1、京津沪渝 4 市（7 份）2011 年中考数学试题分类解析汇编专题 9：三角形1、选择题1. （天津 3 分）sin45 的值等于（A) (B) (C) (D) 1232【答案】B。【考点】特殊角三角函数。【分析】利用特殊角三角函数的定义，直接得出结果。2.（上海 4 分）下列命题中，真命题是(A)周长相等的锐角三角形都全等； (B) 周长相等的直角三角形都全等；(C)周长相等的钝角三角形都全等； (D) 周长相等的等腰直角三角形都全等【答案】D。【考点】命题与定理，全等三角形的判定。 【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一判断：A 、周长相等的锐角三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定相等
2、，假命题；B、周长相等的直角三角形对应锐角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；C、周长相等的钝角三角形对应钝角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；D 、由于等腰直角三角形三边之比为 1：1： ，故周长相2等时，等腰直角三角形的对应角相等，对应边相等，故全等，真命题。故选 D。3.（重庆綦江 4 分）若相似ABC 与DEF 的相似比为 1：3，则ABC 与DEF 的面积比为A、1：3 B、1：9 C、3：1 D、1：【答案】B。【考点】相似三角形的性质。【分析】由相似ABC 与DEF 的相似比为 1：3，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得ABC 与DEF 的面积比为 1：9
3、。故选 B。4.（重庆江津 4 分）已知如图：（1） 、 （2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中 AB、CD 交于 0 点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的学优中考网 是A、都相似 B、都不相似C、只有（1）相似 D、只有（2）相似【答案】A。【考点】相似三角形的判定，三角形内角和定理，对顶角的性质。【分析】图（1）根据三角形的内角和定理，即可求得ABC 的第三角，由有两角对应相等的三角形相似，即可判定（1）中的两个三角形相似；图（2）根据图形中的已知条件，即可证得 ，又由对顶角相等，即可根据对应边成比例且夹角相等的三角形相似OACDB证得相似。故选 A。5
4、 （重庆潼南 4 分）若ABCDEF，它们的面积比为 4：1，则ABC 与DEF 的相似比为A、2：1 B、1：2 C、4：1 D、1： 4【答案】A。【考点】相似三角形的性质。【分析】由ABCDEF 与它们的面积比为 4：1，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得ABC 与DEF 的相似比为 2：1。故选 A。2、填空题1.（上海 4 分）如图，AM 是ABC 的中线，设向量 ， ，那么向量 BaCbAM （结果用 、 表示） ab【答案】 。12【考点】平面向量。【分析】AM 是ABC 的中线， ， 。又 ，BCb1MBC2bABa。1AMB2ab2.（重庆分）如图，ABC 中，
5、DE BC ，DE 分别交边 AB、AB 于 D、E 两点，若AD：AB=1：3 ，则ADE 与 ABC 的面积比为 【答案】1：9。【考点】相似三角形的判定和性质。【分析】由 DEBC 可得ADEABC ，因此根据相似三角形的面积比等于相似比的平方直接得出答案。3.（重庆江津 4 分）在 RtABC 中，C=90 ，BC=5 ，AB=12，sinA= 【答案】 。512【考点】锐角三角函数的定义。【分析】在 RtABC 中，根据三角函数定义得 sinA= 。BC5A124 （重庆潼南 4 分）如图，某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点 O 为圆心，AD 长为直径的圆形区域，为了测量受
6、污染的圆形区域的直径，在对应O 的切线 BD（点 D 为切点）上选择相距 300 米的 B、C 两点，分别测得ABD=30，ACD=60，则直径 AD= 米 （结果精确到 1 米）（参考数据： ）21.4 ,31.72【答案】260。【考点】解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，锐角三角函数定义，解分式方程。【分析】设 CD= ，则由ADC=90，ACD=60 可得 AC=2 ， AD= ，x x3x由 BC=300，得 BD=300 ，x在 Rt ABD 中， tinB= ， ，解并检验得：AD3B0x30x=150。xAD= = （米） 。3x150.732159.826故答案为：260
7、 米3、解答题1.（北京 5 分）如图，点 A、 B、C、D 在同一条直线上，学优中考网 BEDF，A=F，AB=FD求证：AE=FC http:/ 】证明：BEDF，ABE=D。在ABC 和FDC 中 ， ABCFDC（ASA） 。ABEFAE=FC【考点】平行线的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】利用平行线同位角相等的性质可得ABE=D，由已知用 ASA 判定ABCFDC，再由全等三角形对应边相等的性质证得 AE=FC。2.（北京 5 分）如图，在ABC，AB=AC ，以 AB 为直径的O 分别交 AC、BC 于点 D、E，点 F 在 AC 的延长线上，且CBF= CAB 12（1）求
8、证：直线 BF 是O 的切线；（2）若 AB=5，sinCBF= ，求 BC 和 BF 的长5http:/ 】解：（1）证明：连接 AE。AB 是O 的直径，AEB=90。1+2=90。AB=AC，1= CAB。12CBF= CAB，1=CBF。CBF+2=90。即ABF=90。AB 是O 的直径，直线 BF 是O 的切线。（2）过点 C 作 CGAB 于点 G。sinCBF= ，1=CBF，sin1= 。55AEB=90，AB=5，BE=ABsin1= 。AB=AC，AEB=90，BC=2BE=2 。5在 RtABE 中，由勾股定理得 AE=2 ，sin2= ，cos 2= 。255在 Rt
