1、1.如图所示,在三棱锥 P-ABC 的六条棱所在的直线中,异面直线共有( ).A.1 对 B.2 对C.3 对 D.4 对【解析】根据异面直线的定义可知共 3 对,分别为 AP 与 BC,CP 与 AB,BP 与 AC.【答案】C2.过一点与已知直线垂直的直线有( ).A.一条 B.两条C.无数条 D.无法确定【解析】过一点与已知直线垂直的直线有无数条,包括相交垂直和异面垂直 .【答案】C3.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, BD 和 B1D1 分别是正方形 ABCD 和 A1B1C1D1 的对角线 .(1) DBC 的两边与 的两边分别对应平行且方向相同; (2) DBC 的
2、两边与 的两边分别对应平行且方向相反 . 【解析】(1) B1D1 BD,B1C1 BC,并且方向相同,所以 DBC 的两边与 D1B1C1的两边分别对应平行且方向相同 .(2)D1B1 BD,D1A1 BC,并且方向相反,所以 DBC 的两边与 B1D1A1的两边分别对应平行且方向相反 .【答案】(1) D1B1C1 (2) B1D1A14.已知 ABCDA1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体, E、 F 分别是 AA1、 AB 的中点 .(1)哪些棱所在直线与直线 EF 垂直?(2)求异面直线 C1D1 与 EF 所成的角 .【解析】(1) AD,BC,A1D1,B1C1.(2)AB D
3、C,DC D1C1,AB D1C1, EFA 是 C1D1与 EF 所成的角 . EFA=45,C 1D1与 EF 所成的角为 45.5.已知两条直线 a,b 都和第三条直线 c 垂直并相交,则直线 a,b 的位置关系是( ).A.平行 B.相交C.异面 D.平行、相交、异面【解析】直线 a,b 都和第三条直线 c 垂直并相交,则直线 a,b 的关系可能平行,可能相交,也可能异面 .【答案】D6.如图所示,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、 F 分别是棱 AA1、 BB1 的中点,过 EF 的平面 EFGH 分别交 BC 和 AD 于G、 H,则 HG 与 AB 的位置关系是( )
4、.A.平行 B.异面C.相交 D.平行或异面【解析】 E 、 F 分别是 AA1、 BB1的中点, EF AB.又 AB 平面 EFGH,EF平面 EFGH,AB 平面 EFGH.又 AB 平面 ABCD,平面 ABCD平面 EFGH=GH,AB GH.【答案】A7.已知异面直线 a 与 b 成 80的角, P 为空间一定点,则过点 P 与 a,b 所成的角都是 50的直线有且仅有 条 . 【解析】过定点 P 分别作 a,b 的平行线 a,b,则 a,b形成两对对顶角,其中一对对顶角的角平分线与a,b成 50角,所以有 3 条 .【答案】38.如图,在棱长均为 a 的三棱锥 A-BCD 中,
5、E 为 BC 的中点,求异面直线 AE 和 BD 所成角的余弦值 .【解析】如图,取 CD 的中点 F,连接 EF、 AF.E 为 BC 的中点,EF 为 CBD 的中位线,EF BD,AE 与 EF 所成的锐角或直角就是异面直线 AE 和 BD 所成的角,由正三角形的性质可知 AE=AF=a,EF=a.在 AEF 中,cos AEF=.即异面直线 AE 和 BD 所成角的余弦值为 .9.S 是边长为 a 的正三角形 ABC 所在平面外一点, SA=SB=SC=a,E,F 分别是 SC 和 AB 的中点,则异面直线 SA 与 EF所成的角为 . 【解析】如图所示,取 AC 的中点 M,连接 E
6、M、 FM,则由三角形中位线定理知,EM SA 且 EM=SA,MF BC 且 MF=BC, MEF(或其补角)是异面直线 SA 与 EF 所成的角 .在 EMF 中, EM=SA=,FM=BC=,连接 FC,由题设条件易知 FEC 为直角三角形, EF=a, EMF 为等腰直角三角形, MEF=45, 异面直线 SA 与 EF 所成的角为 45.【答案】4510.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AE=A1E1,AF=A1F1,P E1F1.(1)过 P 点作一条直线与棱 CD 平行,说明作法 .(2)试说明 EF 与 E1F1 的关系 .【解析】(1)如图,在平面 A1B1C1D1内过点 P 作直线 l C1D1,CD C1D1,l CD,l 即为所求直线 .(2)EF E1F1,且 EF=E1F1.证明:连接 EE1、 FF1,如图所示 .AE A1E1,AE=A1E1, 四边形 A1E1EA 为平行四边形,AA 1 EE1,AA1=EE1.同理可证, AA1 FF1,AA1=FF1,EE 1 FF1,EE1=FF1, 四边形 E1F1FE 为平行四边形,EF E1F1且 EF=E1F1.
