1、教学设计1.1.3 解三角形的进一步讨论 从容说课本节课中，应先通过分析典型例题，帮助学生理解并掌握正弦定理和余弦定理；应指出正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然但解题的时候，应有最佳选择教学过程中，我们应指导学生对利用正弦定理和余弦定理解斜三角形的问题进行归类，列表如下：解斜三角形时可用的定理和公式适用类型 备注余弦定理a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=b2+a2-2bacosC（1）已知三边（2）已知两边及其夹角类型（1） （2）有解时只有一解正弦定理 RcBA2sinisin（3）已知两角和一边（4）已知
2、两边及其中一边的对角类型（3）在有解时只有一解，类型（4）可有两解、一解或无解三角形面积公式 bcSsi21BanCsi （5）已知两边及其夹角同时应指出，在解斜三角形问题时，经常要利用正弦、余弦定理实施边角转换，转化的主要途径有两条：（1）化边为角，然后通过三角变换找出角与角之间的关系，进而解决问题；（2）化角为边，将三角问题转化为代数问题加以解决一般地，当已知三角形三边或三边数量关系时，常用余弦定理；若既有角的条件，又有边的条件，通常利用正弦定理或余弦定理，将边化为角的关系，利用三角函数公式求解较为简便总之，关键在于灵活运用定理及公式教学重点 1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形
3、时，有两解或一解或无解等情形；2.三角形各种形状的判定方法；3.三角形面积定理的应用教学难点 1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向;2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求；3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用教具准备 投影仪、幻灯片第一张:课题引入图片(记作 113A)正弦定理: ；RCcBbAa2sinisin余弦定理:a 2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC，, , .cosoco2第二张:例 3、例 4(记作 113 B)已知ABC, BD 为角 B 的平分线,求证: AB BCADDC.在ABC
4、中,求证:a 2sin2B+b2sin2A=2absinC.第三张:例 5(记作 113C)在ABC 中,bco sA=acosB,试判断三角形的形状 .三维目标一、知识与技能1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；2.三角形各种 形状的判定方法； 3.三角形面积定理的应用二、过程与方法通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题三、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映
5、了事物之间的内在联系教学过程导入新课师 前面两节课,我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容,并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面,我们先来回顾一下正、余弦定理的内容 (给出幻灯片 1.1.3A).从幻灯片大体可以看出 ,正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系,运用定理可以进行边与角之间的转换,这一节,我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在判断三角形形状和证明三角恒等式时的应用.推进新课思考：在ABC 中，已知 A=22cm，B=25cm,A=133 ，解三角形 （由学生阅读课本第9 页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角
6、形时，在某些条件下会出现无解的情形下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题【例 1】在ABC 中，已知 A,B,A，讨论三角形解的情况.师 分析：先由 可进一步求出 B；则 C =180-(A+B),从而 .absini ACacsin一般地，已知两边和其中一边的对角解 三角形，有两解、一解、无解三种情况1.当 A 为钝角或直角时，必须 ab 才能有且只有一解；否则无解2.当 A 为锐角时，如果 ab，那么只有一解；如果 ab，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若 absinA，则有两解； （2）若 a=bsinA，则只有一解； （3）若 absinA，则无解 （以上解答过程详见课本第 9
