1、21.2空间中直线与直线的位置关系,2两直线位置关系的判定，除运用定义进行外，还要注意通过感觉和空间想象来进行画出图形可以使抽象的问题具体化，这在解决立体几何的问题中，是经常用到的一种方法，在构图时，要注意想到各种可能,例1 如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：,直线A1B与直线D1C的位置关系是_；直线A1B与直线B1C的位置关系是_；直线D1D与直线D1C的位置关系是_；直线AB与直线B1C的位置关系是_【分析】首先看两直线是否有交点，判断是否是相交，然后在没有交点的两直线中判断这两直线是否在一个平面内，如果不在，则两直线异面,【解析】根据探究知道直线D1D与
2、直线D1C相交于D1点，所以应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”所以应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”同理，直线AB与直线B1C“异面”所以都应该填“异面”【答案】平行异面相交异面,【规律方法】判断直线平行、相交可用平面几何中的定义和方法来处理，判定异面直线的方法有反证法和定义法，只是用定义法不好判断，往往根据过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线来判断,变式1判断下列命题是否正确若正确，请简述理由；若不正确，请在给出的下图(1)到(
3、5)中找出反例(可以不止一个，反例即满足命题的全部条件，但不能得到命题的结论),没有公共点的两条直线是异面直线互不平行的两条直线是异面直线分别在两个平面内的两条直线一定异面一个平面内的直线与这个平面外的直线一定异面分别与两条相交直线都相交的两条直线共面,分别与两条异面直线都相交的两条直线异面解：错，如图(2)(5)；错，如图(3)；错，如图(4)中的AC、BC；错，如图(1)中的AD与AB，AD与AC；错，如图(4)中的AB与l异面；错，如图(1)中的AB与AC共面.,要点二 异面直线所成的角求两条异面直线所成角的步骤：(1)作角：在空间任选一点，这个点通常选在其中一条异面直线上，一般为线段的
4、中点或者端点，用平移的方法，把空间角转化成两条相交直线所成的角(2)证明：证明这个角或其补角即为所求的角(3)计算：把这个角归结在某个三角形中，通过解三角形求出这个角,例2 如图所示，空间四边形ABCD中，ABCD，ABCD，E、F分别为BC、AD的中点求EF和AB所成的角,【分析】根据定义，找到两异面直线所成的角是关键由于E、F是中点，则想到三角形的中位线，取BD的中点后组成三角形得两异面直线EF和AB所成的角,【解】如图所示，取BD的中点G，连接EG、FG.,【规律方法】(1)平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角，要注意识别这种情况(2)三角形的中位线是立体几何中常用到的线段，
5、是解决立体几何问题最重要的辅助线，三角形中位线的性质是求两异面直线所成角的基础，要通过适当的练习，逐步体会其重要性和应用的技巧,变式2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，求异面直线B1D1和C1A所成的角,解法二：(割补法)在原正方体ABCDA1B1C1D1的旁边，补上一个与原正方体棱长相等的一个正方体，如上图所示，取新正方体与A1D1在同一直线上的顶点为E，连结C1E，AE，由正方体性质可知，C1E綊B1D1，所以EC1A为所求两异面直线B1D1与C1A所成的角或其补角,要点三 平行公理与等角定理的应用1.证明空间两条直线平行的常用方法方法一：(利用定义)用定义证明两条直线平
6、行，需证两方面：一是两直线在同一平面内；二是两直线没有公共点方法二：(利用公理4)用公理4证明两条直线平行，只需找到直线c，使得ac，同时bc，由公理4得到ab.,2要注意等角定理中，角的两边分别对应平行，从而两角相等或互补，只有加上方向“相同”的条件时，两个角才相等3“等角定理”为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与惟一性，即过空间任一点，作两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)都是相等的，而与所取点的位置无关,例3 已知棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点(1)求证：四边形MNA1C1是梯形；(2)求证：DNMD1A1C1.,【规律方法】(1)注意在证明线线平行时，利用平面几何知识(如三角形、梯形中位线、平行四边形性质、平行线分线、段成比例定理等)或公理4证明,
