1、 1 / 5D直角三角形的射影定理教学目标（一） 知识与技能1能应用相似三角形的性质解决相关的几何问题；2通过对射影定理的探究，使学生经历探索数学问题的过程，逐步形成探究问题的意识，发展探究问题的能力（二）过程与方法类比正方体、长方体的表面积，讨论柱体、锥体、台体的表面积的求法（三） 情感态度与价值观通过小组活动，让学生体验合作学习的愉悦，培养学生团队合作精神教学重点 射影定理的证明教学难点 建立三角形以外的、和三角形有关的元素与三角形相似比之间的关系教学方法 师生协作共同探究法教学用具 黑板 多媒体 教学过程设计 一 复习引入前面已经学习了相似三角形的判定定理及性质定理，请学生回答以下两个问
2、题：1相似三角形的判定定理及性质定理分别是什么？2如何判定两个直角三角形相似？（通过这两个问题很自然地过渡到本节课要讨论的问题）二 新知探究如图，ABC 是直角三角形， CD 为斜边 AB 上的高提出问题：图 11在这个图形中,有哪几组相似三角形？（三组：ACD 与CBD，BDC 与BCA，CDA 与BCA）CBA2 / 5AA MN NAA BB2把学生分为三组，分组讨论：结合相似三角形对应边成比例的性质，寻找每组三角形中的线段长度关系：ACD 与CBD 中，CD 2= ADBD ,BDC 与BCA 中，BC 2= BDAB ,CDA 与BCA 中，AC 2= ADAB 这三个关系式形式上完
3、全一样，但不便于记忆，因此，在这里教师适时的引入射影的定义：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影一条直线在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影之间的线段点和线段的正射影简称为射影 图 2请学生结合射影定义及图 1，观察三个关系式的特点，在此基础上，即可得出射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项三 例题分析例 1 如图 3，圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 DAD=2 ，DB=8, 求CD、AC 和 BC 的长解：ACB 是半圆上的圆周角，ACB=90 ，即ABC 是直角
4、三角形由射影定理可得：CD2=ADBD=28=16，解得 CD=4；AC2=ADAB=210=20，解得 AC=2 ；5BC2=BDAB=810=80，解得 BC= 4 MN 3 / 5（师生一起分析思路，由学生完成求解）图3 图 4例 2 如图 4，ABC 中，顶点 C 在 AB 边上的射影为 D，且CD2=ADBD求证：ABC 是直角三角形证明：在CDA 和BDC 中，点 C 在 AB 上的射影为 D，CDABCDA=BDC=90又CD 2=ADBD，AD:CD=CD:DBCDABDC 在ACD 中， CAD+ACD=90,BCD+ACD=90 BCD+ACD=ACB=90ABC 是直角三
5、角形（该例题表明，射影定理的逆定理也是成立的学生在这个命题的证明中，可能对如何建立条件与结论之间的关系有些困难教学中可从如下两方面来引A DCA D O BCN N B4 / 5b导：“射影”总是与“垂直”相伴，由此可以与“直角三角形”相联系；我们往往将等式 CD2=ADBD 变形为 ,这个比例式启发我们应DBCA当通过“相似三角形 ”来推出 “直角三角形” 学生明确了上述思路就容易得出本例的证明了）四 课堂练习1 在ABC 中， C=90, CD 是斜边 AB 上的高已知CD=60，AD=25 ，求 BD、 AB、AC、BC 的长（直接运用射影定理）2 如图，已知线段 a、b，求作线段 a 和 b 的比例中项(引导学生根据射影定理的三个公式考虑是否有不同的作图方法)五 课堂小结（引导学生从知识内容和思想方法两方面进行归纳）1 知识内容：掌握射影定理及其逆定理，并能熟练运用2 思想方法：化归六 课后作业1 基础训练：在ABC 中， C=90, CDAB，垂足为 D，AC=12,BC=5,求 CD 的长2 小组探究：请学生以四人学习小组为单位，探究是否还有其它的方法来证明射影定理（培养学生的创造性思维及团结协作的能力）a5 / 5
