1、吉林省舒兰市第一中学高中数学3.3.1 几何概型导学案 新人教 A 版必修 3【学习目标】1了解几何概型与古典概型的区别，知道均匀分布的含义2理解几何概型的特点和计算公式3会求几何概型的概率【学习重点】利用几何概型计算概率课 前 预 习 案【知识梳理】问题(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？问题(2)试验 1 .取一根长度为 3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断 .问剪得两段的长都不小于 1 m 的概率有多大？试验 2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为 122 cm,靶心直径为 12.
2、2 cm.运动员在 70 m 外射箭.假设射箭都能射中靶面 内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？问题(3)问题(1)(2) 中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么?(4)什么是几何概型?它有什么特点?(1)定义如果每个事件发生的概率只与构成 该事件区域的_(面积或体积)成_，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型问题(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式?(2)计算公式在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式是：P(A)_ .2均匀分布当 为区间a ， b 上的任意实数，并且是_的，我们称 服从a，b上的均匀分布， 为a，b上的均匀_自主小测1、 一个红绿灯
3、路口，红灯亮的时间为 30 秒，黄灯亮的时间为 5 秒，绿灯亮的时间为 45 秒当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是( )A B C D112 38 116 562、 服从3,40 上的均匀分布，则 的值不能等于( )A15 B25 C35 D453、在长度为 1 的线段 AB 上随机地选取一点 P，则得到|PA| 2的概率是_课上导学案教师点拨：1、几何概型的两个特点，一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的2、几何概型的概率计算公式中的“长度”并不是实际意义上的长度，它的意义取决于试验的全部结果构成的区域，当区域分别是线段
4、、平面图形和几何体时，相应的“长度”分别是线段的长度、平面图形的面积和几何体的体积3、古典概型和几何概型有什么区别和联系?几何概型的特征：一是无限性，试验中所有出现的结果(基本事件) 有无限个，即有无限个不同的基本事件；二是等可能性，每个结果出现的可能性是均等的而古典概型的特征：一是有限性，指在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；二是等可能性，指每个结果出现的可能性(概率)是均等的因此判断一个概率模型属于古典概型还是属于几何概型的步骤是：(1)确定一次试验中每个结果( 基本事件)的可能性(概率) 是否均等，如果不均等，那么既不属于古典概型也不属于几何概型；(2)如
5、果试验中每个结果出现的可能性是均等的，再判断试验结果的有限性当试验结果有有限个时，这个概率模型属于古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率模型属于几何概型【例题讲解】【例题 1】 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待的时间不多于 10 分钟的概率为_反思：如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转 化为实际意义上的线段（或者区间）长度，这种概率称为长 度型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：P(A) .事 件 A构 成 的 区 域 长 度全 部 试 验 结 果 构 成 的 区 域 长 度【例题 2】 取一个边长为 4a 的正方形及其内切圆，如图所示，随机向正方形内丢一
6、粒豆子，求豆子落入圆内的概率 反思：如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为平面图形的面积，这种概率称为面积型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：P(A) .构 成 事 件 A的 区 域 面 积全 部 试 验 结 果 构 成 的 区 域 面 积【例题 3】 有一杯 2 升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出 0.1 升水，求这一小杯水中含有这个细菌的概率 反思：如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为几何体的体积，这种概率称为体积型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：P(A) .构 成 事 件 A的 区 域 体 积全 部 试 验 结 果 构 成 的 区 域 体 积【例题
7、 4】 向面积为 S 的矩形 ABCD 内任投一点 P，试求PBC 的面积小于 的概率S4【例题 5】假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上 6:30-7:30 之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上 7:00-8:00 之间，问你父亲在离开家钱能得到报纸 的概率是多少？【当堂检测】1一只小蜜蜂在一个棱长为 30的正方体玻璃容器内随意地飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6 个表面中至少有一个面的距离不大于 10，则就有可能撞到玻璃上而不安全，若始终保持与正方体玻璃容器 6 个表面的距离均大于 10，则飞行是安全的假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置的可能性相同，那么蜜蜂飞
8、行是安全的概率是( )A18B16C127D382在平面直角坐标系 xOy 中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域，E 是到原点的 距离不大于 1 的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则所投的点落在 E 中的概率是_3.一只蚂蚁在三边边长分别为 3,4,5 的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的概率为_4如图，在直角坐标系内，射线 OT 落在 60角的终边上，任作一条射线 OA，求射线 OA 落在xOT 内的概率【问题与收获】知识梳理答案：1(1)长度 比例(2)构 成 事 件 A的 区 域 长 度 或 面 积 或 体 积 试 验
9、的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 或 面 积 或 体 积 2等可能 随机数自主小测答案：1、 C 设看到黄灯亮为事件 A，构成事件 A 的“长度”等于 5，试验的全部结果所构成的区域长度是 3054580，所以 P(A) .580 1162、 D 由于 X3,40，则 3X40，则 X45.3、1解析：设线段 AB 的中点为 C，如图所示，则点 P 在线段 AC 上时满足|PA|12，设|PA| 成立为事件 M，则有 P(M)AB12 .例题答案：【例题 1】 6，解析见教材.【例题 2】 解：记“豆子落入圆内”为事件 A，则 P(A) .故豆子落入圆内的概率为 .圆 的 面
10、 积正 方 形 的 面 积 2a24a2 4 4【例题 3】 解：判断这个细菌所在的位置看成一次试验，设小水杯中含有这个细菌为事件 A，则事件 A构成的区域体积是 0.1 升，全部试验结果构成的区域体积是 2 升，所以 P(A) 0.05.0.12【例题 4】 正解：如图所示，设PBC 的边 BC 上的高为 PF，线段 PF 所在的直线交 AD 于 E，当PBC的面积等于 时，即 BCPF BCEF，有 PF EF.过点 P 作 GH 平行于 BC 交 AB 于 G，交 CD 于 H. S4 12 14 12则满足 SPBC 的点 P 的轨迹是线段 GH.S4所以满足条件“PBC 的面积小于
11、”的点 P 应落在矩形区域 GBCH 内，设“PBC 的面积小于 ”为事件S4 S4A，则 A 表示的范围是 .(0，S2)所以由几何概型求概率的公式，得 P(A) .S2S 12【例题 4】见教材（略）当堂检测答案：1、C 蜜蜂的飞行区域是棱长为 30 的正方体内部 V30327 000，蜜蜂安全飞行的区域是棱长为 30101010 的正方体内部 V1031 000，所以蜜蜂飞行是安全的概率是V127.2、16设点 P(x，y)是区域 D 内任意一点，则|2,xy即2,xy 则区域 D 是直线 x2 与y2 围成的正方形，如图所示区域 E 是以原点为圆心，半径为 1 的圆面设点 P 落在区域 E 中为事件 A，则 P(A)EDS214 6.3、 解析：如图所示，ABC 中，AB3，AC4，BC 5，12则ABC 的周长为 34512.设某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 为事件 A，则 P(A) .DE FG MNBC CA AB 3 2 112 124、解：记事件 M 为“射线 OA 落在xOT 内”，因为xOT60，所以 P(M)6031.即射线 OA 落在xOT 内的概率为16.
