1、【2013 版中考 12 年】浙江省杭州市 2002-2013 年中考数学试题分类解析 专题 9 三角形1、选择题1. （2002 年浙江杭州 3 分）1 米长的标杆直立在水平的地面上，它在阳光下的影长为 0.8米；此时，若某电视塔的影长为 100 米，则此电视塔的高度应是【 】 （A）80 米 （B）85 米 （C）120 米 （D）125 米2. （2002 年浙江杭州 3 分）如果直角三角形的三条边为 2，4，a，那么 a 的取值可以有【 】 （A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）3 个【答案】C。【考点】勾股定理逆定理，分类思想的应用。【分析】直角三角形的三条边为 2，4，a
2、，可以 4 或 a 是斜边。若 4 是斜边，则由 +=取正解 23；若 a 是斜边，则由 24a取正解 5。 a 的取值可以有 2 个。故选 C。3. （2002 年浙江杭州 3 分）在ABC 中，A、B 都是锐角，且 sinA12，cosB2，则ABC 三个角的大小关系是【 】 （A）CAB （B）BCA （C）ABC （D）CBA【答案】D。【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理。【分析】 1sin2， 2cos，A=30 0，B=45 0。C=180 030 045 0=1050。CBA。故选 D。4. （2003 年浙江杭州 3 分）要判断如图 ABC 的面积是
3、 DBC 面积的几倍，只用一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是【 】（A）3 次 （B）2 次 （C）1 次 （D）3 次以上【答案】C。【考点】三角形的面积，相似三角形的判定和性质。【分析】根据同底三角形的面积比等于高之比，即可得到答案：如图，连接 AD 并延长交 BC 于 M，过点 A 作 APBC 于点 P，过点 D 作 DEBC 于点 E，DEAP，AMPDME。 PDE。 ABCD1PSA2M。一次测量 AM（AD）即可得 AD，AM 长，即可出ABC 的面积是DBC 的面积的几倍。度量的次数最少是只量一次。故选 C。5. （2004 年浙江杭州 3 分）如图，在 RtABC 中
4、，AF 是斜边上的高线，且 BD=DC=FC=1，则 AC 的长为【 】（A） 32 （B） 3 （C） 2 （D） 3在 RtADB 中，BD=1，由勾股定理得 2AB1x。DC=FC=1，DCB 是等腰三角形。DEBC，E 为 BC 的中点。又AFBC，CDE CAF。 CDEAF，即 1CEx，解得 1x。BC=2CE= 21x。在 RtABC 中，由勾股定理得， 22ABC，即 2224(1x)。令 AC=1x=y，则 24y，解得 33y2=。故选 A。6. （2005 年浙江杭州 3 分）如图，在等腰 RtABC 中，AC=BC，以斜边 AB 为一边作等边ABD，使点 C、D 在
5、AB 的同侧，再以 CD 为一边作等边CDE，使点 C、E 在 AD 的异侧，若 AE=1，则CD 的长为【 】（A） 13 （B） 213 （C） 26 （D） 26【答案】D。【考点】等腰（边）三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】等腰 RtABC 中，AC=BC， 等边ABD 中，AD=BD，公共边 DC=DC。DCADCB（SSS） 。ADC=BDC。等边ABD 中，ADB=60 0，ADC=BDC=30 0。又等边CDE 中，EDC=60 0，EDA=CDA=30 0。DA 是 EC 的垂直平分线。A
6、C=AE=1。延长 DC 交 AB 于点 F，则 DF 垂直平分 AB。由等腰 RtABC 得，CF=AF= 2。在 RtADF 中， AFtanD，2F6=tanAD3。 62CDF。故选 D。7. （2006 年浙江杭州大纲卷 3 分）已知ABC 如图，则下列 4 个三角形中，与ABC 相似的是【 】【答案】C。【考点】相似三角形的判定。【分析】ABC 是等腰三角形，底角是 75，则顶角是 30，看各个选项是否符合相似的条件：第三个图与ABC 三角对应相等，所以两个三角形相似。故选 C。8. （2006 年浙江杭州大纲卷 3 分）如图，ABC、ADE 及EFG 都是等边三角形，D 和 G分
7、别为 AC和 AE 的中点。若 AB4 时，则图形 ABCDEFG 外围的周长是【 】A12 B15 C18 D219. （2006 年浙江杭州课标卷 3 分）如图，飞机 A 在目标 B 的正上方，在地面 C 处测得飞机的仰角为 ，在飞机上测得地面 C 处的俯角为 ，飞行高度为 h，AC 间距离为 s，从这4 个已知量中任取 2 个为一组，共有 6 组，那么可以求出 BC 间距离的有【 】A3 组 B4 组 C5 组 D6 组【答案】C。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题） ，平行的性质，锐角三角函数定义，勾股定理。【分析】已知一个角，一条线段长可利用相应的三角函数求解或已知两条线段可利
8、用勾股定理求解：要求出 BC 间距离，只需知道 s、h；s、；h、；s、；h、五组中任意一组即可。故选 C。10. （2007 年浙江杭州 3 分）如图，在高楼前 D 点测得楼顶的仰角为 30，向高楼前进 60米到 C 点，又测得仰角为 45，则该高楼的高度大约为【 】A.82 米 B.163 米 C.52 米 D.70 米【答案】A。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角） ，俯角锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】在 RtABC 中，ACB=45 0，AB=CB。在 RtABD 中，ACB=30 0， 0ABAB3tan3DC60。解得， 603AB82。故选 A。11. （200
9、9 年浙江杭州 3 分） 如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3 和 4 及 x，那么 x 的值【 】A.只有 1 个 B.可以有 2 个 C.有 2 个以上，但有限 D.有无数个【答案】B。【考点】相似三角形的判定，勾股定理，分类思想的应用。【分析】根据题意，分两种情况讨论：若 6 和 8、3 和 4 分别是直角边，则由勾股定理可得 x=5；若 8、4 分别是斜边，则由勾股定理可得 x= 243=7。因此，x 的值可以有 2 个。故选 B。12. （2012 年浙江杭州 3 分）如图，在 RtABO 中，斜边 AB=1若 OCBA，AOC=3
10、6，则【 】A点 B 到 AO 的距离为 sin54 B点 B 到 AO 的距离为 tan36 C点 A 到 OC 的距离为 sin36sin54 D点 A 到 OC 的距离为 cos36sin54A、由于在 RtABO 中AOB 是直角，所以 B 到 AO 的距离是指 BO 的长。ABOC，BAO=AOC=36。在 RtBOA 中，AOB =90，AB=1，BO=ABsin36=sin36。故本选项错误。B、由 A 可知，选项错误。C、如图，过 A 作 ADOC 于 D，则 AD 的长是点 A 到 OC 的距离。 在 RtBOA 中，BAO=36，AOB=90，ABO=54。AO=AB si
11、n54= sin54。在 RtADO 中， AD=AOsin36=ABsin54sin36=sin54sin36。故本选项正确。D、由 C 可知，选项错误。故选 C。13.（2013 年浙江杭州 3 分）在 RtABC 中，C=90，若 AB=4，sinA= 35，则斜边上的高等于【 】A 6425 B 4825 C 165 D 12【答案】B。【考点】解直角三角形，锐角三角函数定义，勾股定理，直角三角形的面积求法。【分析】根据题意画出图形，如图所示，在 RtABC 中，AB=4，sinA= 35，BC=ABsinA= 125。根据勾股定理得： 26ACB。S ABC = 12ACBC= AB
12、CD，612485CDAB。故选 B。二、填空题1. （2003 年浙江杭州 4 分） 如图，锐角三角形 ABC 的边 AB，AC 上的高线 CE 和 BF 相交于点 D。请写出图中的两对相似三角形： （用相似符号连接） 。2. （2006 年浙江杭州大纲卷 4 分）如图，在ABC 中，AB12，AC5，BAC90。若点 P 是 BC的中点，则线段 AP 的长等于 ；若点 P 在直线 BC 上运动，设点 B，C 关于直线AP 的对称点分别为 BC，则线段 BC的长等于 【答案】6.5，13。【考点】勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，轴对称的性质。【分析】在ABC 中，AB=12，AC=5
13、，BAC=90，根据勾股定理，斜边 BC=13。点 P 是 BC 的中点，AP=6.5。点 B、C 关于直线 AP 的对称点分别为 B、C，根据轴对称的性质得 BC=BC=13。3. （2008 年浙江杭州 4 分）在 RtABC 中，C 为直角，CDAB 于点 D，BC=3，AB=5，写出其中的一对相似三角形是 和 ；并写出它们的面积比 4. （2011 年浙江杭州 4 分）在等腰 RtABC 中，C=90，AC=1，过点 C 作直线lAB，F 是 l上的一点，且 AB=AF，则点 F 到直线 BC 的距离为 在 RtAEF 中， （1EC） 2EF 2=AF2，即 (1DF) 2DF 2=
14、( )2。 解得，DF= 312。（2）如图，延长 BC，做 FDBC，交点为 D，延长 CA，做 FECA 于点 E，易得，四边形 CDFE 是正方形，即，CD=DF=FE=EC。同上可得，在 RtAEF 中， （EC1） 2EF 2=AF2，即(FD1) 2FD 2=(2)2。解得，FD= 31。综上所述，FD= 2。5.（2013 年浙江杭州 4 分）在 RtABC 中，C=90，AB=2BC，现给出下列结论：sinA= 32；cosB= 1；tanA= 3；tanB= 3，其中正确的结论是 （只需填上正确结论的序号）【答案】。【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直角三角形两锐
15、角的关系。【分析】在 RtABC 中，C=90，AB=2BC， BC1sinA2。A=30。B=60。cosB= cos60= 12，tanA= tan30 0= 3，tanB= tan60 0= 3。正确的结论是。三、解答题1. （2002 年浙江杭州 8 分）如图，小王在陆地上从 A 地经 B 地到达 C 地总行程是 14 千米，这里的ABC 为直角，且BAC 的正切值为 0.75那么小王乘海轮从 A 地直接到 C 地的最短距离是多少千米?2. （2004 年浙江杭州 7 分）在第六册课本的阅读材料中，介绍了一个第七届国际数学教育大会的会徽。它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而
16、成的。设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且 OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A8A9=1，请你先把图中其它 8 条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这 8 条线段的长的乘积。OA2 OA3 OA4 OA5 OA6 OA7 OA8 OA9【答案】解：填表如下：OA2 OA3 OA4 OA5 OA6 OA7 OA8 OA92 23这 8 条线段的长的乘积为：2356723=70 。【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，二次根式计算。【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理可求得各线段长，进行二次根式计算。3. （2004 年浙江杭州 12 分）在 ABC 中，AB=AC
17、，D 为 BC 上一点，由 D 分别作 DEAB于 E，DFAC于 F；设 DE=a，DF= b，且实数 a， b满足 229a4b160，并有 2ab65；A 使得方程213xsinsi044A有两个相等的实数根（1）试求实数 a， b的值； （2）试求线段 BC 的长。分别在 RtBDE 和 RtCDF 中有483BDCD23sin60sin60，。BC=BD+DC= 1。当A=120时，ABC 为等腰三角形，B=C=30。同上方法可得 BC=14。综上所述，线段 BC 的长为 143或 14。4. （2006 年浙江杭州大纲卷 8 分）如图，在 RtABC 中，已知ACB90，且CHAB
18、，HEBC，HFAC。求证：（1）HEFEHC； （2）HEFHBCHEFHBC。5. （2006 年浙江杭州课标卷 6 分）如图，在 RtABC 中，已知ACB90，且CHAB，HEBC，HFAC。求证：（1）HEFEHC； （2）HEFHBC6. （2007 年浙江杭州 10 分）如图，已知 AB=AC，A=36 0，AB 的中垂线 MN 交 AC 于点 D，交 AB 于点 M，有下面 4 个结论：射线 BD 是ABC 的角平分线；BCD 是等腰三角形；ABCBCD；AMDBCD。（1）判断其中正确的结论是哪几个？（2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明。【考点】线段垂直平分线的性质，角
19、平分线的性质，全等、相似三角形的判定，等腰三角形的判定。【分析】 （1）利用等腰三角形和线段垂直平分线的性质分析。（2）根据等腰三角形的性质证明ABC=ACB，再根据中垂线的性质证明。BDC=180-C-DBC=180-72-36=72，BD=BC。BCD是等腰三角形。ABC=ACB=BDC=C，ABCBCD。ADM=90C=72，AMD 与BCD 不是全等三角形。故不正确。、命题都正确。7. （2008 年浙江杭州 10 分）如图，在等腰 ABC 中，CH 是底边上的高线，点 P 是线段CH 上不与端点重合的任意一点，连结 AP 交 BC 于点 E，连结 BP 交 AC 于点 F。（1）证明
