1、2013 湖南高考数学一轮复习-圆锥曲线与方程I 卷一、选择题1若直线 2x y a0 与圆( x1)2 y21 有公共点，则实数 a 的取值范围为( )A(2 ，2 ) B2 ，25 5 5 5C ， D( ， )5 5 5 5【答案】B2设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线的焦点的距离是（ ）A 4 B 6 C 8 D 12【答案】B3 若原点到直线 bxa的距离等于221,1(0,)3xyabab则 双 曲 线的半焦距的最小值为 ( ）A2 B3 C5 D6【答案】D4已知 P 是以 F1、 F2为焦点的椭圆 ,0,)0(1212 PFbayx且
2、上 一 点 ,tan21则该椭圆的离心率为（ ）A B 3C 31D 35【答案】D5若直线 3x y a0 过圆 x2 y22 x4 y0 的圆心，则 a 的值为( )A1 B1 C3 D3【答案】B6抛物线 42的焦点坐标为( )A （1，0） B （2，0） C （0，1） D （0，2） 【答案】C7 “双曲线的方程为 1”是“双曲线的离心率为 ”的( )x29 y216 53A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A8 已知双曲线21(0)xyab的左、右焦点分别为 F1、F 2，P 为左支一点，P 到左准线的距离为 d，若 12,|PF成等比
3、数列，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A 15,2B 5,C 12,D 1,2【答案】D9若直线 l1： y2 x3，直线 l2 与 l1 关于直线 y x 对称，则直线 l2 的斜率为( )A B12 12C2 D2【答案】A10与两圆 x2 y21 及 x2 y28 x120 都外切的圆的圆心在( )A一个椭圆上 B双曲线的一支上C一条抛物线上 D一个圆上【答案】B11过点(1,3)作直线 l，使 l 过点( a,0)与(0， b)， a， bN*，则可作出的直线 l 的条数为( )A1 条 B2 条C3 条 D多于 3 条【答案】B12若直线 mx ny4 与圆 O： x2 y24
4、没有交点，则过点 P(m， n)的直线与椭圆 1x29 y24的交点个数为( )A至多一个 B2C1 D0【答案】BII 卷二、填空题13已知双曲线21(0,)xyab的离心率为 23，焦距为 2c，且 23ac,双曲线上一点 P 满足 121FA、 2F为左、右焦点） ，则 12|PFA.【答案】414若 a， b， c 是直角 ABC 的三边的长( c 为斜边)，则圆 M： x2 y24 截直线l： ax by c0 所得的弦长为_【答案】2 315已知以坐标原点为顶点的抛物线 C，焦点在 x 轴上，直线 x y0 与抛物线 C 交于 A、 B 两点若 P(2,2)为 AB 的中点，则抛物
5、线 C 的方程为_【答案】 y24 x16已知过点 P(3,0)的直线 l 与双曲线 1 交于 A、 B 两点，设直线 l 的斜率为x216 y29k1(k10)，弦 AB 的中点为 M， OM 的斜率为 k2(O 为坐标原点)，则 k1k2_.【答案】916三、解答题17已知定点 A（-3,0） ， MN 分别为 x 轴、y 轴上的动点（ M、 N 不重合） ，且 MNA,点 P在直线 MN 上， 32NPM.（1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（2）设点 Q 是曲线2850xy上任一点，试探究在轨迹 C 上是否存在点 T？使得点 T 到点 Q 的距离最小，若存在，求出该最小距离和点 T
6、的坐标，若不存在，说明理由【答案】 （1）设点 M、 N 的坐标分别为 (,0)ab， （ 0,a）点 P 的坐标为 (,)xy，则 (3,)(,)Abab， ,(,)PxyNxyb，由 得 2，-（）-2 分由 32M得 3(),2xayb 1,3axy代入（）得 24yx 0b 0,动点 P 的轨迹 C 的方程为 24yx（ 0）(2）曲线 2815xy即 2()1xy，是以 B（4,0）为圆心，以 1 为半径的圆,设 T 为轨迹 C 上任意一点，连结 TB, 则 |TQ|TQ当 |B最小时， |T最小.-9 分点 T 在轨迹 C 上，设点2(,)4m（ 0）22|(4)mT21(8)6m
7、当 28，即 时， |TB有最小值， min|23T当 2时，24在轨迹 C 上是存在点 T，其坐标为 (,)，使得 |TQ最小，min|31TQ.18已知抛物线 )0(2pxy的焦点为 F，过 F 的直线交 y 轴正半轴于点，交抛物线于A，B 两点，其中 A 在第二象限。(1）求证：以线段 FA 为直径为圆与 Y 轴相切；(2）若 12FP,F，求 21的值. 【答案】 （1）由已知 F（ 0,p） ，设 A（ ,yx） ，则圆心坐标为 )2,4(1yx，圆心到 y 轴的距离为 421xp. 圆的半径为 42)(21| 1xpFA， 以线段 FA 为直径的圆与 y 轴相切。 设 P（0， y
