1、专题提升四 关于反比函数的图象和性质的综合运用类型一 反比例函数与生活实际的关系1 一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间 t（h ）与行驶速度 v（km/h）满足函数关系：t= vk，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为 A（40，1）和 B（m，0.5 ） ，若行驶速度不得超过60（ km/h） ，则汽车通过该路段最少需要时间为（ ）A. 32分B. 40 分C. 60 分D. 320分2 保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动 某化工厂 2009 年 1 月的利润为200 万元设 2009 年 1 月为第 1 个月，第 x 个月的利润为 y 万元 由于排污超标，该厂从 2009年
2、 1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从 1 月到 5 月，y 与 x 成反比例 到 5 月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加 20 万元（如图） （1 ）分别求该化工厂治污期间及改造工程顺利完工后 y 与 x 之间对应的函数关系式（2 ）治污改造工程顺利完工后经过几个月，该厂利润才能达到 200 万元？（3 ）当月利润少于 100 万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？3 某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200m3 的生活垃圾运走（1 ）假如每天能运 xm3，所需时间为 y 天，写出 y 与 x
3、 之间的函数关系式；（2 ）若每辆拖拉机一天能运 12m3，则 5 辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？（3 ）在（2 ）的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不超过 6 天的时间完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？4. 某公司从 2009 年开始投入技术改造资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如表：来源:学优高考网年度 2009 2010 2011 2012投入技改资金 x（万元）2.5 3 4 4.5产品成本 y（万元/件）7.2 6 4.5 4（1 ）试判断：从上表中的数据看出，y 与 x 符合你学过的哪个函数模型？请说明理由，并写出它的解析式（2
4、 ）按照上述函数模型，若 2013 年已投入技改资金 5 万元.预计生产成本每件比 2012 年降低多少元？如果打算在 2013 年把每件产品的成本降低到 3.2 万元，则还需投入技改资金多少万元？来源:gkstk.Com5. 某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升 10，待加热到 100，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温 y（）和通电时间 x（min ）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程设某天水温和室温为 20，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：（1 ）分别求
5、出当 0x 8 和 8xa 时，y 和 x 之间的关系式；（2 ）求出图中 a 的值；（3 ）下表是该小学的作息时间，若同学们希望在上午第一节下课 8：20 时能喝到不超过 40的开水，已知第一节下课前无人接水，请直接写出生活委员应该在什么时间或时间段接通饮水机电源 （不可以用上课时间接通饮水机电源）类型二 反比例函数与几何图形的关系6 正比例函数 y=x 与反比例函数 y= x1的图象相交于 A、C 两点，AB x 轴于点 B，CDx 轴于点D（如图） ，则四边形 ABCD 的面积为（ ）A. 1 B. 23 C. 2 D. 257 如图，过点 C（2，1 ）分别作 x 轴，y 轴的平行线，
6、交直线 y=-x+5 于 A，B 两点，若反比例函数 y= xk（x0）的图象与 ABC 有公共点，则 k 的取值范围是（ ）A 2k4 B 2k6C 2k 1 D 2k 458 如图，点 A 在双曲线 y= x6上，过 A 作 ACx 轴，垂足为点 C，OA 的垂直平分线交 OC 于点B，当 OA4 时，则 ABC 的周长为 .来源: 学优高考网 gkstk9 两个反比例函数 y= 3，y= 在第一象限内的图象如图所示，点 P1，P2，P3，P2013 在函数 y= x6的图象上，它们的横坐标分别是 x1，x2，x3，x2013 ，纵坐标分别是 1，3，5 ，共2013 个连续奇数，过点 P
7、1， P2，P3 ，P2013 分别作 y 轴的平行线，与函数 y= x的图象交点依次是 Q1（x1，y1 ） ，Q2（x2 ，y2） ，Q3（x3，y3） ，Q2013（x2013，y2013） ，则 y2013= .10 如图，已知反比例函数 y1= xk和一次函数 y2=ax+1 的图象相交于第一象限内的点 A，且点 A 的横坐标为 1. 过点 A 作 ABx 轴于点 B，AOB 的面积为 1.（1 ）求反比例函数和一次函数的解析式；（2 ）直接写出：当 y1y20 时，x 的取值范围；（3 ）在 y 轴上是否存在一点 P，使PAO 为等腰三角形，若存在，请直接写出 P 点坐标，若不存在