7、到第 10 页）师 注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A 为锐角且bsinAab 时，有两解；其他情况时则只有一解或无解（1）A 为直角或钝角（2）A 为锐角【例 2】在ABC 中，已知 a =7,b=5,c =3，判断ABC 的类型分析：由余弦定理可知a2=b2+c2 A是直角 ABC 是直角三角形，a2b 2+c2 A 是钝角 ABC 是钝角三角形，a2b 2+c A 是锐角/ ABC 是锐角三角形。（注意：A 是锐角/ ABC 是锐角三角形 ）解： 725 2+32,即 a2b 2+c2， ABC 是钝角三角形1利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜
8、三角形问题已知两角和任一边，求其他两边和一角已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角） 2正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形中边角关系转化例如：在判断三角形形状时，经常把 a、b、c 分别用 2RsinA、2Rsin B、2RsinC 来代替3.余弦定理的主要作用一是解三角形，二是判断三角形的形状，它的主要功能是实现边角之间的转化（1）已知三边，求三个角（2）已知两边和夹角，求第三边和其他两角4用方程的思想理解和运用余弦定理，当等式 a2=b2+c2-2bccosA 中含有未知数时，这便成为方程，式中有四个量，知道三个，便可以解出另一个，运用
9、此式可以求 A 或 B 或 C或 cosA师 下面,我们来看幻灯片上的例题.(给出幻灯片 1.1.3B)例题剖析【例 3】分析：前面接触的解三角形问题是 在一个三角形内研究问题,而角 B 的平分线 BD将ABC 分成了两个三角形： ABD 与CBD,故要证结 论成立 ,可证明它的等价形式: ABBCAD DC,从而把问题转化到两个三角形内,而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比,故可利用正弦定理将所证继续转化为 ,再根据相等角正弦值DBCBsinsi相等,互补角正弦值也相等即可证明结论.证明:在ABD 内,利用正弦定理得 ,即 ,ADsisinAsi在BCD 内,利用正弦定理得 ,即 ,BC
10、BBCnBD 是角 B 的平分线,ABD=DBCsinABD=sinDBC.ADB+BDC=180,sinADB=sin(180-BDC)=sinBDC. .DCBABDsinsi .C评述:此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用.例题剖析【例 4】分析:此题所证结论包含关于 ABC 的边角关系,证明时可以考虑两种途径:一是把角的关系通过正弦定理转化为边的关系,若是余弦形式则通过余弦定理;二是把边的关系转化为角的关系,一般是通过正弦定理.另外,此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式,如 sin2B=2sinbcosB等,以便在化为
11、角的关系时进行三角函数式的恒等变形.证明一: ( 化为三角函数)a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)22sinBCOsB+(2RsinB)22sinAcosA= 8R2sinAsinB(sinAcosB+cosAsinB)=8R2sinasinbsinC =22RsinA2RsinBsinC=2absinC.所以原式得证.证明二: ( 化为边的等式)左边=A 22sinBcosB+B22sinAcosA= =bcaRbacRba2222 =CcbcaRb sin)(2 由边向角转化,通常利用正弦定理的变形式:A =2RsinA,B=2RsinB,C=2RsinC,在转化为角的关系式
12、后,要注意三角函数公式的运用,在此题用到了正弦二倍角公式 sin2A=2sinAcosA,正弦两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB;由角向边转化,要结合正弦定理变形式以及余弦定理形式二.三角形的有关证明问题,主要围绕三角形的边和角的三角函数展开,从某种意义上来看,这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题.【例 5】分析:三角形形状的判断 ,可以根据角的关系,也可根据边的关系,所以在已知条件的运用上,可以考虑两种途径,将边转化为角,将角转化为边,下面,我们从这两个角度进行分析. 解法一:利用余弦定理将角化为边 .bcosA=acosB, .b2+c2-a2=a2
13、+c2-b2.a2=b2.acbca22a=b.故此三角形是等腰三角形.解法二:利用正弦定理将边转化为角 .bcosA=acosB,又 B=2RsinB，A=2RsinA, 2RsinbcosA=2RsinAcosB.sinAcosB-cosAsinB=0.sin(A-B)=0.0A,B,-A-B .A-B=0,即 A=B.故此三角形是等腰三角形.评述: (1)在判定三角形形状时,一般考虑两个方向进行变形,一个方向是边,走代数变形之路,通常是正、余弦定理结合使用;另一方向是角,走三角变形之路,通常是运用正弦定理.要求学生要注重边角转化的桥梁正、余弦定理.(2)解法二中用到了三角函数中两角差的正
