1、一、三角函数的概念、同角三角函数关系式及诱导公式1三角函数的有关概念(1)终边相同的角所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合|2k，kZ(2)角度与弧度的互化3602 rad；180 rad；1 rad；1 rad 57.30.180 (180 )(3)弧长及扇形面积公式弧长公式：l|r；扇形面积公式：S lr |r 2.12 12其中 l 为扇形弧长， 为圆心角，r 为扇形半径(4)任意角的三角函数的定义设 是一个任意角， 的终边上任意一点 P(与原点不重合)的坐标为(x，y)，它到原点的距离是 r .x2 y2三角函数 定义 定义域sin yr Rcos xr Rtan yx
2、 | 2 k ， k Z)若角 的终边与单位圆的交点为(x 0，y 0)，则有 sin y 0，cos x 0.(5)三角函数在各象限的符号记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦2同角三角函数关系式(1)平方关系：sin 2cos 21.(2)商数关系：tan .sin cos ( 2 k ， k Z)(1)公式常见变形：sin 21cos 2，cos 21sin 2，sin ，cos ，sin cos tan ，cos 1 cos2 1 sin2等sin tan (2)利用平方关系求三角函数值，进行开方时，要根据角的范围判断相应三角函数值的符号3诱导公式(1)诱导公式组数 一 二 三 四
3、五 六角2k(kZ) 2 2正弦 sin sin sin sin cos cos 余弦 cos cos cos cos sin sin 正切 tan tan tan tan (2)诱导公式的记忆规律诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限“奇” “偶”指的是诱导公式 k 中的整数 k 是奇数还是偶数 “变”与“不变”是 2指函数的名称的变化，若 k 是奇数，则正、余弦互变；若 k 为偶数，则函数名称不变“符号看象限”指的是在 k 中，将 看成锐角时 k 所在的象限 2 2二、三角函数的图象及其变换1正弦函数、余弦函数、正切函数的图象函数 ysin x ycos x ytan x图象2.用五点法
4、画 yAsin(x)在一个周期内的简图用五点法画 yAsin(x)(0，A0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x 2 32 2 x 0 2 32 2yAsin(x)0 A 0 A 0用五点法画 yAsin(x)的图象时，五个关键点的横坐标不是 0， ， ，2，而 2 32是令 x 取上述五个值，得到的相应 x 的值3yAsin(x)(A0，0，x0)的物理意义yAsin(x)(A0，0，x0)表示一个振动量时，A 叫作振幅，T 叫作周期，2f 叫作频率，x 叫作相位， 叫作初相， 叫作角速度1T4三角函数的图象变换由函数 ysin x 的图象通过变换得到 yAsin(x) (A
5、0，0)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移” 如图所示从上图可知从 ysin x 到 yAsin(x)的图象的变换途径为：相位变换周期变化振幅变换，或周期变换相位变化振幅变换.(1)无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量 x 而言的，即图象变换要看“自变量 x”发生多大变化，而不是看角“x”的变化；(2)两种变换途径中，左右移动的单位是不同的三、三角函数的性质1正弦函数、余弦函数、正切函数的性质函数性质ysin x ycos x ytan x定义域 R R kZx|x k 2， )值域 1，1 1，1 R对称性对称轴：直线xk (kZ)； 2对称中心：(k，0)(kZ)对
6、称轴：直线xk(kZ)；对称中(kZ)(k 2， 0)无对称轴：对称中心： (kZ)(k2， 0)最小正周期 2 2 单调性单调增区间：2k 2， )Error!(kZ)；单调减区间：2k 2， )Error!(kZ)单调增区间：(k2k ， 2k Z)；单调减区间：2k，2k(kZ)单调增区间：Error!(kZ)(k 2， )最值当 x2k (kZ) 2时，y 取最小值1；当 x2k (kZ) 2时，y 取最大值 1当x2k(kZ)时，y 取最小值1；当x2k(kZ)时，y 取最大值 1无最值奇偶性 奇 偶 奇2.函数 yAsin(x)(A0，0)的性质奇偶性：k 时，函数 yAsin(x
7、)为奇函数；k (kZ)时，函数 2yAsin(x)为偶函数周期性：yAsin(x)存在周期性，其最小正周期为 T .2单调性：根据 ysin t 和 tx 的单调性来研究，由 2kx 2k，kZ 得单调递增区间；由 2 22kx 2k，kZ 得单调递减区间 2 32对称性：利用 ysin x 的对称中心为(k，0)(kZ)求解，令 xk(kZ)，求得 x.利用 ysin x 的对称轴为 xk (kZ)求解，令 xk (kZ)，求得其对 2 2称轴(1)函数 yAcos(x)的相关性质可根据 ycos x 的性质推导，函数 yAtan(x)的相关性质可根据 ytan x 的性质推导(2)求函数 yAsin(x)的单调区间时，若 0，应先利用诱导公式将 x 的系数转化为正数再求解(3)周期与对称性之间的关系：正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 周期14正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期(4)对称轴(对称中心)与函数值的关系在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设 yf(x)Asin(x)，g(x)Acos(x)，xx 0是对称轴方程f(x 0)A，g(x 0)A；(x 0，0)是对称中心f(x0)0，g(x 0)0.