8、，请说明理由. （要求至少写两个）11. 如图，正比例函数 y= 21x 的图象与反比例函数 y= xk（k0）在第一象限的图象交于A 点，过 A 点作 x 轴的垂线，垂足为 M，已知OAM 的面积为 1.（1 ）求反比例函数的解析式；（2 ）如果 B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点 B 与点 A 不重合） ，且 B 点的横坐标为 1，在 x 轴上求一点 P，使 PA+PB 最小.来源:学优高考网来源:学优高考网12. 如图，四边形 ABCD 为正方形 点 A 的坐标为（0， 2） ，点 B 的坐标为（0，-3） ，反比例函数y xk（k 0）的图象经过点 C（1 ）求反比例函数的解析式
9、；（2 ）若点 P 是反比例函数图象上的一点，PAD 的面积恰好等于正方形 ABCD 的面积，求点 P 的坐标参考答案专题提升四 关于反比函数的图象和性质的综合运用1. B2. （1）设反比例函数为 y= xk（k0 ） ，则 1k=200，得 k=200，反比例函数为y= x20（1x5） ，当 x=5 时，y=40 ，设改造工程完工后函数解析式为 y=20x+b，则205+b=40，解得 b=-60，改造工程完工后函数解析式为 y=20x-60；（2）当 y=200 时，20x-60=200，解得 x=13 13-5=8 经过 8 个月，该厂利润才能达到 200 万元；（3）当 y=100
10、 时， x20=100，解得 x=2，20x-60=100，解得 x=8，月利润少于 100 万元有：3，4，5，6，7 月份 故该厂资金紧张期共有 5 个月3. （1）y= （2）x=125=60，代入函数解析式得：y= 6012=20（天） （3）运了 8 天后剩余的垃圾是 1200-860=720m3 剩下的任务要在不超过 6 天的时间完成，则每天至少运7206=120m3，则需要的拖拉机数是： 12012=10（辆） ，则至少需要增加 10-5=5 辆这样的拖拉机才能按时完成任务4. （1）由表中数据知，x、y 关系：xy=2.5 7.2=36=44.5=4.54=18，xy=18，x
11、、y 不是一次函数关系，表中数据是反比例函数关系 y= x18；（2）当 x=5 万元时，y=3.6，4-3.6=0.4（万元） ，生产成本每件比 2012 年降低 0.4 万元 当 y=3.2 万元时，3.2= x18 x=5.625 ，5.625-5=0.6250.63（万元） ，还约需投入 0.63 万元5. （1）当 0x8 时，设 y=k1x+b，将（0，20） ，（8，100）代入 y=k1x+b，得 k1=10，b=20，当 0x8 时，y=10x+20；当 8xa 时，设 y=xk2，将（8，100）代入 y= xk2，得 k2=800，当 8xa 时，y= 0；当 0x8 时
12、，y=10x+20；当 8xa 时，y= 80；（2）将（a，20）代入 y= ，解得 a=40；（3）要想喝到不超过 40的热水，则：10x+2040，0x2， x8040，20x40.因为 40 分钟为一个循环，所以 8：20 要喝到不超过 40的热水，则需要在 8：20-（40+20）分钟=7：20 或在（8：20-40 分钟）-2 分钟=7：387：45 打开饮水机，故在 7：20 或 7：387：45 时打开饮水机67. CD8. 2 7 【点拨】设 A（a，b） ，则 OC=a，AC=b. 点 A 在双曲线 y= x6上，b= a，即ab=6；OA 的垂直平分线交 OC 于 B，A
13、B=OB，ABC 的周长=OC+AC，则ab=6，a2+b2=42，解得 a+b=2 7，即ABC 的周长=OC+AC=2 7. 故答案是 2 7.9. 2012.510. （1）y1= x2，y2=x+1（2）0x1（3）P1（0，4） ，P2 （0， 5） ，P3 （0，- 5） ，P4（0， 45）11. （1）y= x. （2）由 y= ，y= 21x，得 x=-2，y=-1，或 x=2，y=1， A 为（2，1）.设 A 点关于 x 轴的对称点为 C，则 C 点的坐标为（2，-1）. 如要在 x 轴上求一点 P，使 PA+PB 最小，即 PB+PC 最小，则 P 点应为直线 BC 和
14、 x 轴的交点，如图所示 . 令直线 BC 的解析式为 y=mx+n. B 为（1，2） ，2=m+n，-1=2m+n，m=-3，n=5. BC 的解析式为 y=-3x+5. 当 y=0 时，x= 35. P 点坐标为（ 35，0）.12. （1）点 A 的坐标为（ 0，2） ，点 B 的坐标为（0，-3） ，AB=5，四边形 ABCD 为正方形，点 C 的坐标为（5，-3） ，k=5 （-3）=-15，反比例函数的解析式为 y- x15；（2）设点 P 到 AD 的距离为 hPAD 的面积恰好等于正方形 ABCD 的面积， 25h52，解得 h=10，当点 P 在第二象限时，yP=h+2=12 ，此时，xP 125- 4，点 P 的坐标为（- 4，12） ；当点 P 在第四象限时，yP=-（h-2 ）=-8 ，此时，xP 815 ，点 P 的坐标为（ 815，-8） 综上所述，点 P 的坐标为（- 45，12）或（ 815，-8）
