1、1中档大题分类练(四) 立体几何（建议用时：60 分钟）1如图 57，已知多面体 PEABCD的底面 ABCD是边长为 2的菱形，且 PA平面ABCD， ED PA，且 PA2 ED2.图 57(1)证明：平面 PAC平面 PCE；(2)若 ABC60，求点 P到平面 ACE的距离解 (1)证明：连接 BD，交 AC于点 O，设 PC中点为 F，连接 OF， EF.因为 O， F分别为 AC， PC的中点，所以 OF PA，且 OF PA，12因为 DE PA，且 DE PA，所以 OF DE，且 OF DE.12所以四边形 OFED为平行四边形，所以 OD EF，即 BD EF. 因为 PA
2、平面 ABCD， BD平面 ABCD，所以 PA BD.因为 ABCD是菱形，所以 BD AC.因为 PA AC A，所以 BD平面 PAC, 因为 BD EF，所以 EF平面 PAC，因为 EF平面 PCE，所以平面 PAC平面 PCE. (2)因为 ABC60，所以 ABC是等边三角形，所以 AC2.又因为 PA平面 ABCD， AC平面 ABCD， PA AC， S PAC PAAC2，12因为 EF面 PAC，所以 EF是三棱锥 EPAC的高，EF DO BO ，32 VPACE VEPAC S PACEF 2 ，13 13 3 233 DE PA， PA平面 ABCD， DE平面 A
3、BCD， DE AD， DE CD， DE1， AE CE ， S ACE22 2，512所以点 P到平面 ACE的距离 h . VPACE13S ACE23323 32如图 58，在四棱锥 PABCD中，四边形 ABCD是菱形， PAD BAD，平面 PAD平面 ABCD， AB4， PA PD， M在棱 PD上运动图 58(1)当 M在何处时， PB平面 MAC；(2)已知 O为 AD的中点， AC与 OB交于点 E，当 PB平面 MAC时，求三棱锥 EBCM的体积解 (1)如图，设 AC与 BD相交于点 N，当 M为 PD的中点时， PB平面 MAC，证明：四边形 ABCD是菱形，可得：
4、 DN NB，又 M为 PD的中点，可得： DM MP， NM为 BDP的中位线，可得 NM PB，又 NM平面 MAC， PB平面 MAC， PB平面 MAC. (2) O为 AD的中点， PA PD，则 OP AD，又 PAD BAD， OB AD，且 OB2 ，又 AEO CEB， .3OEBE OABC 123 BE OB . S EBC 4 .23 433 12 433 833又 OP4 2 ，点 M为 PD的中点，32 3 M到平面 EBC的距离为 .3 VEBCM VMEBC .13 833 3 833在三棱柱 ABCA1B1C1中， AB BC CA AA12，侧棱 AA1平面
5、 ABC，且 D， E分别是棱 A1B1， AA1的中点，点 F在棱 AB上，且 AF AB.14图 59(1)求证： EF平面 BDC1；(2)求三棱锥 DBEC1的体积解 (1)取 AB的中点 O，连接 A1O， AF AB， F为 AO的中点，又 E为 AA1的中点， EF A1O，14 A1D A1B1， BO AB， AB綊 A1B1，12 12 A1D綊 BO，四边形 A1DBO为平行四边形， A1O BD ， EF BD，又 EF平面 BDC1， BD平面 BDC1， EF平面 BDC1. (2) AA1平面 A1B1C1， C1D平面 A1B1C1， AA1 C1D， A1C1
6、 B1C1 A1B12， D为 A1B1的中点，4 C1D A1B1， C1D ，3又 AA1平面 AA1B1B， A1B1平面 AA1B1B， AA1 A1B1 A1， C1D平面 AA1B1B， AB AA12， D， E分别为 A1B1， AA1的中点， S BDE2 2 12 12 11 .12 12 12 32 VDBEC1 VC1BDE S BDEC1D .13 13 32 3 324如图 60所示，在四棱锥 PABCD中， BCD， PAD都是等边三角形，平面 PAD平面 ABCD，且 AD2 AB4， CD2 .3图 60(1)求证：平面 PCD平面 PAD；(2)E是 AP上
