1、一、选择题1.一个正方体内接于一个球,过球心作一个截面,则下图中不可能是截面的是( ).【解析】当截面平行于正方体的一个侧面时得 A;当截面过正方体体对角线时得 B;当截面不平行于任何侧面,也不过体对角线时得 C;但是无论如何都不会截得 D.【答案】D2.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形 OABC的面积为,则原梯形的面积为( ).A.2 B. C.2 D.4【解析】设 OABC的上、下底边边长分别为 a、 b,高为 h,则由斜二测画法可知,原梯形的上、下底边边长分别为 a、 b,高为 2h. 梯形 OABC 的面积为( a+b)h=, 原梯形的面积为( a+b)2h=4.【答案】
2、D3.将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,则该几何体的侧 (左)视图为( ).【解析】根据空间几何体的三视图的概念易知侧(左)视图 AD1是实线, B1C是虚线,故选 B.【答案】B4.在一个几何体的三视图中,正(主 )视图和俯视图如图所示,则相应的侧 (左)视图可以为( ).【解析】由几何体的正(主)视图和俯视图可知,该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面(与半圆锥的截面为同一三角形)垂直于底面的三棱锥组成的组合体,故其侧(左)视图应为 C选项 .【答案】C5.下面有四个命题: 底面是矩形的平行六面体是长方体; 棱长相等的直四棱柱是正方体; 有两条侧棱都垂直于底
3、面一边的平行六面体是直平行六面体; 对角线相等的平行六面体是直平行六面体 .以上四个命题中,正确的个数是( ).A.1 B.2 C.3 D.4【解析】命题 不是真命题,因为底面是矩形,若侧棱不垂直于底面,这时四棱柱仍然是斜平行六面体 .命题 不是真命题,若底面是菱形,底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体 .命题 也不是真命题,因为有两条侧棱垂直于底面一边,这时两个相对的侧面是矩形,但是不能推出侧棱与底面垂直 .命题 是真命题,由对角线相等,可得出平行六面体的对角面是矩形,从而推得侧棱与底面垂直,这个平行六面体是直平行六面体 .【答案】A6.如图是一个几何体的三视图,则它的表面积为( ).A
4、.4 B. C.5 D.【解析】由三视图可知该几何体是半径为 1的球被挖出了部分得到的几何体,故表面积为41 2+31 2= .【答案】D7. 一个几何体的三视图形状都相同,大小都相等,那么这个几何体不可以是( ).A.球 B.三棱锥C.圆柱 D.正方体 【解析】球的三视图全是圆;如图正方体截出的三棱锥三视图全是等腰直角三角形;正方体三视图都是正方形.可以排除 ABD,故选 C.【答案】C8.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥,棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为( ).A.12 B.13 C.14 D.15【解析】设长方体的长、宽、高分别为 a、 b、 c.则 V 长方体 =abc
5、,V 三棱锥 =abc=abc,V 余 =V 长方体 -V 三棱锥 =abc,V 三棱锥 V 余 =1 5.【答案】D9.已知矩形 ABCD 的面积为 8,当矩形 ABCD 周长最小时,沿对角线 AC 把 ACD 折起,则三棱锥 D-ABC 的外接球表面积等于( ).A.8 B.16C.48 D.不确定的实数【解析】设矩形的两邻边长分别为 a,b,则 ab=8,此时 2a+2b4 =8,当且仅当 a=b=2时等号成立 .此时四边形 ABCD为正方形,其中心到四个顶点的距离相等,均为 2,无论怎样折叠,其四个顶点都在一个半径为 2的球面上,故这个球的表面积是 4 22=16 .【答案】B10.如
6、图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( ).A.6 B.9 C.12 D.18【解析】由三视图可知,该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为 3,所以几何体的体积为V=633=9,选 B.【答案】B11.一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的表面积为( ).A.(48+8) cm2B.(46+6) cm2C.46 cm2D.(40+4) cm2【解析】由三视图易知,该正三棱柱的形状如图所示 .且 AA=BB=CC=4 cm,正 ABC和正 ABC的高为 2 cm, 正 ABC的边长为 AB=4 cm, 该三棱柱的表面积为(48 +8) cm2.【