8、） ，B（ ,x） ，由 12FAP,BFA，得 120,. ),(),2(011px21ypxy. 11x )(22xp1y 122,pxx.将变形为 y， 12. 将 12x代入，整理得 2x 代入得 2. 即 12. 19已知椭圆 C： 1（ ab0）的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 x2a2 y2b2 63 3(1）求椭圆 C 的方程；(2）设直线 l 与椭圆 C 交于 A、 B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为 ，求 AOB 面积的最大32值【答案】 （1）设椭圆的半焦距为 c，依题意 36a b1所求椭圆方程为 y21x23(2）设 A（ x1， y1） ， B（
9、 x2， y2） ，当 AB x 轴时，| AB| ，3当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y kx m由已知 ，|m|1 k2 32得 m2 （ k21） ，把 y kx m 代入椭圆方程，整理得34(3k21） x26 kmx3 m230 x1 x2 ， x1x2 6km3k2 1 3(m2 1)3k2 1| AB|2（1 k2） （ x2 x1） 2（1 k2） 36k2m2(3k2 1)2 12(m2 1)3k2 1 12(k2 1)(3k2 1 m2)(3k2 1)2 3(k2 1)(9k2 1)(3k2 1)23 3 （ k0）3 412k29k4 6k2 1 1
10、29k2 1k2 6 1223 6当且仅当 9k2 ，即 k 时等号成立| AB|2当 k0 时，| AB| ，1k2 33 3综上所述，| AB|max2当| AB|最大时， AOB 面积取最大值， S |AB|max 12 32 3220设椭圆 C： 1 ( ab0)的离心率 e ，右焦点到直线 1 的距离 d ， O 为x2a2 y2b2 12 xa yb 217坐标原点(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 O 作两条互相垂直的射线，与椭圆 C 分别交于 A， B 两点，证明：点 O 到直线 AB 的距离为定值【答案】(1)由 e 得 ，12 ca 12即 a2 c， b c.3由右焦点
11、到直线 1 的距离为xa ybd ，得 ，217 |bc ab|a2 b2 217解得 a2， b 3所以椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2) 直线 AB 斜率不存在时，设 A(m， n)， B(m， n)，则 1， m2 n2.nm nm把 m2 n2代入 1，得 m2 x24 y23 127 O 到直线 AB 的距离为| m| 2217直线 AB 斜率存在时，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 AB 的方程为 y kx m，与椭圆 1 联立消去 y 得x24 y23(34 k2)x28 kmx4 m2120，x1 x2 ， x1x2 8km3 4k2 4m2 123
12、 4k2 OA OB， x1x2 y1y20， x1x2( kx1 m)(kx2 m)0.即( k21) x1x2 km(x1 x2) m20，( k21) m20，4m2 123 4k2 8k2m23 4k2整理得 7m212( k21)，所以 O 到直线 AB 的距离 d |m|k2 1 127 2217由可知，点 O 到直线 AB 的距离为定值21已知椭圆 :C2(0)xyab的一个焦点是 (,0)F，且离心率为 12.（）求椭圆 的方程；（）设经过点 F的直线交椭圆 C于 ,MN两点，线段 的垂直平分线交y轴于点 0(,)Py，求 0的取值范围.【答案】 （）：设椭圆 C的半焦距是 c
13、.依题意，得 1c. 因为椭圆 C的离心率为 12，所以 2ac， 223ba. 3 分故椭圆 C的方程为 243xy. (）解：当 MNx轴时，显然 0y. 当 MN与 轴不垂直时，可设直线 MN的方程为(1)0ykx.由 2(1),34kx消去 y整理得 0)(84322.设 12(,),MxyN，线段 MN的中点为 3(,)Qxy，则 212834kx.所以 12324k， 32(1)4kyk.线段 MN的垂直平分线方程为)(422xky.在上述方程中令 0x，得 kky4312当 0k时， 34；当 0k时， 34k.所以 012y或012y综上， 0的取值范围是 3,12. 22设椭
14、圆 )0(1:2bayxC过点 21,)3,(F分别为椭圆 C 的左、右两个焦点，且离心率 e(1）求椭圆 C 的方程；(2）已知 A 为椭圆 C 的左顶点，直线 l过右焦点 F2与椭圆 C 交于 M、N 两点。若 AM、AN 的斜率 21,k满足 ,211求直线 的方程.【答案】 （1）由题意椭圆的离心率 ,e 2ac c 223cab椭圆方程为 1342yx 又点（1， ）在椭圆上， 13)(42c 2=1椭圆的方程为 12yx(2）若直线 l斜率不存在，显然 20k不合题意；则直线 l 的斜率存在。 设直线 为 )(xky，直线 l 和椭交于 1(,)Mxy， 2(,)Ny。将 :4312中 得 到代 入 y018)43(22依题意： 9k或得由韦达定理可知： 2122438kx又 )21(211 xykANM23()x而 4)(221121 x3464)(8kkk从而 21)(2ANM 求得 2符合 .1故所求直线 MN 的方程为： .(xy