14、弦公式,但应注意在根据三角函数值求角时 ,一定要先确定角的范围.另外,也可运用同角三角函数的商数关系,在等式 sinBcosA=sinAcosB 两端同除以 sinAsinB,得 cotA=cotB,再由 0A ,B, 而得 A=B.课堂小结通过本节学习,我们熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用,并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断,其 中,要求大家重点体会正、余弦定理的边角转换功能.（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形形状的判定方法.布置作业1.在ABC 中,已知 ,求证: a2、b 2、c 2 成等
15、差数列 .)sin(iCBA证明: 由已知得 sin(B+C)sin(B-C)=sin(A+B)sin(A-B),cos2B-cos2C=cos2A-cos2B,2cos2B=coOs2A+cos2C,2 =2cos1cs2cos122sin2B=sin2A+sin2C.由正弦定理 ,可得 2b2=a2+c2,即 a2、b 2、c 2 成等差数列.2.在ABC 中,A=30, cosB=2sinB-3sinC.(1)求证:ABC 为等腰三角形 ;(提示 B =C =75)(2)设 D 为ABC 外接圆的直径 BE 与边 AC 的交点,且 AB2,求 ADCD 的值.答案: (1) 略；(2)1
16、3.板书设计解三角形的进一步讨论 一、三角形形状判定 二、三角形问题证明思路 三、学生练习1.等腰三角形:ab 或 1.向边转化利用正、余弦定理 四、布置作业AB 2.向角转化利用正弦定理2.直角三角形:a 2+b2=c2 或 C =903.钝角三角形:C90习题详解（课本第 10 页习题 1.1）A组1.（1）A38 cm,B39 cm,B80;（2）A38 cm,B56 cm,C =90.2.(1)A114,B43,A35 cm;A20,B137,A13 cm;(2)B35,C85,C17 cm;(3)A97,B58,A47 cm;A33,B122,A26 cm.3.(1)A49,B24,
17、C62 cm;(2)A59,C55,B62 cm;(3)B36,C38,A62 cm.4.(1)A36,B40,C104;(2)A48,B93,C39.B组(1)1.证明：如图（1） ，设ABC 的外接圆的半径是 R，当 ABC 是直角三角形，C=90时，ABC 的外接圆的圆心 O 在 RtABC 的斜边 AB 上.在 RtABC 中， ,BABsin,si即 ,BRbAasin2,si所以 A=2RsinA,B=2RsinB.(2)又 C =2R=2Rsin90=2RsinC.所以 A=2RsinA,B=2RsinB,C=2RsinC.当ABC 是锐角三角形时，它的外接圆的圆心 O 在三角形
18、内图（2） .作过 O、B 的直径A、B，联结 A1C，则A 1BC 是直角三角形， A1CB=90，BAC=BA 1C.在 RtA1BC 中，,即 .1sinBRasinsi21所以 A=2RsinA.同理，B=2RsinB ,C =2RsinC.当ABC 是钝角三角形时，不妨设A 为钝角，它的外接圆的圆心 O 在ABC 外图（3） ，作过 O，B 的直径 A1B，联结 A1C，则 A1CB 是直角三角形， A1CB=90，BA 1C=180-BAC.在 RtA1BC 中，BC=2Rsin BA1C，(3)即 A=2Rsin(180-BAC),即 A=2RsinA.类似可证，B=2RsinB
19、 ,C =2RsinC.综上，对任意三角形ABC，如果它的外接圆半径等于 R，则A=2RsinA,B=2RsinB,C=2RsinC. 2.因为 A=cosA=bcosB,所以 sinAcosA=sinBcosB，sin2 A=sin2B，因为 02A，2B2 ，所以 2A=2B 或 2A=-2B，即 A=B 或 A+B= .所以三角形是等腰三角形或是直角三角形.在得到 sin2A=sin2B 后，也可以化成 sin2A-sin2B=0.所以 cos（A+B）sin（A-B ）=0，A+B= 或 A-B=0，2即 A+B= 或 A=B.得到问题的结论.2备课资料一、正、余弦定理的边角互换功能对
20、于正、余弦定理,同学们已经开始熟悉,在解三角形的问题中常会用到它,其实,在涉及到三角形的其他问题中,也常会用到它们.两个定理的特殊功能是边角互换,即利用它们可以把边的关系转化为角的关系,也可以把角的关系转化为边的关系,从而使许多问题得以解决. 【例 1】已知 A、B 为ABC 的边,A、B 分别是 A、B 的对角,且 求 的值.23sinBAba解： ,basini .s又 (这是角的关系 )，32iBA (这是边的关系). 于是,由合比定理得ba.25【例 2】已知ABC 中,三边 A、B、C 所对的角分别是 A、B、C,且 a、b、c 成等差数列.求证:sin A+sinC=2sinB.证明: a、b、c 成等差数列，a+c=2B(这是边的关系).又 ,Asinisin ,Cb.Bcsi将代入,得 =2B.bCA2sini整理得 sinA+sinC=2sinB(这是角的关系).二、正、余弦定理的巧用某些三角习题的化简和求解,若能巧用正、余弦定理,则可避免许多繁杂的运算,从而使问题较轻松地获得解决,现举例说明如下:
