1、江苏省南通、徐州、扬州、泰州、淮安、宿迁六市 2018 届高三第二次调研（二模） （3 月） 数学试卷参考公式：柱体的体积公式 V 柱体 Sh，其中 S 为柱体的底面积，h 为高一、 填空题1. 已知集合 U1，0，1，2，3，A 1，0，2，则 UA_2. 已知复数 z1ai，z 234i，其中 i 为虚数单位若 为纯虚数，则实数 a 的值为z1z2_3. 某班 40 名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间40，100 上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于 60 分的人数为_4. 如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值为_5. 在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C，以线段
2、AC，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于 32 cm2 的概率为_6. 在ABC 中，已知 AB1，AC ，B45 ，则 BC 的长为 _27. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C 与双曲线 x2 1 有公共的渐近线，且经过y23点 P(2， )，则双曲线 C 的焦距为_38. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知角 ， 的始边均为 x 轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2) ，B (5，1)，则 tan()的值为_9. 设等比数列a n的前 n 项和为 Sn.若 S3，S 9，S 6 成等差数列，且 a83，则 a5 的值为_10. 已知 a，b，c 均为正数，且 abc4(a
3、b)，则 abc 的最小值为_11. 在平面直角坐标系 xOy 中，若动圆 C 上的点都在不等式组 表示的平面x3，x 3y 30，x 3y 30)区域内，则面积最大的圆 C 的标准方程为 _12. 设函数 f(x) (其中 e 为自然对数的底数 )有 3 个不同的零点，则实数e x 12，x 0，x3 3mx 2，x0)m 的取值范围是_13. 在平面四边形 ABCD 中，已知 AB1，BC4，CD2，DA3，则 的值为AC BD _14. 已知 a 为常数，函数 f(x) 的最小值为 ，则 a 的所有值为xa x2 1 x2 23_二、 解答题15. 在平面直角坐标系 xOy 中，设向量
4、a(cos ，sin )，b( sin ，cos )，c( ，12)32(1) 若|ab| |c|，求 sin() 的值；(2) 设 ，0，且 a(bc)，求 的值5616. 如图，在三棱柱 ABC -A1B1C1 中，ABAC ，点 E， F 分别在棱 BB1，CC 1 上( 均异于端点)，且ABEACF，AEBB 1，AF CC 1.求证：(1) 平面 AEF平面 BB1C1C；(2) BC平面 AEF.17. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，B 1，B 2 是椭圆 1(ab0) 的短轴端点，P 是x2a2 y2b2椭圆上异于点 B1，B 2 的一动点当直线 PB1 的方程为 y x3
5、 时，线段 PB1 的长为 4 .2(1) 求椭圆的标准方程；(2) 设点 Q 满足： QB1PB 1，QB 2PB 2.求证： PB1B2 与QB 1B2 的面积之比为定值18. 将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为 100 dm2 的矩形薄铁皮(如图) ，并沿虚线 l1，l 2 裁剪成 A，B，C 三个矩形( B，C 全等) ，用来制成一个柱体现有两种方案：方案： 以 l1 为母线，将 A 作为圆柱的侧面展开图，并从 B，C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案： 以 l2 为侧棱，将 A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从 B，C 中各裁剪出一个正方形(各边分别与 l1 或
6、l2 垂直)作为正四棱柱的两个底面(1) 设 B，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案制成的圆柱的底面，求底面半径；(2) 设 l1 的长为 x dm，则当 x 为多少时，能使按方案制成的正四棱柱的体积最大？19. 设等比数列 a1，a 2，a 3，a 4 的公比为 q，等差数列 b1，b 2，b 3，b 4 的公差为 d，且q1，d0.记 cia ib i(i1，2，3，4) (1) 求证：数列 c1，c 2，c 3 不是等差数列；(2) 设 a11，q2.若数列 c1，c 2，c 3 是等比数列，求 b2 关于 d 的函数关系式及其定义域；(3) 数列 c1，c 2，c 3，c 4 能否为
7、等比数列？并说明理由20. 设函数 f(x)xasin x(a 0)(1) 若函数 yf(x )是 R 上的单调增函数，求实数 a 的取值范围；(2) 设 a ，g(x )f( x)bln x1( bR，b0)，g(x)是 g(x)的导函数12 若对任意的 x0，g(x )0，求证： 存在 x0，使 g(x0)0； 若 g(x1)g(x 2)(x1x2)，求证： x1x24b 2.附加题21. 选做题A. (选修 4-1：几何证明选讲 )如图，A，B ，C 是圆 O 上的 3 个不同的点，半径 OA 交弦 BC 于点 D.求证：DBDCOD 2OA 2.B. (选修 4-2：矩阵与变换)在平面
8、直角坐标系 xOy 中，已知 A(0，0)，B(3 ，0)，C(2，2)设变换 T1，T 2 对应的矩阵分别为 M ，矩阵 N ，求对ABC 依次实施变换 T1，T 2 后所得图形的面积1002 2001C. (选修 4-4：坐标系与参数方程 )在极坐标系中，求以点 P(2， )为圆心且与直线 l：sin( )2 相切的圆的极坐标方程3 3D. (选修 4-5：不等式选讲 )已知 a，b，c 为正实数，且 abc ，求证： 2.12 1 a cc（a 2b）必做题22. 在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的 33 表格，其中 1 格设奖 3
9、00 元，4 格各设奖 200 元，其余 4 格各设奖100 元，点击某一格即显示相应金额某人在一张表中随机不重复地点击 3 格，记中奖总金额为 X 元(1) 求概率 P(X600)；(2) 求 X 的概率分布及数学期望 E(X)23. 已知(1x) 2n1 a 0a 1xa 2x2a 2n1 x2n1 ，nN *.记 Tn (2k1)a nk .(1) 求 T2 的值；(2) 化简 Tn 的表达式，并证明：对任意的 nN *，T n 都能被 4n2 整除【参考答案】1. 1，3 2. 3. 30 4. 125 5. 6. 7. 4 8. 9. 6 10. 843 13 2 62 3 9711
10、. (x 1)2y 24 12. (1 ，) 13. 10 14. 4，1415. 解：(1) 因为 a(cos ， sin )，b( sin ，cos ) ， c( ， )，12 32所以|a|b|c|1，且 abcos sin sin cos sin()因为|ab|c|，所以|a b| 2 c2，即 a22abb 21，所以 12sin( )11，即 sin() .12(2) 因为 ，所以 a( ， )故 bc(sin ，cos )56 32 12 12 32因为 a (bc)，所以 (cos ) (sin )0.32 32 12 12化简得 sin cos ，所以 sin( ) .12
11、32 12 3 12因为 0210. )记函数 p(x) 则 p(x)在(0，2 上单调递增，在2 ，)上单调递减，x34，0210，) 10 10所以当 x2 时，p max(x)20 .10 10所以当 x2 ，a 时，V max20 (dm3)10 10 10(方法 2)2ax ，从而 a .20a 10所得正四棱柱的体积 Va 2xa2( )20a20 . 20a 10所以当 a ，x 2 时，V max20 (dm3)10 10 10答：(1) 圆柱的底面半径为 dm；52（ 1）2（ 1）(2) 当 x 为 2 时，能使按方案 制成的正四棱柱的体积最大1019. (1) 证明：假设
12、数列 c1，c 2，c 3 是等差数列，则 2c2c 1c 3，即 2(a2b 2)(a 1b 1)(a 3b 3)因为 b1，b 2，b 3 是等差数列，所以 2b2b 1b 3，从而 2a2a 1a 3.因为 a1，a 2，a 3 是等比数列，所以 a a 1a3.2所以 a1a 2a 3，这与 q1 矛盾，从而假设不成立所以数列 c1，c 2，c 3 不是等差数列(2) 解：因为 a11，q2，所以 an2 n1 .因为 c c 1c3，所以 (2b 2)2(1b 2d)(4 b 2d)，即 b2d 23d.2由 c22b 20，得 d23d20，所以 d1 且 d2.又 d0，所以 b
