1、2.1.2 椭圆的简单几何性质1.椭圆 C1:=1 与椭圆 C2:x2+=1 在扁圆程度上( )A.C1 较扁B.C2 较扁C.C1 与 C2 的扁圆程度一样D.不能确定答案:B 来源 :gkstk.Com解析:C 1 的离心率 e1=,C2 的离心率 e2=,且 e1b0)的左、右焦点,P 为直线 x=上一点,F 2PF1 是底角为 30的等腰三角形,则 E 的离心率为 ( )A. B. C. D.答案:C解析:设直线 x=与 x 轴交于点 M,则PF 2M=60,在 RtPF 2M 中,PF 2=F1F2=2c,F2M=-c,故 cos 60=,解得,故离心率 e=.来源:学优4.椭圆=1
2、 的一个焦点为 F1,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上,那么点 M 的纵坐标是( )A. B. C. D.答案:A 来源 :学优 gkstk解析:由=1 知 a=2,b=.c=3,不妨取 F1(-3,0),F2(3,0).又 PF1 的中点 M 在 y 轴上,则 OMPF 2,PF 2x 轴.设 P(3,yP),则=1,y P=,故 yM=.5.若直线 y=x+与椭圆 x2+=1(m0 且 m1)只有一个公共点,则该椭圆的长轴长为( )A.1 B. C.2 D.2答案:D解析:联立方程消去 y 得(1+m 2)x2+2x+6-m2=0.由已知 =24-4(1+m2)
3、(6-m2)=0,解得 m2=5 或 m2=0(舍).椭圆的长轴长为 2.来源:学优二、填空题6.一个顶点为(0,2), 离心率 e=,坐标轴为对称轴的椭圆方程为 . 答案:=1 或=1解析:(1)当椭圆焦点在 x 轴上时,由已知得 b=2,e=,a 2=,b2=4,方程为=1.(2)当椭圆焦点在 y 轴上时,由已知得 a=2,e=,a 2=4,b2=3,方程为=1.7.已知椭圆 C:+y2=1 的两焦点为 F1,F2,点 P(x0,y0)满足 0)的左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆相交于点 A,B,FAB 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是 . 答案:解析:如图所示,设椭圆右焦点为
4、 F1,AB 与 x 轴交于点 H,则|AF|=2a-|AF 1|,ABF 的周长为2|AF|+2|AH|=2(2a-|AF1|+|AH|),AF 1H 为直角三角形,|AF 1|AH|,仅当|AF 1|=|AH|,即 F1 与 H 重合时,AFB 的周长最大,即最大周长为 2(|AF|+|AF1|)=4a=12,a=3,而 b=,c=2,离心率 e=.三、解答题9.已知椭圆的中心为坐标原点,焦点在 x 轴上,斜率为 1 且过椭圆右焦点的直线交椭圆于 A,B 两点,且与 m=(3,-1)共线,求椭圆的离心率.解:设椭圆方程为=1(ab0),右焦点为(c,0),则直线方程为 y=x-c.联立方程
5、消去 y 得(a 2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=,y1+y2=x1+x2-2c=-2c=.与 m=(3,-1)共线,(x 1+x2)+3(y1+y2)=0.2a 2c-6b2c=0,a 2=3b2.c 2=2b2.e 2=.椭圆的离心率为 e=.10.设椭圆 C:=1(ab0)的右焦点为 F,过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60,=2.(1)求椭圆 C 的离心率 ;(2)如果|AB|=,求椭圆 C 的方程.解:设 A(x1,y1),B(x2,y2)(y10).(1)直线 l 的方程为 y=(x-c),其中 c=.联立消去 x 得(3a2+b2)y2+2b2cy-3b4=0.解得 y1=,y2=,因为=2, 所以-y 1=2y2,即=2 ,得离心率 e=.(2)因为|AB|=|y 2-y1|,所以.由得 b=a.所以 a=,得 a=3,b=.所以椭圆 C 的方程为 =1.
