1、九年级数学全册R,第24章 圆,24.1.2 垂直于弦的直径,学习目标:1圆的对称性2通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论3能运用垂径定理及其推论进行计算和证明,它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m.,一、情境引入,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？,赵州桥,O,A,B,C,D,E,（1）是轴对称图形每一条直径所在的直线是它的对称轴,（2） 线段： AE=BE,二、自主探究,1.在纸上画一个圆，并把这个圆剪下来，再沿着圆的一条直径所在直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,（1）这个图形是轴对称图形吗？如果
2、是，它的对称轴是什么？ （2）如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB于E点,你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？试用文字,语言表示.,3猜想：垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧 ，如何证明？,已知：如图，CD是O的直径，AB为弦，且CDAB,证明：连接OA，OB，则OA=OB CDAB AE=BE（三线合一）直线CD是AB对称轴 ，点A与点B关于直线CD对称，点C,D在对称轴CD上，即圆是轴对称图形。,把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，弧AD 与弧BD重合. 弧AC 与弧BC重合,AE=BE,分析：只要证明圆上任一点关于直径所
3、在的直线（ 对称轴）的对称点也在圆 上，就证明了圆是轴对称图形。,O,A,B,C,D,E,垂径定理：,归纳,题设,结论,垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧,CD是直径, CDAB,AE=BE,AC=BC,AD=BD,符号语言表示：,根据已知条件进行推导：过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧,（1）平分 弦 （不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。,一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立,O,A,B,M,N,C,D,根据已知条件进行推导：过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧,（1）平
4、分弦 （不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。,（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。,（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。,推论：,定理及推论，总结：,一条直线只需满足：条件 （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 中的任意两个条件，就能推出其它三个.,1.判断下列说法的正误,(1)垂直于弦的直径平分这条弦 . ( ),(2)平分弦的直线必垂直弦 .,(3)弦的垂直平分线是圆的直径 .,( ),( ),2已知在O中,弦AB的长为8厘米,圆心O到AB的距离（弦心距）为3厘米，则
5、O的半径为 。,(4) 垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）,(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）,5厘米,三、针对练习,3如图，点P是半径为5cm的O内一点，且OP=3cm, 则过P点的弦中， （1）最长的弦= cm （2）最短的弦= cm （3）弦的长度为整数的共有（ ）A、2条 B、3条 C、4条 D、5条,A,O,C,D,5,4,P,3,B,10,8,C,它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m.,四合作探究 ：解决求赵州桥拱半径的问题,求赵州桥主桥拱的半径.,解：如图，用AB表示主桥拱，设
6、AB所在圆的圆心为O，半径为R,OD=OCCD=R7.2,在RtOAD中，由勾股定理，得,OA2=AD2+OD2,即 R2=18.72+（R7.2）2,解得 R27.9（m）,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m,过圆心O 作弦AB 的垂线OC，垂足为D，OC与AB 相交于点c，根据垂径定理，D 是AB 的中点，C是AB的中点，CD 就是拱高AB=37.4米，CD=7.2米,你还有其它方法吗？,A,B,C,D,O,方法一：设点C为弧AB的中点，连接OC交AB于点D 由垂径定理推论： 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。,方法二：设点D为AB的中点，连接OD并延长OD交弧
7、AB于点C,根据推论: 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。,1.如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形,证明： 在O中，,四边形ADOE为矩形，,又 AC=AB, AE=AD, 四边形ADOE为正方形.,五、反馈练习 :,挑战自我,1在直径为40mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 32mm，求油的最大深度.,8mm,B,C,D,2如图，线段AB与O交于C，D两点，且OAOB.求证：ACBD. 证明：作OEAB于E.则CEDE. OAOB，OEAB， AEBE（三线合一） AECEBEDE. 即ACBD. 点拨：过圆心作垂线是圆中常用辅助线,六、反思总结 本节课你有哪些收获？,2、熟练地运用垂径定理及其推论.,3、解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。,1、圆是轴对称图形 , 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴.,4渗透转化建模数学思想方法,