7、一点，当 BE平面 PCD时，求三棱锥 CPDE的体积解 (1)因为 AD4， AB2， BD2 ，3所以 AD2 AB2 BD2，所以 AB BD， ADB30，又因为 BCD是等边三角形，所以 ADC90，所以 DC AD，因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD，所以 CD平面 PAD，因为 CD平面 PCD，所以平面 PCD平面 PAD.(2)过点 B作 BG CD交 AD于 G，过点 G作 EG PD交于 AP于点 E，因为 BG CD， BG平面 PCD， CD平面 PCD，所以 BG平面 PCD，同理可得 EG平面 PCD，所以平面 BEG平面 PCD，因
8、为 BE平面 BEG，所以 BE平面 PCD.因为 EG PD，所以 ，在直角三角形 BGD中， BD2 ， BDG30，PEPA DGDA 3所以 DG2 cos 303，所以 ，3PEPA DGDA 34在平面 PAD内过 E作 EH PD于 H，因为 CD平面 PAD， EH平面 PAD，所以 CD EH，因为 PD CD D，所以 EH平面 PCD，5所以 EH是点 E到平面 PCD的距离，过点 A作 AM PD于 M，则 AM 42 ，32 3由 AM EH，得 ，所以 EH .EHAM PEPA 34 323因为 S PCD 42 4 ，所以 VCPDE 4 6. 12 3 3 1
9、3 3 323(教师备选)1如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长均为 2， A1在底面 ABC内的射影O为底面 ABC的中心，如图所示(1)求异面直线 AA1与 BC1所成角的大小；(2)求三棱锥 C1BCA1的体积解 (1)连接 AO，并延长与 BC交于点 D，则 D是 BC边上的中点因为点 O是正 ABC的中心，且 A1O平面 ABC，所以 BC AD， BC A1O.因为 AD A1O O，所以 BC平面 ADA1.所以 BC AA1.又 AA1 CC1，所以 BC CC1，所以异面直线 AA1与 BC1所成的角为 BC1C.因为 BC CC12，6所以异面直线 AA1
10、与 BC1所成角的大小为 .4(2)因为三棱柱的所有棱长都为 2，所以可求得 AD ， AO AD ，323 233A1O .AA21 AO2263因为 S ABC 2 ，12 3 3所以 VABCA1B1C1 S ABCA1O2 ，2VA1BCC1B1 VABCA1B1C1 VA1ABC .423所以 VC1BCA1 VA1BCC1 VA1BCC1B1 .12 2232如图，在直角梯形 ABCD中， AD BC， BAD90， AB BC AD a， E是 AD12的中点， O是 AC与 BE的交点将 ABE沿 BE折起到图中 A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.图 图(1)证明： CD
11、平面 A1OC；(2)当平面 A1BE平面 BCDE时，四棱锥 A1BCDE的体积为 36 ，求 a的值2解 (1)证明：在图题中，连接 EC(图略)，因为 AB BC AD a， BAD90， AD BC，12E是 AD的中点，所以四边形 ABCE为正方形，所以 BE AC，即在图题中， BE A1O， BE OC.又 A1O OC O，从而 BE平面 A1OC，又 CD BE，所以 CD平面 A1OC.(2)由已知，平面 A1BE平面 BCDE，且平面 A1BE平面 BCDE BE，又由(1)可知 A1O BE，所以 A1O平面 BCDE，即 A1O是四棱锥 A1BCDE的高，7由图 1知， A1O AB a，22 22平行四边形 BCDE的面积 S BCAB a2，从而四棱锥 A1BCDE的体积V SA1O a2 a a3，13 13 22 26由 a336 ，解得 a6.26 2