13、2d 23d，定义域为dR |d1，d2，d0(3) 解：(解法 1)设 c1，c 2，c 3，c 4 成等比数列，其公比为 q1，则将2，得 a1(q1) 2c 1(q11) 2 ， 将2，得 a1q(q1) 2c 1q1(q11) 2 ，因为 a10，q1，由得 c10，q 11.由得 qq 1，从而 a1c 1.代入得 b10. 再代入得 d0，与 d0 矛盾所以 c1，c 2，c 3，c 4 不成等比数列(解法 2)假设数列 c1，c 2，c 3，c 4 是等比数列，则 .c2c1 c3c2 c4c3所以 ，即 .c3 c2c2 c1 c4 c3c3 c2 a3 a2 da2 a1 d
14、 a4 a3 da3 a2 d两边同时减 1，得 .a3 2a2 a1a2 a1 d a4 2a3 a2a3 a2 d因为等比数列 a1，a 2，a 3，a 4 的公比为 q(q1)，所以 .a3 2a2 a1a2 a1 d q（a3 2a2 a1）a3 a2 d又 a32a 2a 1a 1(q1) 20，所以 q(a2a 1d) a 3a 2d，即( q1)d0.这与 q1，且 d0 矛盾，所以假设不成立所以数列 c1，c 2，c 3，c 4 不能为等比数列20. (1) 解：由题意，f (x)1acos x0 对 xR 恒成立因为 a0，所以 cos x 对 xR 恒成立1a因为(cos
15、x) max1，所以 1，从而 00，使 g( )1 cos( )0.取 x0e ，则 00，使 g(x0)1.x2x1由(1)知函数 yxsin x 单调递增，所以 x2sin x 2x1sin x 1.从而 x2x 1sin x2sin x 1.因为 g(x1)g(x 2)，所以 x1 sin x1bln x 11x 2 sin x2bln x 21，12 12所以b(ln x 2 ln x1)x 2x 1 (sin x2sin x1) (x2x 1)，12 12所以2b 0.x2 x1ln x2 ln x1下面证明 ，即证明 ，只要证明 ln t 1)，所以 h(t) ， 即 x1x24
16、b2.x1x2附加题21. A. 证明：延长 AO 交圆 O 于点 E，则 BDDCDE DA( ODOE)(OAOD)(5 分)因为 OEOA ，所以 DBDC(OAOD)(OAOD) OA 2OD 2.所以 DBDCOD 2OA 2.B. 解：依题意，依次实施变换 T1，T 2 所对应的矩阵 NM .2 00 11 00 2 2 00 2则 ， ， .2 00 200 00 2 00 230 60 2 00 222 44所以 A(0，0) ， B(3，0)，C(2，2) 分别变为点 A(0，0)，B(6，0)，C(4，4)从而所得图形的面积为 6412.12C. 解：以极点为原点，极轴为
17、x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系 xOy.则点 P 的直角坐标为(1， )3将直线 l：sin 2 的方程变形为 sin cos cos sin 2，( 3) 3 3化为普通方程，得 xy40.3所以 P(1， )到直线 l： xy40 的距离为 2.3 34（3）2 （ 1）2故所求圆的普通方程为(x1) 2(y )24.3化为极坐标方程，得 4sin .( 6)D. 证明：因为 a，b，c 为正实数，所以 1 a cc（a 2b） a 2b 3cc（a 2b） （a c） 2（b c）ac 2bc2(当且仅当 abc 取“ ”) 2ac 4bcac 2bc22. 解：(1)从 33 表
18、格中随机不重复地点击 3 格，共有 C 种不同情形，39则事件“X600”包含两类情形：第一类是 3 格各得奖 200 元；第二类是 1 格得奖 300 元，1 格得奖 200 元，1 格得奖 100 元其中第一类包含 C 种情形，第二类包含 C C C 种情形，34 1 14 14所以 P(X600) .521(2) X 的所有可能值为 300，400，500，600，700，则P(X300) ， P(X400) ，484 121 2484 27P(X500) ， P(X700) .3084 514 684 114所以 X 的概率分布列为X 300 400 500 600 700P 121
19、27 514 521 114所以 E(X)300 400 500 600 700 500.121 27 514 521 11423. 解：由二项式定理，得 aiC (i0，1，2，2n1)i2n 1(1) T2a 23a 15a 0C 3C 5C 30.25 15 05(2) 因为(n1k)C (n1k) (2 n1)C ，n 1 k2n 1（2n 1）！（n 1 k）！ （n k）！ （2n 1）（2n）！（n k）！ （n k）！ n k2nTn(2n 1)C (2n1)( C C )2(2n1) C .n2 n 12 n2n 1 n2n 1因为 C N *，所以 Tn 能被 4n2 整除n2n 1