20、：CAE=CBF；（2）证明：AE=BF；（3）以线段 AE，BF 和 AB 为边构成一个新的三角形 ABG（点 E 与点 F 重合于点 G） ，记ABC 和 ABG的面积分别为 SABC 和 SABG ，如果存在点 P，能使 SABC =SABG ，求C 的取值范围。【答案】解：（1）证明：ABC 是等腰三角形，CH 是底边上的高线，AC=BC，ACP=BCP。又CP=CP，ACPBCP（SAS） 。CAP=CBP，即CAE=CBF。（2）证明：ACE=BCF，CAE=CBF，AC=BC，ACEBCF（ASA） 。AE=BF。（3）由（2）知ABG 是以 AB 为底边的等腰三角形，S ABC
21、 =SABG。AE=AC。当ACB 为直角或钝角时，在ACE 中，不论点 P 在 CH 何处，均有AEAC，所以结论不成立。当ACB 为锐角时， 1BAC90B2，CAE ，要使 AE=AC，只需使ACB=CEA，此时，CAE=1802ACB。只须 1802ACB 1902，解得 60ACB90。【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，分类思想的应用。【分析】 （1）由 SAS 证得ACPBCP 即可。（2）加上（1）的结论，由 ASA 证得ACEBCF 即可。（3）假设存在点 P，能使得 SABC=SABG，由（2）得到的 AE=BF，则新三角形ABG 也为等腰三
22、角形，根据底边都为 AB，面积相等，得到高相等，所以 AC=AE，即三角形 ACE 为等腰三角形，则底角C 为锐角，即可得到C 的取值范围。8. （2010 年浙江杭州 10 分）如图，AB = 3AC，BD = 3AE，又 BDAC，点 B，A，E 在【答案】解：（1）证明：AB = 3AC，BD = 3AE， ABD3 ,CE。 ABDCE。又BDAC，ABD=CAE。ABDCAE。（2）设 AD，BC 交点为 O，BDAC，OAC=ODB，OCA=OBD。BD=CA=a，OACODB（ASA） 。DO=AO，OB=OC。在ABD 中，BD = a，AB = 3AC= 3BD= 3a，AD
23、 = 2BD= a，AB 2=9a2，BD 2AD 2 =9a2，即 AB2=BD2AD 2 。ABD 是直角三角形，且D=90 0。在 RtOBD 中，BD = a，OD= a，由勾股定理，得 2BOD3。BC= 23a。【考点】平行的性质，相似三角形的判定， 全等三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理。【分析】（1）由 AB = 3AC，BD = 3AE 可得 ABDCE；由 BDAC 可得ABD=CAE，从而得证。（2）由 BDAC 可得OAC=ODB，OCA=OBD；从而由 BD=CA，根据 ASA 可得OACODB，得到 DO=AO，OB=OC。在ABD 中，根据勾股定理的逆定理可证得
24、D=90 0。从而在 RtOBD 中，由勾股定理，得 2BOD3a，因此 BC=2BO3a。9. （2010 年浙江杭州 10 分）如图，台风中心位于点 P，并沿东北方向 PQ 移动，已知台风移动的速度为 30 千米/时，受影响区域的半径为 200 千米，B 市位于点 P 的北偏东 75方向上，距离点 P 320 千米处. 【答案】解：(1) 作 BHPQ 于点 H，在 RtBHP 中，由条件知， PB = 320， BPQ = 30，得 BH = 320sin30 = 160 0的图象经过点 B，D，求k 的值（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出【答案】解：（1）AB=B
25、C=CD=DE，A=BCA，CBD=BDC，ECD=CED，根据三角形的外角性质，A+BCA=CBD，A+CDB=ECD，A+CED=EDM，又EDM=84，A+3A=84，解得，A=21。点 B 在反比例函数 kyx0图象上，点 B，C 的横坐标都是3，点 B（3， k） 。BC=3，点 C（3， k+2） 。ACx 轴，点 D 在 AC 上，且横坐标为 1，A（1， k3+2） 。点 A 也在反比例函数图象上， k3+2=k。解得，k=3。（2）用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法，转换为解一元一次方程。【考点】等腰三角形的性质，三角形的外角性质，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元一次方程。