7、答案】A12.如图所示,扇形的中心角为,其所在圆的半径为 R,弦 AB 将扇形分成两个部分,这两部分各以 AO 为轴旋转一周,若 ABO 旋转得到的几何体体积为 V1,弓形 AB 旋转得到的几何体积为 V2,则 V1V 2 的值为( ).A.1 1 B.2 1 C.1 2 D.1 4【解析】 AOB绕 AO旋转得到的几何体为圆锥,体积 V1 R3,整个扇形绕 AO旋转得到的几何体为半球,体积 V= R3,于是 V2=V-V1= R3.【答案】A二、填空题13.一个高为 2 的圆柱,底面周长为 2,则该圆柱的表面积为 . 【解析】底面圆的周长 2 r=2,所以圆柱的底面半径 r=1,所以圆柱的侧
8、面积为 4 .两个底面积和为 2 r2=2,所以圆柱的表面积为 6 .【答案】614.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于 . 【解析】该几何体是底面是直角梯形,高为 4的直四棱柱,几何体的体积是 V=(2+5)44=56.【答案】5615.如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为 . 【解析】由三视图可知,该几何体为一个四棱锥,将其放在正方体中如图,在该四棱锥 V-ABCD中,最长的一条棱为 VA=2.【答案】216.如图所示,已知一个多面体的平面展开图是一个由边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形组成,则
9、该多面体的体积是 . 【解析】折起后为正四棱锥,如图 .由题意得 S 底 =1,PO=,V= 1=.【答案】三、解答题17.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,轴截面的面积等于 392,母线与轴的夹角为 45,求这个圆台的高、母线长和底面半径 .【解析】作出圆台的轴截面如图,设 OA=r. 一底面周长是另一底面周长的 3倍,OA= 3r,SA=r,SA=3r,OO=2r.由轴截面的面积为(2 r+6r)2r=392,得 r=7.故上底面半径为 7,下底面半径为 21,高为 14,母线长为 14.18.有一根长为 5 cm,底面半径为 0.5 cm 的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕
10、 4 圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,求铁丝的最短长度为多少?【解析】圆柱形铁管展开图为矩形,长为 ,宽为 5,将宽 4等分,在矩形内画 4条平行线段,使平行线段的端点与 4等分点重合,则铁丝的最短长度为 4=cm.19.如图是一个几何体的正(主)视图和俯视图 .(1)试判断该几何体是什么几何体;(2)画出其侧(左) 视图,并求该平面图形的面积;(3)求出该几何体的体积 .【解析】(1)正六棱锥 .(2)其侧(左)视图如图:其中 AB=AC,AD BC,且 BC的长是俯视图中正六边形对边的距离,即 BC=a,AD的长是正六棱锥的高,即 AD=a, 该平面图形的面积 S=aa=a
11、2.(3)V=6a2a=a3.20.有一块扇形铁皮 OAB, AOB=60,OA=72,要剪下一个扇环 ABCD 作圆台形容器的侧面,并且在余下的扇形 OCD内剪下一块与其相切的圆使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面) .试求:(1)AD 应取多长?(2)容器的容积 .【解析】(1)如图,设圆台上、下底面半径分别为 r、 R,AD=x,则 OD=72-x.由题意得R= 12,r=6,x=36,AD= 36.(2)圆台的高为 h=6,V= h(R2+Rr+r2)= 6(122+126+62)=504 .21.已知三棱锥 V-ABC 的底面是正三角形,侧棱都相等,正(主) 视图、侧 (左)视图和俯
12、视图如图所示 .(1)画出该三棱锥的直观图;(2)求侧(左 )视图的面积 .【解析】(1)三棱锥的直观图如图所示 .(2)根据三视图间的关系可得 BC=2, 侧(左)视图中 VA=2,S VBC=22=6.22.如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作 4 个全等的矩形骨架,总计耗用 9.6 米铁丝,再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面 ).(1)当圆柱底面半径 r 取何值时, S 取得最大值? 并求出该最大值( 结果精确到 0.01 平方米);(2)若要制作一个如图放置的底面半径为 0.3 米的灯笼,请作出于制作灯笼的三视图 (作图时,不需考虑骨架等因素) .【解析】(1)由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为 =1.2-2r, 塑料片面积 S= r2+2 r(1.2-2r)= r2+2.4 r-4 r2=-3 r2+2.4 r=-3( r2-0.8r), 当 r=0.4米时, S有最大值,约为 1.51平方米 .(2)若灯笼底面半径为 0.3米,则高为 1.2-20.3=0.6(米) .制作灯笼的三视图如图所示 .