9、CBG 中，可求得 GC=4，GB=2，AG=3 。GCBF，AGCBFA。 。 。GCABFGCAB20F3【考点】切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。【分析】 （1）连接 AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明ABE=90。（2）利用已知条件证得AGCBFA，利用对应边的比求得线段的长即可。3.（北京 5 分）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题，如图 1，在梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC，BD 相交于点 O若梯形 ABCD 的面积为 1，试求以AC，BD，AD+BC 的长度为三边
10、长的三角形的面积小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题他的方法是过点 D 作 AC 的平行线交 BC 的延长线于点 E，得到的BDE 即是以 AC，BD ，AD+BC 的长度为三边长的三角形（如图 2） 参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：如图 3，ABC 的三条中线分别为 AD，BE，CF（1）在图 3 中利用图形变换画出并指明以 AD，BE ，CF 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹） ；（2）若ABC 的面积为 1，则以 AD，BE，CF 的长度为三
11、边长的三角形的面积等于 34【答案】解：BDE 的面积等于 1。（1）如图以 AD、BE 、CF 的长度为三边长的一个三角形是CFP。（2）连接 EF，PE，则CFP 可公割成PEF， PCE 和EFC。四边形 BEPF 是平行四边形，PEFBFE 。又E，F 是 AC，AB 的中点，BFE 的底和高都是 ABC 的一半。学优中考网 BFE 的面积是ABC 的 ，即PEF 的面积是ABC 的 。1414同理，PCE 和EFC 的面积都是ABC 的 。14以 AD、BE 、CF 的长度为三边长的三角形的面积等于 。3【考点】平移的性质，三角形的面积，尺规作图。【分析】根据平移可知，ADCECD，
12、且由梯形的性质知ADB 与ADC 的面积相等，即BDE 的面积等于梯形 ABCD 的面积。（1）分别过点 F、C 作 BE、AD 的平行线交于点 P，得到的CFP 即是以AD、BE、CF 的长度为三边长的一个三角形。（2）由平移的性质可得对应线段平行且相等，对应角相等。结合图形知以AD，BE，CF 的长度为三边长的三角形的面积等于ABC 的面积的 。344.（天津 8 分）某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景如图，游轮出发点 A 与望海楼 B 的距离为 300 m在一处测得望海校 B 位于 A 的北偏东30方向游轮沿正北方向行驶一段时间后到达 C在 C 处测得望海楼 B位于 C 的北偏东 60方
13、向求此时游轮与望梅楼之间的距离 BC ( 取3l.73结果保留整数)【答案】解：根据题意，AB=10，如图，过点 B 作 BDAC 交 AC 的延长线于点D。在 RtADB 中， BAD=30 0， 。1DA30152在 RtCDB 中， 。05BC=7sinsi6答：此时游轮与望梅楼之间的距离约为 173 m。【考点】解直角三角形的应用。【分析】要求 BC 的长，就要把它作为直角三角形的边，故辅助线过点 B 作 BDAC 交AC 的延长线于点 D，形成两个直角三角形，利用三角函数解直角三角形先求 BD 再求出BC。5.（重庆分）如图，点 A、 F、C 、D 在同一直线上，点 B 和点 E 分
14、别在直线 AD 的两侧，且 AB=DE，A= D，AF=DC求证：BCEF【答案】证明：AF=DC，AC=DF 。又AB=DE，A= D，ACBDEF（SAS） 。ACB=DFE， 。BCEF 。【考点】全等三角形的判定与性质，平行线的判定。【分析】根据已知条件得出ACBDEF，即可得出ACB= DFE，再根据内错角相等两直线平行的判定，即可证明 BCEF 。6.（重庆綦江 6 分）如图，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点 A 是小刚的眼睛，测得屏幕下端 D 处的仰角为30，然后他正对屏幕方向前进了 6 米到达 B 处，又测得该屏幕上端 C 处的仰角为 45，延长
15、AB 与楼房垂直相交于点 E，测得 BE=21 米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离 CD （结果保留根号）【答案】解：CBE=45，CE AE ，CE=BE =21。AE=AB+BE=21+6=27。在 Rt ADE 中，DAE=30，DE=AEtan30=27 =9 ，3CD=CEDE=219 。3广告屏幕上端与下端之间的距离约为 219 m。3【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题） 。【分析】易得 CE=BE，利用 30的正切值即可求得 CE 长，从而可求得 DE 长CE 减去DE 长即为广告屏幕上端与下端之间的距离。7.（重庆江津 10 分）在ABC 中，AB=CB，ABC
16、=90，F 为 AB 延长线上一点，点 E在 BC 上，且 AE=CF（1）求证：RtABERt CBF；（2）若CAE=30，求ACF 的度数【答案】解：（1）证明：ABC=90 ，CBF= ABE=90，在 Rt ABE 和 RtCBF 中，AE=CF，AB=BC ，RtABE RtCBF（HL） 。（2）AB=BC，ABC=90，CAB= ACB=45 ，又CAE=30，BAE=CABCAE=4530=15。学优中考网 由（1）知：RtABERt CBF，BCF= BAE=15。ACF=BCF+ACB=45+15=60。【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质。【分析】 （1）由 AB=CB，ABC=90，AE=CF ，即可利用 HL 证得 RtABERt CBF 。（2）由 AB=CB，ABC=90，即可求得CAB 与ACB 的度数，即可得BAE的度数，又由 RtABERt CBF，即可求得BCF 的度数，则由ACF= BCF+ ACB即可求得答案。学 优中考)，网
