 xy2.12多维探究1截距相等问题求过点 A(4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线 l 的方程解：(1)当直线过原点时，它在 x 轴、y 轴上截距都是 0，满足题意，此时直线斜率为 ，12所以直线方程为 y x.12(2)当直线不过原点时，由题意可设直线方程为 1，又过 A(
16、4,2)，xa yaa6，方程为 xy60，综上，直线方程为 y x 或 xy60.122截距和为零问题求过点 A(4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线 l 的方程解：(1)同上(2)当直线不过原点时，由题意可设直线方程为 1.又过 A(4,2)，xa ya 1，即 a2，4 2axy2.综上，直线 l 的方程为 y x 或 xy2.123截距成倍数问题求过点 A(4,2)且在 x 轴上截距是在 y 轴上截距的 3 倍，求直线 l 的方程解：(1)同上(2)当直线不过原点时，由题意可设直线方程为 1，x3a ya又直线过 A(4,2)，所以 1，43a 2a解得 a ，103方程为 x3
17、y100.综上，所求直线方程为 y x 或 x3y100.124截距和是定数问题求过点 A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为 12 的直线 l 的方程解：设直线 l 的方程为 1，xa yb由题意Error!4b2aab，即 4(12a) 2aa(12 a)，a 214a480，解得 a6 或 a8.因此Error!或Error!所求直线 l 的方程为 xy60 或 x2y80.方法感悟如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等” 、 “截距的绝对值相等” 、 “截距互为相反数” 、 “在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的 m 倍( m0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑
18、“零截距”的情况随堂即时演练1直线 1 在两坐标轴上的截距之和为( )x3 y4A1 B1C7 D7解析：选 B 直线在 x 轴上截距为 3，在 y 轴上截距为4，因此截距之和为1.2直线 3x2y 4 的截距式方程是( )A. 1 B. 43x4 y2 x13 y12C. 1 D. 13x4 y 2 x43 y 2解析：选 D 求直线方程的截距式，必须把方程化为 1 的形式，即右边为 1，左xa yb边是和的形式3直线 l 过点(1,2)和点(2,5)，则直线 l 的方程为_ 解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得： ，整理得y 25 2 x 12 1xy30.答案：xy304斜率为
19、 2，且经过点 A(1,3)的直线的一般式方程为_ 解析：由直线点斜式方程可得y32( x1) ，化成一般式为 2xy10.答案：2xy105三角形的顶点坐标为 A(0，5) ，B(3,3)，C(2,0)，求直线 AB 和直线 AC 的方程解：直线 AB 过点 A(0，5)，B( 3,3)两点，由两点式方程，得 .y 53 5 x 0 3 0整理，得 8x3y 150.直线 AB 的方程为 8x3y 150.又直线 AC 过 A(0，5) ，C(2,0)两点，由截距式得 1，x2 y 5整理得 5x2y100，直线 AC 的方程为 5x2y100.课时达标检测一、选择题1平面直角坐标系中，直线 x y20 的斜率为( )3A. B33 33C. D3 3答案：B2如果 axbyc 0 表示的直线是 y 轴，则系数 a，b，c 满足条件( )Abc0 Ba0Cbc 0 且 a0 Da0 且 bc0解析：选 D y 轴方程表示为 x0，所以 a，b，c 满足条件为 a0 且 bc0.3.已知直线 axby c 0 的图象如图，则 ( )A若 c0，则 a0，b0B若 c0，则 a0，b0，b0解析：选 D 由 axbyc0，得斜率 k ，直线在 x、y 轴上的截距分别为ab 、 .ca cb
